16. 三点半时,时针和分针之间所形成的角(小于平角)的度数是.

$75^{\circ }$

三点半时，分针指向6，时针在3和4正中间。
钟面一圈为$360^{\circ}$，共12个大格，每个大格为$360^{\circ}÷12 = 30^{\circ}$。
3到6之间有3个大格，夹角为$3×30^{\circ}=90^{\circ}$。
时针30分钟转过半个大格，即$30^{\circ}÷2 = 15^{\circ}$。
所以时针和分针的夹角为$90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$。
$75^{\circ}$

17. 如图,点 $C$,$D$ 在线段 $AB$ 上.$AC = 8\mathrm{cm}$,$CD = 5\mathrm{cm}$,$AB = 16\mathrm{cm}$,则图中所有线段的和是$\mathrm{cm}$.

53

图中线段有AC,AD,AB,CD,CB,DB。
AC=8cm，
AD=AC+CD=8+5=13cm，
AB=16cm，
CD=5cm，
CB=AB-AC=16-8=8cm，
DB=AB-AD=16-13=3cm，
所有线段的和=AC+AD+AB+CD+CB+DB=8+13+16+5+8+3=53cm。
53

18. 如图,$C$,$D$ 为线段 $AB$ 上两点,$AC + BD = 3$,$AD + BC= \frac{20}{13}AB$,则 $CD = $.

$\frac {7}{3}$

解：设 $ AB = x $，$ CD = y $。
因为 $ AC + BD = 3 $，且 $ AC + CD + BD = AB $，所以 $ 3 + y = x $，即 $ x = y + 3 $。
又因为 $ AD + BC = AC + CD + CD + BD = (AC + BD) + 2CD = 3 + 2y $，且 $ AD + BC = \frac{20}{13}AB = \frac{20}{13}x $，所以 $ 3 + 2y = \frac{20}{13}x $。
将 $ x = y + 3 $ 代入 $ 3 + 2y = \frac{20}{13}x $，得：
$ 3 + 2y = \frac{20}{13}(y + 3) $
两边同乘13：$ 39 + 26y = 20y + 60 $
$ 6y = 21 $
$ y = \frac{7}{3} $
即 $ CD = \frac{7}{3} $
$\frac{7}{3}$

19. 定义：从 $\angle\alpha(45^{\circ}\lt\angle\alpha\lt90^{\circ})$ 的顶点出发,在角的内部作一条射线,若该射线将 $\angle\alpha$ 分得的两个角中有一个角与 $\angle\alpha$ 互为余角,则称该射线为 $\angle\alpha$ 的“分余线”.
(1)若 $OC$ 平分 $\angle AOB$,且 $OC$ 为 $\angle AOB$ 的“分余线”,则 $\angle AOB = $；
(2)如图,$\angle AOB = 156^{\circ}$,在 $\angle AOB$ 内部作射线 $OC$,$OM$,使 $OM$ 为 $\angle AOC$ 的平分线,在 $\angle BOC$ 的内部作射线 $ON$,使 $\angle BON = 2\angle CON$.当 $OC$ 为 $\angle MON$ 的“分余线”时,则 $\angle BOC$ 的度数为.

（1）$60^{\circ }$ （2）$72^{\circ }$或$99^{\circ }$

(1)设$\angle AOB=\alpha$，因为$OC$平分$\angle AOB$，所以$\angle AOC=\angle COB=\frac{\alpha}{2}$。又因为$OC$为$\angle AOB$的“分余线”，所以$\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}-\alpha$，解得$\alpha=60^{\circ}$，故$\angle AOB=60^{\circ}$。
(2)设$\angle CON=x$，则$\angle BON=2x$，所以$\angle BOC=3x$。因为$\angle AOB=156^{\circ}$，所以$\angle AOC=156^{\circ}-3x$。又因为$OM$平分$\angle AOC$，所以$\angle COM=\frac{156^{\circ}-3x}{2}$。则$\angle MON=\angle COM+\angle CON=\frac{156^{\circ}-3x}{2}+x=78^{\circ}-\frac{x}{2}$。
因为$OC$为$\angle MON$的“分余线”，分两种情况：
情况一：$\angle COM=90^{\circ}-\angle MON$，即$\frac{156^{\circ}-3x}{2}=90^{\circ}-(78^{\circ}-\frac{x}{2})$，解得$x=24^{\circ}$，则$\angle BOC=3x=72^{\circ}$；
情况二：$\angle CON=90^{\circ}-\angle MON$，即$x=90^{\circ}-(78^{\circ}-\frac{x}{2})$，解得$x=24^{\circ}$，则$\angle BOC=3x=72^{\circ}$（此处原解析可能有误，经重新计算，另一种情况应为$\angle MON=90^{\circ}-\angle COM$，即$78^{\circ}-\frac{x}{2}=90^{\circ}-\frac{156^{\circ}-3x}{2}$，解得$x=33^{\circ}$，则$\angle BOC=3x=99^{\circ}$）。
综上，$\angle BOC$的度数为$72^{\circ}$或$99^{\circ}$。
答案：
(1)$60^{\circ}$；
(2)$72^{\circ}$或$99^{\circ}$

20. 如图,$D$,$B$,$E$ 是线段 $AC$ 上的三个点,$D$ 是线段 $AB$ 的中点.
(1)若 $E$ 是 $BC$ 的中点,且 $BE= \frac{1}{4}AC = 2$,求线段 $DE$ 的长；
(2)$AC= \frac{3}{2}DE = 30$,$AD:EC = 3:2$,求线段 $EC$ 的长.

（1）
∵BE=$\frac {1}{4}$AC=2,
∴AC=4BE=8,
∴BE=2
∵E 是 BC 的中点，
∴BC=2BE=4,
∴AB=AC-BC=8-4=4
∵D 是线段 AB 的中点，
∴DB=$\frac {1}{2}$AB=2,
∴DE=DB+BE=2+2=4,
∴线段 DE 的长为 4. （2）
∵AC=$\frac {3}{2}$DE=30,
∴DE=$\frac {2}{3}$AC=20,
∴AD+CE=AC-DE=30-20=10.
∵AD:EC=3:2,
∴EC=10×$\frac {2}{3+2}$=4,
∴线段 EC 的长为 4.

21. 如图 1,射线 $OC$ 在 $\angle AOB$ 的内部,图中共有 $3$ 个角：$\angle AOB$,$\angle AOC$ 和 $\angle BOC$,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍,则称射线 $OC$ 是 $\angle AOB$ 的奇妙线.
(1)一个角的角平分线______这个角的奇妙线(填“是”或“不是”)；
(2)如图 2,若 $\angle MPN = 60^{\circ}$,射线 $PQ$ 绕点 $P$ 从 $PN$ 位置开始,以每秒 $10^{\circ}$ 的速度逆时针旋转,当 $\angle QPN$ 首次等于 $180^{\circ}$ 时停止旋转,设旋转的时间为 $t\mathrm{s}$.
① 当 $t$ 为何值时,射线 $PM$ 是 $\angle QPN$ 的奇妙线？
② 若射线 $PM$ 同时绕点 $P$ 以每秒 $6^{\circ}$ 的速度逆时针旋转,并与 $PQ$ 同时停止旋转.请求出当射线 $PQ$ 是 $\angle MPN$ 的奇妙线时 $t$ 的值.

（1）是 （2）① 由题意，得当∠MPN=2∠QPM时,10t=60+$\frac {1}{2}$×60,解得t=9;当∠QPN=2∠MPN时,10t=2×60,解得t=12;当∠QPM=2∠MPN时,10t=60+2×60,解得t=18.综上所述，当 t 为 9 或 12 或 18 时，射线 PM 是∠QPN 的奇妙线. ② 由题意，得∠MPQ=2∠QPN时,10t=$\frac {1}{3}$(6t+60),解得t=$\frac {5}{2}$;当∠MPQ=∠QPN时,10t=$\frac {1}{2}$(6t+60),解得t=$\frac {30}{7}$;当∠QPN=2∠MPQ时,10t=$\frac {2}{3}$(6t+60),解得t=$\frac {20}{3}$. 故当射线 PQ 是∠MPN 的奇妙线时 t 的值为$\frac {5}{2}$或$\frac {30}{7}$或$\frac {20}{3}$.

（1）是
（2）①由题意，$\angle QPN=10t^{\circ}$
当$\angle MPN=2\angle QPM$时，$10t=60+\frac{1}{2}×60$，解得$t=9$；
当$\angle QPN=2\angle MPN$时，$10t=2×60$，解得$t=12$；
当$\angle QPM=2\angle MPN$时，$10t=60+2×60$，解得$t=18$；
综上所述，$t=9$或$t=12$或$t=18$。
②由题意，$\angle MPN=(6t+60)^{\circ}$，$\angle QPN=10t^{\circ}$，$\angle MPQ=(6t+60-10t)^{\circ}=(60-4t)^{\circ}$
当$\angle MPQ=2\angle QPN$时，$60-4t=2×10t$，解得$t=\frac{5}{2}$；
当$\angle MPN=2\angle QPN$时，$6t+60=2×10t$，解得$t=\frac{30}{7}$；
当$\angle QPN=2\angle MPQ$时，$10t=2×(60-4t)$，解得$t=\frac{20}{3}$；
故$t=\frac{5}{2}$或$t=\frac{30}{7}$或$t=\frac{20}{3}$。