1. 如图,在$\odot O$中,直径$CD\perp弦AB$,则下列结论中正确的是()

A.$AD= AB$
B.$\angle BOC= 2\angle D$
C.$\angle D+\angle BOC= 90^{\circ}$
D.$\angle D= \angle B$

B

连接OA，
∵CD是直径，CD⊥AB，
∴弧AC=弧BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC=2∠D（同弧所对圆心角是圆周角的2倍），
∴∠BOC=2∠D，
结论B正确。
答案：B

2. 如图,$\odot O$的半径为5,$M是圆O$外一点,$MO= 8$,$\angle OMA= 30^{\circ}$,则弦$AB$的长为()
A.4
B.6
C.$6\sqrt{3}$
D.8

B

过点$O$作$OC \perp AB$于点$C$，则$AC = CB$。
在$Rt\triangle OCM$中，$MO = 8$，$\angle OMA = 30^\circ$，
$\therefore OC = MO \cdot \sin 30^\circ = 8 × \frac{1}{2} = 4$。
连接$OA$，在$Rt\triangle OAC$中，$OA = 5$，$OC = 4$，
$\therefore AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$，
$\therefore AB = 2AC = 6$。
B

3. 如图,$\odot O的半径OD垂直弦AB于点C$,连接$AO并延长交\odot O于点E$,连接$BE$.若$AB= 8$,$BE= 6$,则$CD$的长为()
A.2
B.2.5
C.3
D.4

A

∵OD⊥AB，AB=8，
∴AC=BC=4。
∵AE是⊙O直径，
∴∠ABE=90°。
在Rt△ABE中，AB=8，BE=6，
∴AE=$\sqrt{AB^2 + BE^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=10$，
∴AO=OE=5，即⊙O半径为5。
设OC=x，则OD=5，CD=OD - OC=5 - x。
在Rt△AOC中，AO=5，AC=4，OC=x，
∴$AO^2=AC^2 + OC^2$，即$5^2=4^2 + x^2$，
解得x=3（x=-3舍去）。
∴CD=5 - 3=2。
A

4. 如图,$AB是\odot O$的直径,弦$CD\perp AB于点E$,若$AB= 6$,$CD= 4$,则$AE$的长为()
A.$3-\sqrt{5}$
B.$3+\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}+2$
D.$\sqrt{5}-2$

A

连接OC，
∵AB是⊙O的直径，AB=6，
∴OC=OA=3，
∵CD⊥AB于点E，CD=4，
∴CE=DE=2，∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，OE²+CE²=OC²，
OE²+2²=3²，
OE²=5，
OE=$\sqrt{5}$，
∵点E在AB上，AE=OA-OE，
∴AE=3-$\sqrt{5}$，
A

5. 如图,在$\odot O$中,弦$AB$的长为4,圆心$O到弦AB$的距离为2,则$\angle AOC$的大小为.

45°

连接OA。
∵OC⊥AB，AB=4，
∴AC=BC=2。
∵圆心O到弦AB的距离为2，
∴OC=2。
在Rt△AOC中，AC=OC=2，
∴∠AOC=45°。
45°

6. 如图,$\odot O$的半径为5,弦$AB= 8$,$CD= 6$,$AB// CD$且在圆心的同侧,则两条平行弦之间的距离为.

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解：过点$O$作$OE \perp AB$于点$E$，延长$OE$交$CD$于点$F$。
因为$AB // CD$，所以$OF \perp CD$。
连接$OA$，$OC$。
在$Rt\triangle OAE$中，$OA = 5$，$AE=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4$，由勾股定理得$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$。
在$Rt\triangle OCF$中，$OC = 5$，$CF=\frac{CD}{2}=\frac{6}{2}=3$，由勾股定理得$OF=\sqrt{OC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$。
因为$AB$，$CD$在圆心同侧，所以两条平行弦之间的距离为$OF - OE=4 - 3=1$。
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