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3. 若分式 $\frac{x + 2}{x - 2}$ 有意义,则 x 的取值范围是
$x \neq 2$
。答案
$x \neq 2$
解析
分式有意义的条件是分母不为0，即$x - 2 \neq 0$，解得$x \neq 2$。
1. 下列各式：$\frac{x}{3x + 1},\frac{x}{2},\frac{x}{3} + y,\frac{2x - y}{x + 2},\frac{x}{\pi}$,其中分式共有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
B
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
分式的定义是分母中含有字母的式子。
逐一分析各式：
$\frac{x}{3x + 1}$：分母含字母$x$，是分式。
$\frac{x}{2}$：分母为数字$2$，不含字母，不是分式。
$\frac{x}{3} + y$：为多项式（$\frac{x}{3}$与$y$的和），$\frac{x}{3}$分母不含字母，整体不是分式。
$\frac{2x - y}{x + 2}$：分母含字母$x$，是分式。
$\frac{x}{\pi}$：$\pi$为常数，分母不含字母，不是分式。
综上，分式有$\frac{x}{3x + 1}$和$\frac{2x - y}{x + 2}$，共2个。
逐一分析各式：
$\frac{x}{3x + 1}$：分母含字母$x$，是分式。
$\frac{x}{2}$：分母为数字$2$，不含字母，不是分式。
$\frac{x}{3} + y$：为多项式（$\frac{x}{3}$与$y$的和），$\frac{x}{3}$分母不含字母，整体不是分式。
$\frac{2x - y}{x + 2}$：分母含字母$x$，是分式。
$\frac{x}{\pi}$：$\pi$为常数，分母不含字母，不是分式。
综上，分式有$\frac{x}{3x + 1}$和$\frac{2x - y}{x + 2}$，共2个。
2. 要使分式 $\frac{3x}{x + 5}$ 有意义,则 x 的取值范围是(
A. x ＞ - 5
B. x ＜ 5
$C. x \neq - 5 $
$D. x \neq 5 $
C
)A. x ＞ - 5
B. x ＜ 5
$C. x \neq - 5 $
$D. x \neq 5 $
答案
C
解析
要使分式$\frac{3x}{x + 5}$有意义，分母不能为$0$，即$x + 5 \neq 0$，解得$x \neq -5$。
3. 试写一个含有字母 x 的分式,且其取值范围是 $x \neq - 3$ ,你写的分式是
$\frac{1}{x+3}$（答案不唯一）
。答案
$\frac{1}{x+3}$（答案不唯一）。
解析
要写一个分式，其取值范围为$x \neq -3$，即分母在$x = -3$时为$0$，
因此，可以选择分母为$x + 3$，
为了满足分式的定义，分子可以选择一个非零的常数，
例如，可以选择分式$\frac{1}{x + 3}$，
当$x = -3$时，分母为$0$，分式无意义，
满足题目要求分式的取值范围为$x \neq -3$，
因此分式$\frac{1}{x + 3}$是符合题意的，
（答案不唯一）。
因此，可以选择分母为$x + 3$，
为了满足分式的定义，分子可以选择一个非零的常数，
例如，可以选择分式$\frac{1}{x + 3}$，
当$x = -3$时，分母为$0$，分式无意义，
满足题目要求分式的取值范围为$x \neq -3$，
因此分式$\frac{1}{x + 3}$是符合题意的，
（答案不唯一）。
4. 当 x 为何值时,下列分式有意义：
(1) $\frac{x}{4x + 5}$ ；(2) $\frac{2x}{x^{2} + 4}$ ；(3) $\frac{2}{|x| - 3}$ 。
(1) $\frac{x}{4x + 5}$ ；(2) $\frac{2x}{x^{2} + 4}$ ；(3) $\frac{2}{|x| - 3}$ 。
答案
(1)
要使分式$\frac{x}{4x + 5}$有意义，则分母$4x + 5\neq 0$，
解$4x+5\neq0$得$4x\neq - 5$，即$x\neq-\frac{5}{4}$。
(2)
对于分式$\frac{2x}{x^{2} + 4}$，因为$x^{2}\geqslant0$，所以$x^{2}+4\geqslant4\gt0$，
即无论$x$取何实数，$x^{2}+4\neq0$，所以$x$取任意实数时，分式$\frac{2x}{x^{2} + 4}$都有意义。
(3)
要使分式$\frac{2}{\vert x\vert - 3}$有意义，则分母$\vert x\vert - 3\neq 0$，
即$\vert x\vert\neq 3$，解得$x\neq\pm3$。
综上，答案依次为：
(1)$x\neq-\frac{5}{4}$；
(2)$x$取任意实数；
(3)$x\neq\pm3$。
5. 下列各式中,无论$$ x $$取何值时,分式都有意义的是(
$A. \frac{x - 5}{x^{2} - 1} $
$B. \frac{2x^{2}}{2x + 1} $
$C. \frac{x + 1}{x^{2}} $
$D. \frac{2x}{|x| + 1} $
D
)$A. \frac{x - 5}{x^{2} - 1} $
$B. \frac{2x^{2}}{2x + 1} $
$C. \frac{x + 1}{x^{2}} $
$D. \frac{2x}{|x| + 1} $
答案
D
解析
分式有意义的条件是分母不等于零。
对于选项A，分母为$x^{2} - 1$，当$x = \pm 1$时，$x^{2} - 1 = 0$，所以分式无意义；
对于选项B，分母为$2x + 1$，当$x = -\frac{1}{2}$时，$2x + 1 = 0$，所以分式无意义；
对于选项C，分母为$x^{2}$，当$x = 0$时，$x^{2} = 0$，所以分式无意义；
对于选项D，分母为$\left | x \right | + 1$，由于绝对值函数的性质，$\left | x \right |$ 总是大于等于0，所以$\left | x \right | + 1$ 总是大于等于1，即分母永远不会等于0，所以分式总有意义。
对于选项A，分母为$x^{2} - 1$，当$x = \pm 1$时，$x^{2} - 1 = 0$，所以分式无意义；
对于选项B，分母为$2x + 1$，当$x = -\frac{1}{2}$时，$2x + 1 = 0$，所以分式无意义；
对于选项C，分母为$x^{2}$，当$x = 0$时，$x^{2} = 0$，所以分式无意义；
对于选项D，分母为$\left | x \right | + 1$，由于绝对值函数的性质，$\left | x \right |$ 总是大于等于0，所以$\left | x \right | + 1$ 总是大于等于1，即分母永远不会等于0，所以分式总有意义。
6. 若代数式 $\frac{x + 2}{(x - 1)^{2}}$ 有意义,则 x 的取值范围是______
$x \neq 1$
。答案
$x \neq 1$
解析
要使代数式$\frac{x + 2}{(x - 1)^{2}}$有意义，分母不能为$0$，即$(x - 1)^2 \neq 0$，解得$x \neq 1$。
7. (1)若分式 $\frac{x^{2} + 3}{4x + 9}$ 的值为正数,求 x 的取值范围。
(2)若分式 $\frac{x - 2}{2x + 6}$ 的值为负数,求 x 的取值范围。
(2)若分式 $\frac{x - 2}{2x + 6}$ 的值为负数,求 x 的取值范围。
答案
(1) 因为$x^{2} \geq 0$，所以$x^{2} + 3 \geq 3 ＞ 0$。要使分式$\frac{x^{2} + 3}{4x + 9}$的值为正数，则分母$4x + 9 ＞ 0$，解得$x ＞ -\frac{9}{4}$。
(2) 分式$\frac{x - 2}{2x + 6}$的值为负数，即分子与分母异号。
情况一：$\begin{cases}x - 2 ＞ 0 \\ 2x + 6 ＜ 0\end{cases}$，由$x - 2 ＞ 0$得$x ＞ 2$，由$2x + 6 ＜ 0$得$x ＜ -3$，此不等式组无解。
情况二：$\begin{cases}x - 2 ＜ 0 \\ 2x + 6 ＞ 0\end{cases}$，由$x - 2 ＜ 0$得$x ＜ 2$，由$2x + 6 ＞ 0$得$x ＞ -3$，解得$-3 ＜ x ＜ 2$。
综上，
(1) $x ＞ -\frac{9}{4}$；
(2) $-3 ＜ x ＜ 2$。
8. 当 x = 1 时,分式 $\frac{x + a}{2x - b}$ 无意义,当 x = - 1 时,分式 $\frac{x + a}{2x - b}$ 的值为 0,求 a + b 的值。
答案
当分式无意义时，分母为0。当$x = 1$时，分式$\frac{x + a}{2x - b}$无意义，所以$2×1 - b = 0$，解得$b = 2$。
当分式的值为0时，分子为0且分母不为0。当$x = -1$时，分式的值为0，所以分子$-1 + a = 0$，解得$a = 1$。此时分母$2×(-1) - b = -2 - 2 = -4 ≠ 0$，符合条件。
所以$a = 1$，$b = 2$，则$a + b = 1 + 2 = 3$。
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当分式的值为0时，分子为0且分母不为0。当$x = -1$时，分式的值为0，所以分子$-1 + a = 0$，解得$a = 1$。此时分母$2×(-1) - b = -2 - 2 = -4 ≠ 0$，符合条件。
所以$a = 1$，$b = 2$，则$a + b = 1 + 2 = 3$。
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