27. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 6,BC= 8,D为边CB上的一个动点(点D不与点B重合),过点D作DO⊥AB,垂足为O,点B'在边AB上,且与点B关于直线DO对称,连接DB',AD.
(1)求证:△DOB∽△ACB；
(2)若AD平分∠CAB,求线段BD的长；
(3)当△AB'D为等腰三角形时,求线段BD的长.

（1）见解析；（2）5；（3）50/13或25/4。

（1）证明：
∵DO⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠DOB=∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△DOB∽△ACB。
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，
∴DC=DO，
设BD=x，则DC=8-x，DO=8-x，
由（1）知△DOB∽△ACB，
∴$\frac{DO}{AC}=\frac{BD}{AB}$，即$\frac{8-x}{6}=\frac{x}{10}$，
解得x=5，
∴BD=5。
（3）解：
∵点B与点B'关于直线DO对称，
∴DO垂直平分BB'，
∴B'O=BO，DB'=DB，
由（1）知△DOB∽△ACB，
∴$\frac{BO}{BC}=\frac{BD}{AB}=\frac{DO}{AC}$，
设BD=DB'=x，
则BO=$\frac{BC\cdot BD}{AB}=\frac{8x}{10}=\frac{4x}{5}$，
DO=$\frac{AC\cdot BD}{AB}=\frac{6x}{10}=\frac{3x}{5}$，
∴B'O=BO=$\frac{4x}{5}$，
∵AB=10，
∴AB'=AB-BO-B'O=10-$\frac{8x}{5}$，
①当AB'=DB'时，10-$\frac{8x}{5}=x$，
解得x=$\frac{50}{13}$；
②当AB'=AD时，
AD=$\sqrt{AC^2+DC^2}=\sqrt{6^2+(8-x)^2}$，
AB'=10-$\frac{8x}{5}$，
则$\sqrt{6^2+(8-x)^2}=10-\frac{8x}{5}$，
解得x=$\frac{25}{4}$；
③当AD=DB'时，
AD=$\sqrt{6^2+(8-x)^2}$，DB'=x，
则$\sqrt{6^2+(8-x)^2}=x$，
解得x=$\frac{25}{4}$（与②重复）；
综上，BD=$\frac{50}{13}$或$\frac{25}{4}$。

28. 【问题初探】
(1)如图①,AD是△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且AE= EF.下面是小明和小红的作图.
小明:如图②,延长FD到点G,使DG= DF,连接CG,构造△DGC；…
小红:如图③,过点B作BG//AC交AD延长线于点G,于是得到△BDG；…
根据小明或小红的作图,可以得到线段AC与BF的数量关系是______.
(2)如图④,在△ABC中,DC= 2BD,BE交AC于点E,交AD于点F,且AE= EF,试判断线段AC与BF的数量关系,并说明理由.
【迁移应用】
(3)请你借助以上结论或方法,用无刻度直尺和圆规在图⑤的线段EF上作一点P,使得EP= 2FP.(要求:保留作图痕迹,写出必要的文字说明)

28.
(1) AC=BF
(2) AC=2BF
理由：过点C作CG//BE交AD延长线于点G，
∵CG//BE，∴∠AGC=∠AFE，△BDF∽△CDG，
∵AE=EF，∴∠EAF=∠AFE=∠AGC，∴AC=CG，
∵DC=2BD，∴△BDF与△CDG的相似比为1:2，∴BF/CG=1/2，即CG=2BF，∴AC=2BF。
(3) 作图步骤：
① 过点E作射线EG；
② 在射线EG上用圆规截取EH=2HG；
③ 连接GF；
④ 过点H作HP//GF交EF于点P。
点P即为所求。
（作图痕迹：保留射线EG，点H、G，线段GF，平行线HP及交点P）
答案
(1) AC=BF
(2) AC=2BF
(3) 如图所示（按上述步骤作图），点P即为所求。