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1. (1)25 的平方根是
(2)$\sqrt{214}\approx$
±5
,27 的立方根是3
,$\sqrt{\frac{9}{16}}=$$\frac{3}{4}$
。(2)$\sqrt{214}\approx$
14.6
(精确到 0.1)；$\sqrt{3}-\sqrt{5}$的相反数是$\sqrt{5}-\sqrt{3}$
。答案
(1)$\pm5$，$3$，$\frac{3}{4}$；(2)$14.6$，$\sqrt{5}-\sqrt{3}$。
解析
(1)
求$25$的平方根：
根据平方根的定义，若$x^2 = a$，则$x$叫做$a$的平方根，因为$(\pm5)^2 = 25$，所以$25$的平方根是$\pm5$。
求$27$的立方根：
根据立方根的定义，若$x^3 = a$，则$x$叫做$a$的立方根，因为$3^3 = 27$，所以$27$的立方根是$3$。
求$\sqrt{\frac{9}{16}}$的值：
根据算术平方根的定义，$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}$。
(2)
求$\sqrt{214}\approx$（精确到$0.1$）：
用计算器可求得$\sqrt{214}\approx14.6$。
求$\sqrt{3}-\sqrt{5}$的相反数：
根据相反数的定义，$a$的相反数是$-a$，所以$\sqrt{3}-\sqrt{5}$的相反数是$-(\sqrt{3}-\sqrt{5})=\sqrt{5}-\sqrt{3}$。
求$25$的平方根：
根据平方根的定义，若$x^2 = a$，则$x$叫做$a$的平方根，因为$(\pm5)^2 = 25$，所以$25$的平方根是$\pm5$。
求$27$的立方根：
根据立方根的定义，若$x^3 = a$，则$x$叫做$a$的立方根，因为$3^3 = 27$，所以$27$的立方根是$3$。
求$\sqrt{\frac{9}{16}}$的值：
根据算术平方根的定义，$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}$。
(2)
求$\sqrt{214}\approx$（精确到$0.1$）：
用计算器可求得$\sqrt{214}\approx14.6$。
求$\sqrt{3}-\sqrt{5}$的相反数：
根据相反数的定义，$a$的相反数是$-a$，所以$\sqrt{3}-\sqrt{5}$的相反数是$-(\sqrt{3}-\sqrt{5})=\sqrt{5}-\sqrt{3}$。
2. 请写出一个 3 与 4 之间的无理数
$\pi$（答案不唯一）
；比较大小：$3×\sqrt{2}$＞
$2×\sqrt{3}$。答案
$\pi$（答案不唯一）；＞
解析
1. $3$与$4$之间的无理数：
由于无理数是无限不循环小数，且$\pi\approx3.14159\cdots$，满足$3\lt\pi\lt4$，所以$3$与$4$之间的无理数可以是$\pi$。
2. 比较$3\sqrt{2}$与$2\sqrt{3}$的大小：
先分别对$3\sqrt{2}$与$2\sqrt{3}$进行平方，$(3\sqrt{2})^2 = 3^2×(\sqrt{2})^2=9×2 = 18$，$(2\sqrt{3})^2=2^2×(\sqrt{3})^2 = 4×3 = 12$。
因为$18\gt12$，且$3\sqrt{2}\gt0$，$2\sqrt{3}\gt0$，所以$3\sqrt{2}\gt2\sqrt{3}$。
由于无理数是无限不循环小数，且$\pi\approx3.14159\cdots$，满足$3\lt\pi\lt4$，所以$3$与$4$之间的无理数可以是$\pi$。
2. 比较$3\sqrt{2}$与$2\sqrt{3}$的大小：
先分别对$3\sqrt{2}$与$2\sqrt{3}$进行平方，$(3\sqrt{2})^2 = 3^2×(\sqrt{2})^2=9×2 = 18$，$(2\sqrt{3})^2=2^2×(\sqrt{3})^2 = 4×3 = 12$。
因为$18\gt12$，且$3\sqrt{2}\gt0$，$2\sqrt{3}\gt0$，所以$3\sqrt{2}\gt2\sqrt{3}$。
3. 实数$0.\dot{1}\dot{3}$,$-\sqrt{21}$,$\frac{\pi}{2}$,$\frac{9}{7}$,$\sqrt{5}$,$\sqrt[3]{-64}$中的无理数是
$-\sqrt{21}$，$\frac{\pi}{2}$，$\sqrt{5}$
。答案
$-\sqrt{21}$，$\frac{\pi}{2}$，$\sqrt{5}$
解析
无理数的定义是无限不循环小数，因此需要判断每个数是否为无限不循环小数：
$0.\dot{1}\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数。
$-\sqrt{21}$无法开尽方根，是无限不循环小数，属于无理数。
$\frac{\pi}{2}$，其中$\pi$是无限不循环小数，属于无理数。
$\frac{9}{7}$是分数，属于有理数。
$\sqrt{5}$无法开尽方根，是无限不循环小数，属于无理数。
$\sqrt[3]{-64} = -4$，是整数，属于有理数。
所以无理数有$-\sqrt{21}$，$\frac{\pi}{2}$，$\sqrt{5}$。
$0.\dot{1}\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数。
$-\sqrt{21}$无法开尽方根，是无限不循环小数，属于无理数。
$\frac{\pi}{2}$，其中$\pi$是无限不循环小数，属于无理数。
$\frac{9}{7}$是分数，属于有理数。
$\sqrt{5}$无法开尽方根，是无限不循环小数，属于无理数。
$\sqrt[3]{-64} = -4$，是整数，属于有理数。
所以无理数有$-\sqrt{21}$，$\frac{\pi}{2}$，$\sqrt{5}$。
4. $\sqrt{81}$的平方根是
$\pm3$
；若$x^{2}= (-7)^{2}$,则$x= $$\pm7$
。答案
$\pm3$；$\pm7$
解析
1. 首先计算$\sqrt{81}$，$\sqrt{81}=9$，然后求$9$的平方根，因为$( \pm 3)^{2}=9$，所以$9$的平方根是$\pm3$，即$\sqrt{81}$的平方根是$\pm3$。
2. 已知$x^{2}=(-7)^{2}=49$，根据平方根的定义，若$x^{2}=a(a\geq0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$，所以$x = \pm 7$。
2. 已知$x^{2}=(-7)^{2}=49$，根据平方根的定义，若$x^{2}=a(a\geq0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$，所以$x = \pm 7$。
5. 满足$-\sqrt{5}\lt x\lt\sqrt{3}的整数x$是
-2,-1,0,1
；$|\sqrt{3}-2|= $$2-\sqrt{3}$
。答案
-2,-1,0,1；2-\sqrt{3}
解析
因为$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$-3＜-\sqrt{5}＜-2$；又因为$1＜\sqrt{3}＜2$，所以满足$-\sqrt{5}\lt x\lt\sqrt{3}$的整数$x$是$-2,-1,0,1$。因为$\sqrt{3}＜2$，所以$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$。
6. 计算：$\sqrt{4^{2}+3^{2}}=$
仔细观察计算结果,试猜想：$\sqrt{\underset{2008 个}{\underbrace{44…4^{2}}}+\underset{2008 个}{\underbrace{33…3^{2}}}}=$
5
,$\sqrt{44^{2}+33^{2}}=$55
,$\sqrt{444^{2}+333^{2}}=$555
。仔细观察计算结果,试猜想：$\sqrt{\underset{2008 个}{\underbrace{44…4^{2}}}+\underset{2008 个}{\underbrace{33…3^{2}}}}=$
$\underset{2008 个}{\underbrace{55…5}}$
。答案
5；55；555；$\underset{2008 个}{\underbrace{55…5}}$
解析
$\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$；
$\sqrt{44^{2}+33^{2}}=\sqrt{(4×11)^{2}+(3×11)^{2}}=\sqrt{11^{2}×(4^{2}+3^{2})}=11×\sqrt{25}=11×5=55$；
$\sqrt{444^{2}+333^{2}}=\sqrt{(4×111)^{2}+(3×111)^{2}}=\sqrt{111^{2}×(4^{2}+3^{2})}=111×\sqrt{25}=111×5=555$；
观察可得，结果中5的个数与被开方数中4和3的个数相同，故猜想：$\sqrt{\underset{2008 个}{\underbrace{44…4^{2}}}+\underset{2008 个}{\underbrace{33…3^{2}}}}=\underset{2008 个}{\underbrace{55…5}}$。
$\sqrt{44^{2}+33^{2}}=\sqrt{(4×11)^{2}+(3×11)^{2}}=\sqrt{11^{2}×(4^{2}+3^{2})}=11×\sqrt{25}=11×5=55$；
$\sqrt{444^{2}+333^{2}}=\sqrt{(4×111)^{2}+(3×111)^{2}}=\sqrt{111^{2}×(4^{2}+3^{2})}=111×\sqrt{25}=111×5=555$；
观察可得，结果中5的个数与被开方数中4和3的个数相同，故猜想：$\sqrt{\underset{2008 个}{\underbrace{44…4^{2}}}+\underset{2008 个}{\underbrace{33…3^{2}}}}=\underset{2008 个}{\underbrace{55…5}}$。
7. 数轴上点$A表示\sqrt{3}$,那么与点$A$相距 3 个单位长度的点所表示的数是
$\sqrt{3} + 3$或$\sqrt{3} - 3$
(结果保留根号)。答案
$\sqrt{3} + 3$或$\sqrt{3} - 3$
解析
设与点$A$相距3个单位长度的点表示的数为$x$，则$|x - \sqrt{3}| = 3$，解得$x = \sqrt{3} + 3$或$x = \sqrt{3} - 3$。
8. 若$a$,$b$都是无理数,且$a + b = 3$,则$a$,$b$的值可以分别是
$\sqrt{2}$，$3 - \sqrt{2}$
(只需填上满足条件的一对值即可)。答案
$\sqrt{2}$，$3 - \sqrt{2}$
解析
因为无理数是无限不循环小数，且$a + b = 3$，可令$a = \sqrt{2}$，则$b = 3 - \sqrt{2}$，$\sqrt{2}$和$3 - \sqrt{2}$都是无理数，满足条件。
9. 计算：$2 + 3×(\sqrt{2}-3)+2×\sqrt{3}$(精确到 0.01,$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$)。
答案
$0.71$
解析
$2 + 3×(\sqrt{2}-3)+2×\sqrt{3}$
$=2 + 3\sqrt{2}-9 + 2\sqrt{3}$
$=3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}-7$
$\approx3×1.414 + 2×1.732 - 7$
$=4.242 + 3.464 - 7$
$=7.706 - 7$
$=0.706$
$\approx0.71$
$=2 + 3\sqrt{2}-9 + 2\sqrt{3}$
$=3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}-7$
$\approx3×1.414 + 2×1.732 - 7$
$=4.242 + 3.464 - 7$
$=7.706 - 7$
$=0.706$
$\approx0.71$
10. 人造卫星要绕地球旋转,必须克服地球引力,克服地球引力的速度称为逃逸速度,该速度的计算公式为$V= \sqrt{gR}$(千米/秒),其中$g = 0.0098$千米/秒^2,$R = 6370$千米,求逃逸速度(精确到 0.01)。
答案
已知逃逸速度计算公式为$V = \sqrt{gR}$，其中$g = 0.0098$千米/秒²，$R = 6370$千米。
首先计算$gR$的值：$0.0098×6370 = 62.426$。
然后对$62.426$开平方：$V=\sqrt{62.426}\approx7.90$（千米/秒）。
答：逃逸速度约为7.90千米/秒。
首先计算$gR$的值：$0.0098×6370 = 62.426$。
然后对$62.426$开平方：$V=\sqrt{62.426}\approx7.90$（千米/秒）。
答：逃逸速度约为7.90千米/秒。
