7. 已知函数 $ y = x^2 - 2x + 3 $,当 $ 0 \leq x \leq m $ 时,有最大值 $ 3 $,最小值 $ 2 $,则 $ m $ 的取值范围是()
A.$ m \geq 1 $
B.$ 0 \leq m \leq 2 $
C.$ 1 \leq m \leq 2 $
D.$ 1 \leq m \leq 3 $

C

将函数配方得$y=(x-1)^2+2$，顶点坐标$(1,2)$，对称轴$x=1$，开口向上，最小值为2（顶点处取得），故$1\in[0,m]$，即$m\geq1$。令$y=3$，解得$x=0$或$x=2$。当$m＞2$时，$x=m$处函数值大于3，最大值超过3；当$m＜1$时，最小值不为2。故$1\leq m\leq2$。

8. 已知两点 $ A(-5,y_1) $,$ B(3,y_2) $ 均在抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 上,点 $ C(x_0,y_0) $ 是该抛物线的顶点,若 $ y_1 ＞ y_2 \geq y_0 $,则 $ x_0 $ 的取值范围是()
A.$ x_0 ＞ -5 $
B.$ x_0 ＞ -1 $
C.$ -5 ＜ x_0 ＜ -1 $
D.$ -2 ＜ x_0 ＜ 3 $

B

∵点C(x₀,y₀)是抛物线顶点且y₂≥y₀，∴抛物线开口向上（a＞0），顶点为最小值点。
∵A(-5,y₁)，B(3,y₂)在抛物线上且y₁＞y₂，
∴点A到对称轴x=x₀的距离大于点B到对称轴的距离，即|-5 - x₀|＞|3 - x₀|。
两边平方得：(-5 - x₀)²＞(3 - x₀)²，
展开：x₀² + 10x₀ + 25＞x₀² - 6x₀ + 9，
化简：16x₀ + 16＞0，解得x₀＞-1。

9. 已知二次函数 $ y = ax^2 - (a - 2)x + 1(a \neq 0) $.
(1) 若函数图象经过点 $ (3,1) $,求抛物线的对称轴.
(2) 当 $ x \geq 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x \leq -1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.求 $ a $ 的取值范围.

(1) 直线$x = \frac{3}{2}$；(2)$\frac{2}{3} \leq a \leq 2$。

(1) 将点$(3,1)$代入$y = ax^2 - (a - 2)x + 1$，得：
$1 = a \cdot 3^2 - (a - 2) \cdot 3 + 1$
化简得：$9a - 3a + 6 + 1 = 1$，即$6a + 7 = 1$
解得$a = -1$。
抛物线对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，其中$b = -(a - 2) = 3$，$a = -1$，
则$x = -\frac{3}{2 × (-1)} = \frac{3}{2}$。
(2) 由题意知抛物线开口向上，即$a ＞ 0$，且对称轴$h$满足$-1 \leq h \leq 0$。
对称轴$h = \frac{a - 2}{2a}$，故$-1 \leq \frac{a - 2}{2a} \leq 0$。
解$\frac{a - 2}{2a} \geq -1$（$a ＞ 0$）：
$a - 2 \geq -2a \Rightarrow 3a \geq 2 \Rightarrow a \geq \frac{2}{3}$。
解$\frac{a - 2}{2a} \leq 0$（$a ＞ 0$）：
$a - 2 \leq 0 \Rightarrow a \leq 2$。
综上，$\frac{2}{3} \leq a \leq 2$。

10. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 的对称轴为直线 $ x = t $,且 $ 3a + 2b + c = 0 $.
(1) 当 $ c = 0 $ 时,求 $ t $ 的值.
(2) 点 $ (-2,y_1) $,$ (1,y_2) $,$ (3,y_3) $ 在抛物线上,若 $ a ＞ c ＞ 0 $,判断 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系,并说明理由.

(1)$ \frac{3}{4} $；(2)$ y_2 ＜ y_3 ＜ y_1 $

(1) 当$ c=0 $时，由$ 3a + 2b + c = 0 $得$ 3a + 2b = 0 $，即$ b=-\frac{3a}{2} $。抛物线对称轴$ t=-\frac{b}{2a} $，代入$ b=-\frac{3a}{2} $，得$ t=-\frac{-\frac{3a}{2}}{2a}=\frac{3}{4} $。
(2) 由$ 3a + 2b + c = 0 $得$ c=-3a - 2b $。因$ a ＞ c ＞ 0 $，则$ 0 ＜ -3a - 2b ＜ a $。
由$ -3a - 2b ＞ 0 $得$ b ＜ -\frac{3a}{2} $；由$ -3a - 2b ＜ a $得$ b ＞ -2a $，故$ -2a ＜ b ＜ -\frac{3a}{2} $。
对称轴$ t=-\frac{b}{2a} $，则$ \frac{3}{4} ＜ t ＜ 1 $（由$ -2a ＜ b ＜ -\frac{3a}{2} $推导）。
$ a ＞ 0 $，抛物线开口向上，距离对称轴越近，函数值越小。
点到对称轴距离：$ |-2 - t|=t + 2 $，$ |1 - t|=1 - t $，$ |3 - t|=3 - t $。
因$ \frac{3}{4} ＜ t ＜ 1 $，则$ 1 - t ＜ 3 - t ＜ t + 2 $，故$ y_2 ＜ y_3 ＜ y_1 $。