23. (本小题12分)如图,AB是$\odot O$的直径,C,D是$\odot O$上位于直径AB异侧的两点,$DE\perp BC$,交CB的延长线于点E,且BD平分$\angle ABE$.
(1)求证：DE为$\odot O$的切线；
(2)若$\angle ABC= 60^{\circ }$,$AB= 4$,求图中阴影部分的面积.

(1) 见解析；(2) $\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}$

(1) 证明：连接OD，
∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠ABE，∴∠ABD=∠EBD，即∠OBD=∠EBD，
∴∠ODB=∠EBD，∴OD//BE，
∵DE⊥BC，∴∠E=90°，
∵OD//BE，∴∠ODE=∠E=90°，即OD⊥DE，
∵OD是⊙O半径，∴DE为⊙O的切线。
(2) 解：∵AB是直径，AB=4，∴OB=OC=2，
∵∠ABC=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
扇形OBC面积：$\frac{60\pi × 2^2}{360}=\frac{2\pi}{3}$，
△OBC面积：$\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}$，
阴影部分面积=扇形OBC面积 - △OBC面积=$\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}$。