24. (12 分)如图,$ \angle BAD = \angle CAE = 90^{\circ} $,$ AB = AD $,$ AE = AC $,$ AF \perp CB $,垂足为 $ F $.
(1)求证：$ \triangle ABC \cong \triangle ADE $.(图 1)
(2)求 $ \angle FAE $ 的度数.(图 1)
(3)如图 2,延长 $ CF $ 到 $ G $ 点,使 $ BF = GF $,连接 $ AG $. 求证：$ CD = CG $. 猜想 $ CD $ 与 $ 2BF + DE $ 的关系.

(1)见证明；(2)45°；(3)见证明，CD=2BF+DE。

(1)证明：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE。在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∴△ABC≌△ADE(SAS)。
(2)解：∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB=∠AED。∵∠CAE=90°，AC=AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=∠AEC=45°，即∠ACB+∠BCE=45°，∠AED+∠DEC=45°，∴∠BCE=∠DEC。∵AF⊥CB，∴∠AFC=90°，设∠ACF=α，则∠CAF=90°-α，∠FAE=∠CAE-∠CAF=90°-(90°-α)=α。又∵∠ACB=α=∠AED，∠AEC=45°=∠AED+∠DEC=α+∠DEC，∠BCE=∠DEC=45°-α，∠ACB+∠BCE=α+(45°-α)=45°，∴α=45°-∠DEC，∠FAE=α=45°。
(3)证明：∵AF⊥CB，BF=GF，∴AF垂直平分BG，∴AG=AB。∵AB=AD，∴AG=AD。∵∠BAC=∠DAE，∠CAE=90°，∠BAD=90°，∴∠GAC=∠BAC=∠DAE=90°-∠CAD，即∠GAC=∠DAC。在△AGC和△ADC中，AG=AD，∠GAC=∠DAC，AC=AC，∴△AGC≌△ADC(SAS)，∴CD=CG。
猜想：CD=2BF+DE。∵CG=CF+FG=BC+BF+FG=BC+2BF，△ABC≌△ADE得BC=DE，∴CG=DE+2BF，又CD=CG，∴CD=2BF+DE。