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1. 若x= 2是关于x的一元二次方程$x^{2}-c= 0$的一个根,则这个方程的另一个根是(
A.x= -2
B.$x= \sqrt{2}$
C.x= 2
D.x= 4
A
)A.x= -2
B.$x= \sqrt{2}$
C.x= 2
D.x= 4
答案
A
解析
将$x=2$代入方程$x^{2}-c=0$，得$2^{2}-c=0$，即$c = 4$，原方程为$x^{2}-4 = 0$。对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b = 0$，$c=-4$，根据一元二次方程根与系数的关系$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，设另一个根为$x_2$，已知$x_1 = 2$，则$2+x_2=0$，解得$x_2=-2$。
2. 若$1-\sqrt{3}$是关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+c= 0$的一个根,则c的值为(
A.-2
B.$4\sqrt{3}-2$
C.$3-\sqrt{3}$
D.$1+\sqrt{3}$
A
)A.-2
B.$4\sqrt{3}-2$
C.$3-\sqrt{3}$
D.$1+\sqrt{3}$
答案
A
解析
将$x=1-\sqrt{3}$代入方程$x^{2}-2x+c=0$，得$(1-\sqrt{3})^{2}-2(1-\sqrt{3})+c=0$。展开计算：$(1 - 2\sqrt{3} + 3) - 2 + 2\sqrt{3} + c = 0$，即$(4 - 2\sqrt{3}) - 2 + 2\sqrt{3} + c = 0$，化简得$2 + c = 0$，解得$c=-2$。
3. 若关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+p= 0的两根为x_{1},x_{2}$,且$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= 3$,则实数p的值为(
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.-6
D.6
A
)A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.-6
D.6
答案
A
解析
由一元二次方程的性质，知$x_{1} + x_{2} = -2$，$x_{1}x_{2} = p$。
根据题意，有$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = 3$。
代入$x_{1} + x_{2} = -2$和$x_{1}x_{2} = p$，得$\frac{-2}{p} = 3$。
解这个方程，得$p = -\frac{2}{3} ÷ 1 × (仅关于p的方程变换)= -\frac{2}{3} × \frac{1}{1(任何数除以1都等于原数）} = -\frac{2}{3} ÷ (1 ÷ 1（1除以1为1，不改变原数）)= - \frac{2}{3}$的（按照运算顺序计算结果），且由于方程有两根，所以判别式$\Delta = 2^{2} - 4p \gt 0$（一元二次方程实数根条件下判别式大于零），满足$p = - \frac{2}{3}$。
根据题意，有$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = 3$。
代入$x_{1} + x_{2} = -2$和$x_{1}x_{2} = p$，得$\frac{-2}{p} = 3$。
解这个方程，得$p = -\frac{2}{3} ÷ 1 × (仅关于p的方程变换)= -\frac{2}{3} × \frac{1}{1(任何数除以1都等于原数）} = -\frac{2}{3} ÷ (1 ÷ 1（1除以1为1，不改变原数）)= - \frac{2}{3}$的（按照运算顺序计算结果），且由于方程有两根，所以判别式$\Delta = 2^{2} - 4p \gt 0$（一元二次方程实数根条件下判别式大于零），满足$p = - \frac{2}{3}$。
4. 现定义运算“★”,对于任意实数a,b,都有$a★b= a^{2}-3a+b$,如$3★5= 3^{2}-3×3+5$.若$x★2= 6$,则实数x的值是(
A.-1
B.4
C.-1或4
D.1或-4
C
)A.-1
B.4
C.-1或4
D.1或-4
答案
C
解析
根据定义运算“★”，有$x★2=x^{2}-3x+2$。
因$x★2=6$，故方程为：
$x^{2}-3x+2=6$
整理得：
$x^{2}-3x-4=0$
因式分解为：
$(x-4)(x+1)=0$
解得：
$x=4$或$x=-1$
因$x★2=6$，故方程为：
$x^{2}-3x+2=6$
整理得：
$x^{2}-3x-4=0$
因式分解为：
$(x-4)(x+1)=0$
解得：
$x=4$或$x=-1$
5. 已知$x_{1},x_{2}是一元二次方程x^{2}-2x= 0$的两个实数根,下列结论错误的是(
A.$x_{1}≠x_{2}$
B.$x_{1}^{2}-2x_{1}= 0$
C.$x_{1}+x_{2}= 2$
D.$x_{1}·x_{2}= 2$
D
)A.$x_{1}≠x_{2}$
B.$x_{1}^{2}-2x_{1}= 0$
C.$x_{1}+x_{2}= 2$
D.$x_{1}·x_{2}= 2$
答案
D
解析
对于一元二次方程 $x^{2}-2x=0$，可以因式分解为 $x(x - 2)=0$，则其两根为 $x_{1}=0$，$x_{2}=2$。
选项A：因为 $0\neq2$，所以 $x_{1}\neq x_{2}$，该选项正确。
选项B：由于 $x_{1}$ 是方程 $x^{2}-2x = 0$ 的根，把 $x_{1}$代入方程，等式成立，即 $x_{1}^{2}-2x_{1}=0$，该选项正确。
选项C：根据韦达定理，在一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 中，两根之和 $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，在方程 $x^{2}-2x=0$ 中 $a = 1$，$b=-2$，所以 $x_{1}+x_{2}=2$，该选项正确。
选项D：根据韦达定理，两根之积 $x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$，在方程 $x^{2}-2x=0$ 中 $c = 0$，所以 $x_{1}\cdot x_{2}=0$，不是 $2$，该选项错误。
选项A：因为 $0\neq2$，所以 $x_{1}\neq x_{2}$，该选项正确。
选项B：由于 $x_{1}$ 是方程 $x^{2}-2x = 0$ 的根，把 $x_{1}$代入方程，等式成立，即 $x_{1}^{2}-2x_{1}=0$，该选项正确。
选项C：根据韦达定理，在一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 中，两根之和 $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，在方程 $x^{2}-2x=0$ 中 $a = 1$，$b=-2$，所以 $x_{1}+x_{2}=2$，该选项正确。
选项D：根据韦达定理，两根之积 $x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$，在方程 $x^{2}-2x=0$ 中 $c = 0$，所以 $x_{1}\cdot x_{2}=0$，不是 $2$，该选项错误。
6. 随着生产技术的进步,某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产1 t药的成本是5000元,现在生产1 t药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为x.下列方程中,正确的是(
A.$5000(1+x)^{2}= 4050$
B.$4050(1+x)^{2}= 5000$
C.$5000(1-x)^{2}= 4050$
D.$4050(1-x)^{2}= 5000$
C
)A.$5000(1+x)^{2}= 4050$
B.$4050(1+x)^{2}= 5000$
C.$5000(1-x)^{2}= 4050$
D.$4050(1-x)^{2}= 5000$
答案
C
解析
设年平均下降率为x，两年前成本为5000元，则一年前成本为5000(1-x)元，现在成本为$5000(1-x)^2$元，依题意得$5000(1-x)^2=4050。$
