11. 如图,$ \triangle ABC $的两条中线 AD 和 BE 相交于点 G,过点 E 作$ EF// BC $交 AD 于点 F,那么$ \frac{FG}{AG}= $.

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∵AD、BE是△ABC的中线，
∴BD=DC，AE=EC，
∴E为AC中点，D为BC中点，
∵EF//BC，
∴△AFE∽△ADC，
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，
设AF=FD=x，则AD=2x，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{4}{3}x$，GD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{2}{3}x$，
∵FD=x，GD=$\frac{2}{3}x$，
∴FG=FD - GD=x - $\frac{2}{3}x$=$\frac{1}{3}x$，
∴$\frac{FG}{AG}=\frac{\frac{1}{3}x}{\frac{4}{3}x}=\frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}$

12. 如图,AD 是$ \triangle ABC $的中线,点 E 在 AD 上,$ AD= 4DE $,连结 BE 并延长交 AC 于点 F,则$ AF:FC= $()

A.3:2
B.4:3
C.2:1
D.2:3

A

过点D作DG//BF交AC于点G，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∵DG//BF，
∴FG=GC，即FG=$\frac{1}{2}$FC，
∵AD=4DE，
∴AE=3DE，$\frac{AE}{ED}$=3，
∵DG//BF，
∴$\frac{AF}{FG}$=$\frac{AE}{ED}$=3，
∴AF=3FG，
∵FC=2FG，
∴AF:FC=3FG:2FG=3:2.
答案：A

13. 如图,在$ \triangle APM $的边 AP 上任取两点 B,C,过点 B 作 AM 的平行线交 PM 于点 N,过点 N 作 MC 的平行线交 AP 于点 D.求证:$ PA:PB= PC:PD $.

证明：
∵ BN//AM，
∴ $\frac{PA}{PB} = \frac{PM}{PN}$（平行线分线段成比例定理）。
∵ ND//MC，
∴ $\frac{PC}{PD} = \frac{PM}{PN}$（平行线分线段成比例定理）。
∴ $\frac{PA}{PB} = \frac{PC}{PD}$，即 $PA:PB = PC:PD$。
结论：$PA:PB = PC:PD$。