9. 计算$a + b - \frac{a^2}{a - b}$的结果是()
A.$\frac{a}{b}$
B.$-\frac{b^2}{a - b}$
C.$\frac{b^2}{a - b}$
D.$-\frac{b}{a}$

B

$\begin{aligned}a + b - \frac{a^2}{a - b}&=\frac{(a + b)(a - b)}{a - b} - \frac{a^2}{a - b}\\&=\frac{a^2 - b^2 - a^2}{a - b}\\&=\frac{-b^2}{a - b}\\&=-\frac{b^2}{a - b}\end{aligned}$
B

10. 照相机成像应用了一个重要原理,用公式$\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}(v \neq f)$表示,其中$f$表示照相机镜头的焦距,$u$表示物体到镜头的距离,$v$表示胶片(像)到镜头的距离. 用$f$,$v表示物体到镜头的距离u$,正确的是()
A.$\frac{v - f}{fv}$
B.$\frac{fv}{v - f}$
C.$\frac{f - v}{fv}$
D.$\frac{fv}{f - v}$

B

$\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{f} - \frac{1}{v} = \frac{v - f}{fv}$
$u = \frac{fv}{v - f}$
B

11. 已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$,则式子$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - xy - y}$的值是()
A.$-\frac{7}{2}$
B.$-\frac{11}{2}$
C.$\frac{9}{2}$
D.$\frac{3}{4}$

D

由$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$，得$\frac{y - x}{xy} = 3$，即$y - x = 3xy$，则$x - y = -3xy$。
$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - xy - y} = \frac{2(x - y) + 3xy}{(x - y) - xy}$
将$x - y = -3xy$代入上式：
$\begin{aligned}\frac{2(-3xy) + 3xy}{-3xy - xy}&=\frac{-6xy + 3xy}{-4xy}\\&=\frac{-3xy}{-4xy}\\&=\frac{3}{4}\end{aligned}$
D

12. 已知$ab = 1$,$a + b = 3$,则式子$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$的值为.

7

$\begin{aligned}\frac{b}{a} + \frac{a}{b} &= \frac{b^2 + a^2}{ab}\\a^2 + b^2 &= (a + b)^2 - 2ab\\&= 3^2 - 2×1\\&= 9 - 2\\&= 7\\frac{b}{a} + \frac{a}{b} &= \frac{7}{1} = 7\end{aligned}$
7

13. 计算$\frac{5x + 3y}{x^2 - y^2} - \frac{2x}{x^2 - y^2}$的结果是.

$\frac{3}{x-y}$

$\frac{5x + 3y}{x^2 - y^2} - \frac{2x}{x^2 - y^2}$
$=\frac{5x + 3y - 2x}{x^2 - y^2}$
$=\frac{3x + 3y}{(x + y)(x - y)}$
$=\frac{3(x + y)}{(x + y)(x - y)}$
$=\frac{3}{x - y}$

14. 若$\frac{m}{x^2 - y^2} = \frac{2xy - y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x - y}{x + y}$,则$m$表示的式子为.

x²

$\begin{aligned}\frac{m}{x^2 - y^2} &= \frac{2xy - y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x - y}{x + y}\\frac{m}{x^2 - y^2} &= \frac{2xy - y^2}{x^2 - y^2} + \frac{(x - y)^2}{(x + y)(x - y)}\\frac{m}{x^2 - y^2} &= \frac{2xy - y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2}\\frac{m}{x^2 - y^2} &= \frac{2xy - y^2 + x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2}\\frac{m}{x^2 - y^2} &= \frac{x^2}{x^2 - y^2}\\m &= x^2\end{aligned}$
$x^2$

15. 下面是小明同学进行分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} - \frac{x - 1}{2x + 2}$
$= \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^2} - \frac{x - 1}{2(x + 1)}$……第一步
$= \frac{x - 1}{x + 1} - \frac{x - 1}{2(x + 1)}$……第二步
$= \frac{2(x - 1)}{2(x + 1)} - \frac{x - 1}{2(x + 1)}$……第三步
$= \frac{2(x - 1) - (x - 1)}{2(x + 1)}$……第四步
$= \frac{2x - 2 - x - 1}{2(x + 1)}$……第五步
$= \frac{x - 3}{2x + 2}$.……第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中,第步是进行分式的通分,通分的依据是；
②第步开始出现错误,这一步错误的原因是.
任务二：请写出该分式正确的化简过程.
$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x+1}-\frac{x-1}{2x+2}$
$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}-\frac{x-1}{2(x+1)}$
$=\frac{x-1}{x+1}-\frac{x-1}{2(x+1)}$
$=\frac{2(x-1)}{2(x+1)}-\frac{x-1}{2(x+1)}$
$=\frac{2(x-1)-(x-1)}{2(x+1)}$
$=\frac{2x-2-x+1}{2(x+1)}$
$=\frac{x-1}{2x+2}$.

任务一：①三;分式的基本性质(或填分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变);②五;括号前面是“-”去掉括号后,括号里面的第二项没有变号. 任务二：$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x+1}-\frac{x-1}{2x+2}$=$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}-\frac{x-1}{2(x+1)}$=$\frac{x-1}{x+1}-\frac{x-1}{2(x+1)}$=$\frac{2(x-1)}{2(x+1)}-\frac{x-1}{2(x+1)}$=$\frac{2(x-1)-(x-1)}{2(x+1)}$=$\frac{2x-2-x+1}{2(x+1)}$=$\frac{x-1}{2x+2}$.

16. 先化简：$\frac{a - 2}{a^2 - 4} + \frac{1}{a + 2}$,化简后选择一个合适的有理数$a$代入求值.

解:原式=$\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}+\frac{1}{a+2}=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{a+2}=\frac{2}{a+2}$.由题意得a≠±2.不妨取a=0,当a=0时,得$\frac{2}{a+2}=1$.

17. 已知$\frac{A}{x + 1} - \frac{B}{x - 3} = \frac{x + 5}{(x + 1)(x - 3)}$(其中$A$,$B$为常数),求$A^{2025}B$的值.

解:
∵$\frac{A}{x+1}-\frac{B}{x-3}=\frac{A(x-3)-B(x+1)}{(x+1)(x-3)}$=$\frac{(A-B)x+(-3A-B)}{(x+1)(x-3)}$,又
∵$\frac{A}{x+1}-\frac{B}{x-3}=\frac{x+5}{(x+1)(x-3)}$,
∴A-B=1,-3A-B=5.解得A=-1,B=-2.
∴$A^{2025}B=(-1)^{2025}×(-2)=2$.