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21. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,BM平分$\angle ABC$交AC于点P,$MN \perp AC$,垂足为N,$AN = PC$,$AB = BC + MN$. 求证$AP = AM$.
答案
【解析】：本题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质。
证明思路如下：
首先，过点$M$作$MD\perp AB$，交$AB$的延长线于点$D$。
因为$BM$平分$\angle ABC$，$MN\perp AC$，$MD\perp AB$，根据角平分线的性质可知$MN = MD$，$\angle MNA=\angle MDB = 90^{\circ}$，又因为$AB = BC + MN$，$AB=BD+AD$，$BC = BD$，所以$MN = AD$。
已知$AN = PC$，由$MN = MD$，$AN = PC$，$AD = MN$可得$AD = PC$。
在$\triangle AMP$和$\triangle AMD$中，$\angle MNA=\angle MDB = 90^{\circ}$，$\angle AMP=\angle AMB$（公共角），$MN = MD$，根据$AAS$（角角边）可判定$\triangle AMP\cong\triangle AMD$。
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$AP = AM$。
【答案】：证明：过点$M$作$MD\perp AB$，交$AB$的延长线于点$D$。
∵$BM$平分$\angle ABC$，$MN\perp AC$，$MD\perp AB$，
∴$MN = MD$，$\angle MNA=\angle MDB = 90^{\circ}$。
∵$AB = BC + MN$，$AB=BD+AD$，$BC = BD$，
∴$MN = AD$。
∵$AN = PC$，$MN = MD$，$AN = PC$，$AD = MN$，
∴$AD = PC$。
在$\triangle AMP$和$\triangle AMD$中，
$\begin{cases}\angle MNA=\angle MDB = 90^{\circ},\\\angle AMP=\angle AMB,\\MN = MD.\end{cases}$
∴$\triangle AMP\cong\triangle AMD(AAS)$。
∴$AP = AM$。
证明思路如下：
首先，过点$M$作$MD\perp AB$，交$AB$的延长线于点$D$。
因为$BM$平分$\angle ABC$，$MN\perp AC$，$MD\perp AB$，根据角平分线的性质可知$MN = MD$，$\angle MNA=\angle MDB = 90^{\circ}$，又因为$AB = BC + MN$，$AB=BD+AD$，$BC = BD$，所以$MN = AD$。
已知$AN = PC$，由$MN = MD$，$AN = PC$，$AD = MN$可得$AD = PC$。
在$\triangle AMP$和$\triangle AMD$中，$\angle MNA=\angle MDB = 90^{\circ}$，$\angle AMP=\angle AMB$（公共角），$MN = MD$，根据$AAS$（角角边）可判定$\triangle AMP\cong\triangle AMD$。
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$AP = AM$。
【答案】：证明：过点$M$作$MD\perp AB$，交$AB$的延长线于点$D$。
∵$BM$平分$\angle ABC$，$MN\perp AC$，$MD\perp AB$，
∴$MN = MD$，$\angle MNA=\angle MDB = 90^{\circ}$。
∵$AB = BC + MN$，$AB=BD+AD$，$BC = BD$，
∴$MN = AD$。
∵$AN = PC$，$MN = MD$，$AN = PC$，$AD = MN$，
∴$AD = PC$。
在$\triangle AMP$和$\triangle AMD$中，
$\begin{cases}\angle MNA=\angle MDB = 90^{\circ},\\\angle AMP=\angle AMB,\\MN = MD.\end{cases}$
∴$\triangle AMP\cong\triangle AMD(AAS)$。
∴$AP = AM$。
22. 某校数学兴趣小组的成员在研究题目时发现一个有趣的现象：x,y表示两个正数,分别把它们作为分子、分母,得到两个分式$\frac{y}{x}$,$\frac{x}{y}$. 如果这两个正数的差等于它们的积,即$x - y = xy$,那么这两个分式的和比这两个正数的积大2,即$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = xy + 2$.
(1)写出两组符合条件$x - y = xy$的正数x,y的值；
(2)选(1)中的一组x,y的值,验证该兴趣小组发现的结论：$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = xy + 2$；
(3)在一般情形下,验证该兴趣小组发现的结论.
(1)写出两组符合条件$x - y = xy$的正数x,y的值；
(2)选(1)中的一组x,y的值,验证该兴趣小组发现的结论：$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = xy + 2$；
(3)在一般情形下,验证该兴趣小组发现的结论.
答案
【解析】：
(1) 要求找出两组正数$x, y$，使得$x - y = xy$。
可以通过代数方法或尝试法来找到这样的数对。
(2) 需要验证对于选定的$x, y$值，是否满足$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = xy + 2$。
(3) 在一般情形下，需要证明对于所有满足$x - y = xy$的$x, y$，都有$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = xy + 2$。
这涉及到代数运算和等式证明。
【答案】：
(1) 两组符合条件$x - y = xy$的正数$x, y$的值可以为：
第一组：$x = 2, y = \frac{2}{3}$；
第二组：$x = 3, y = \frac{3}{2}$。
(2) 选择第一组$x = 2, y = \frac{2}{3}$进行验证：
左边：$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{\frac{2}{3}}{2} + \frac{2}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$，
右边：$xy + 2 = 2 × \frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}$，
因此，左边等于右边，结论成立。
(3) 在一般情形下，对于所有满足$x - y = xy$的$x, y$，有：
$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^{2} + x^{2}}{xy}$
$= \frac{{(x - y)}^{2} + 2xy}{xy}$
$= \frac{{(xy)}^{2} + 2xy}{xy}$
$= xy + 2$
因此，对于所有满足$x - y = xy$的$x, y$，都有$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = xy + 2$。
(1) 要求找出两组正数$x, y$，使得$x - y = xy$。
可以通过代数方法或尝试法来找到这样的数对。
(2) 需要验证对于选定的$x, y$值，是否满足$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = xy + 2$。
(3) 在一般情形下，需要证明对于所有满足$x - y = xy$的$x, y$，都有$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = xy + 2$。
这涉及到代数运算和等式证明。
【答案】：
(1) 两组符合条件$x - y = xy$的正数$x, y$的值可以为：
第一组：$x = 2, y = \frac{2}{3}$；
第二组：$x = 3, y = \frac{3}{2}$。
(2) 选择第一组$x = 2, y = \frac{2}{3}$进行验证：
左边：$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{\frac{2}{3}}{2} + \frac{2}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$，
右边：$xy + 2 = 2 × \frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}$，
因此，左边等于右边，结论成立。
(3) 在一般情形下，对于所有满足$x - y = xy$的$x, y$，有：
$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^{2} + x^{2}}{xy}$
$= \frac{{(x - y)}^{2} + 2xy}{xy}$
$= \frac{{(xy)}^{2} + 2xy}{xy}$
$= xy + 2$
因此，对于所有满足$x - y = xy$的$x, y$，都有$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = xy + 2$。
