1. (★) 有下列函数：①$ y = 1 - x^2 $；②$ y = \frac{2}{x^2} $；③$ y = x(x - 3) $；④$ y = ax^2 + bx + c $；⑤$ y = 2x + 1 $。其中是二次函数的有 【】
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

B

1. 逐一分析各函数是否为二次函数：
①$y = 1 - x^2$，符合二次函数的一般形式$y=ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），这里$a = - 1$，$b = 0$，$c = 1$，是二次函数。
②$y=\frac{2}{x^2}$，分母中含有自变量$x$，是分式函数，不是二次函数。
③$y = x(x - 3)=x^2-3x$，符合二次函数的一般形式，$a = 1$，$b = - 3$，$c = 0$，是二次函数。
④$y = ax^2 + bx + c$，当$a = 0$时，变为一次函数，所以不一定是二次函数。
⑤$y = 2x + 1$，是一次函数，不是二次函数。
综上，①③是二次函数，共$2$个。

2. (★) 函数 $ y = (m - 1)x^{m^2 + 1} - 2mx + 1 $ 的图象是抛物线,则 $ m = $。

$-1$

由题意，函数$y = (m - 1)x^{m^2 + 1} - 2mx + 1$的图象是抛物线，因此它必须是一个二次函数。
根据二次函数的定义，其最高次项的次数应为2，即：
$m^2 + 1 = 2$，
解这个方程，得到：
$m^2 = 1$，
$m = \pm 1$，
另外，二次函数的最高次项系数不应为0，即：
$m - 1 \neq 0$，
当$m = 1$时，$m - 1 = 0$，这与条件矛盾，所以$m$不能等于1。
而当$m = -1$时，$m - 1 = -2 \neq 0$，满足条件。
因此，$m = -1$。

3. (★) 函数 $ y = ax^{a^2 - 2a - 6} $ 是二次函数,当 $ a = $时,其图象开口向上；当 $ a = $时,其图象开口向下。

4；-2

要使函数$y = ax^{a^2 - 2a - 6}$是二次函数，则需满足$\begin{cases}a \neq 0 \\ a^2 - 2a - 6 = 2\end{cases}$。解方程$a^2 - 2a - 6 = 2$，即$a^2 - 2a - 8 = 0$，因式分解得$(a - 4)(a + 2) = 0$，解得$a = 4$或$a = -2$。当$a = 4$时，二次项系数为正，图象开口向上；当$a = -2$时，二次项系数为负，图象开口向下。

4. (★) 下列二次函数中,图象以直线 $ x = 2 $ 为对称轴,且经过点 $ (0, 1) $ 的是 【】
A.$ y = (x - 2)^2 + 1 $
B.$ y = (x + 2)^2 + 1 $
C.$ y = (x - 2)^2 - 3 $
D.$ y = (x + 2)^2 - 3 $

C

二次函数的顶点形式为$y = a(x - h)^2 + k$，其中对称轴为直线$x = h$。
选项A和C的对称轴为$x = 2$，符合题意；
选项B和D的对称轴为$x = -2$，不符合题意。
将点$(0, 1)$代入选项A：$1 = (0 - 2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$（不成立）；
代入选项C：$1 = (0 - 2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$（成立）。
因此，只有选项C满足条件。

5. (★) 已知二次函数的图象经过 $ (1, -4) $ 点,且顶点坐标为 $ (-1, 0) $,则该二次函数的解析式为 。

$y = -x^{2} - 2x - 1$（或写成$y = - (x + 1)^{2}$）

根据题意，二次函数的顶点坐标为$(-1, 0)$，因此可以设二次函数的解析式为顶点式：$y = a(x + 1)^{2}$。
将点$(1, -4)$代入解析式，即当$x = 1$时，$y = -4$，得到方程：
$-4 = a(1 + 1)^{2}$，
$-4 = 4a$，
解得$a = -1$。
将$a$的值代入顶点式，得到二次函数的解析式为：
$y = -(x + 1)^{2}$，
进一步展开得到：
$y = -x^{2} - 2x - 1$。

6. (★★) 已知二次函数的图象经过原点及点 $ (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}) $,且图象与 $ x $ 轴的另一交点到原点的距离为 1,则该二次函数的解析式为。

$y=x^2 + x$或$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x$

∵二次函数图象经过原点，∴设二次函数解析式为$y=ax(x - x_2)$（交点式），其中$(0,0)$为一交点，另一交点到原点距离为1，故另一交点为$(1,0)$或$(-1,0)$。
情况1：另一交点为$(1,0)$
解析式为$y=ax(x - 1)$，将$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$代入得：
$-\frac{1}{4}=a(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)$，即$-\frac{1}{4}=a(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})=\frac{3}{4}a$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
∴解析式为$y=-\frac{1}{3}x(x - 1)=-\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x$。
情况2：另一交点为$(-1,0)$
解析式为$y=ax(x + 1)$，将$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$代入得：
$-\frac{1}{4}=a(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}+1)$，即$-\frac{1}{4}=a(-\frac{1}{2})(\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}a$，解得$a=1$。
∴解析式为$y=x(x + 1)=x^2 + x$。

7. (★) 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的图象如图 22 - 1 所示,则下列结论正确的是 【】

A.$ a ＜ 0 $,$ b ＞ 0 $,$ c ＞ 0 $
B.$ a ＜ 0 $,$ b ＞ 0 $,$ c ＜ 0 $
C.$ a ＜ 0 $,$ b ＜ 0 $,$ c ＞ 0 $
D.$ a ＜ 0 $,$ b ＜ 0 $,$ c ＜ 0 $

A

由图象开口向下，可知 $a ＜ 0$。
图象与$y$轴交于正半轴，可知 $c ＞ 0$。
二次函数的对称轴公式为 $x = -\frac{b}{2a}$，由图象可知，对称轴在$y$轴右侧，故 $-\frac{b}{2a} ＞ 0$，即 $b ＞ 0$。
综上所述，$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，$c ＞ 0$。

8. (★★) 把抛物线 $ y = 3x^2 $ 向上平移 2 个单位长度,再向右平移 3 个单位长度,则所得的抛物线是 【】
A.$ y = 3(x + 3)^2 - 2 $
B.$ y = 3(x + 3)^2 + 2 $
C.$ y = 3(x - 3)^2 - 2 $
D.$ y = 3(x - 3)^2 + 2 $

D

抛物线$y=3x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。向上平移2个单位长度，顶点纵坐标变为$0+2=2$；再向右平移3个单位长度，顶点横坐标变为$0+3=3$，新顶点坐标为$(3,2)$。平移后抛物线解析式为$y=3(x-3)^2+2$。

9. (★★) 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的部分对应值列表如下：

则一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = -7 $ 的解为 $ x = $。

0 或 2

由表格可知，当$x = -3$和$x = 5$时，$y$值均为8，所以二次函数图像的对称轴为直线$x = \frac{-3 + 5}{2} = 1$。
当$y = -7$时，从表格中可知$x = 0$时满足，根据二次函数图像的对称性，与$x = 0$关于对称轴$x = 1$对称的点为$x = 2×1 - 0 = 2$的点也满足$y = -7$。
所以一元二次方程$ax^{2}+bx + c = -7$的解为$x = 0$或$x = 2$。

10. (★★) 如图 22 - 2,把抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 平移得到抛物线 $ m $,抛物线 $ m $ 经过点 $ A(-6, 0) $ 和原点 $ O(0, 0) $,它的顶点为 $ P $,它的对称轴与抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 交于点 $ Q $,则图中阴影部分的面积为 $\hspace{1em}$。

$\frac{27}{2}$

设抛物线$ m $的解析式为$ y = \frac{1}{2}x^2 + bx + c $，因其过原点$ O(0,0) $，则$ c = 0 $。又过点$ A(-6,0) $，代入得$ 0 = \frac{1}{2}(-6)^2 + b(-6) $，解得$ b = 3 $，故$ m $的解析式为$ y = \frac{1}{2}x^2 + 3x $。
化为顶点式：$ y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - \frac{9}{2} $，顶点$ P(-3, -\frac{9}{2}) $，对称轴为$ x = -3 $。
对称轴$ x = -3 $与原抛物线$ y = \frac{1}{2}x^2 $交于点$ Q $，则$ Q(-3, \frac{9}{2}) $。
$ PQ = \frac{9}{2} - (-\frac{9}{2}) = 9 $，$ O $到对称轴$ x = -3 $的距离为3。
阴影部分面积为$\frac{1}{2} × 3 × 9 = \frac{27}{2}$。

11. (★★) 如图 22 - 3,有一个纵切面边缘为抛物线的隧道入口,隧道入口处的底面宽度为 8 m,两侧距底面 4 m 高处各有一盏灯,两灯间的水平距离为 6 m,则这个隧道入口的最大高度约为 m.(精确到 0.1 m)

$9.1$。

由题意，建立直角坐标系，设抛物线的方程为$y = ax^{2} + bx + c$，且对称轴为$y$轴，则$b=0$，
所以方程简化为$y = ax^{2} + c$，且过点$( - 4,0)$，$(4,0)$，设两灯所在位置为$( - 3,4)$的A，$(3,4)$的B点，
将$(4,0)$，$(3,4)$，代入方程得：
$\begin{cases}16a + c = 0,\\9a + c = 4.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = - \frac{4}{7},\\c = \frac{64}{7}.\end{cases}$
所以，抛物线的方程为：
$y = - \frac{4}{7}x^{2} + \frac{64}{7}$，
当$x = 0$时，取得最大高度，即：
$y = \frac{64}{7} \approx 9.1$（m），