一、连接正方形四边的中点可以组成一个新的正方形。

1.按照图形的变化规律把表格填写完整。
| 正方形个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| 直角三角形个数 | 0 | 4 | 8 | | | … |
2.画20个正方形能得到( )个直角三角形,画n个正方形能得到( )个直角三角形。如果第1个正方形的面积是256平方分米,那么第6个小正方形的面积是( )平方分米。

一、1.
| 正方形个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 直角三角形个数 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | … |
解析：观察图形可知，每增加$1$个正方形，就会增加$4$个直角三角形，所以$4$个正方形时直角三角形个数为$4×(4 - 1)=12$个，$5$个正方形时直角三角形个数为$4×(5 - 1)=16$个。
答案：12；16。
2.
画$20$个正方形能得到$4×(20 - 1)=76$个直角三角形；
画$n$个正方形能得到$4×(n - 1)=4(n - 1)$个直角三角形；
因为每画一个正方形，面积就变为原来正方形面积的$\frac{1}{2}$，画了$5$次后得到第$6$个小正方形，所以第$6$个小正方形的面积是$256×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=256×\frac{1}{32}=8$（平方分米）。
答案：76；$4(n - 1)$；8。

2＋4＋6＋8＋10＋12＝()×()＝()
2×1＋2×2＋2×3＋…＋2n＝()×()

解析：
第一个图形中，$2=2× 1$，有$1× 2$个小正方形，涂色部分有$2$个。
第二个图形中，$2+4=3× 2$，有$2× 3$个小正方形，涂色部分有$2+4=6$个。
第三个图形中，$2+4+6=4× 3$，有$3× 4$个小正方形，涂色部分有$2+4+6=12$个。
以此类推，第四个图形中，有$4× 5$个小正方形，涂色部分有$2+4+6+8=20$个，可写成$5× 4$。
第五个图形中，$2+4+6+8+10+12=6× 5=30$，有$5× 6$个小正方形，涂色部分有$2+4+6+8+10+12=42$个，可写成$6× 7$。
第六个图形中，$2× 1+2× 2+2× 3+\cdots +2n=2× (1+2+3+\cdots +n)=(n+1)× n$，有$n× (n+1)$个小正方形，涂色部分有$2× (1+2+3+\cdots +n)$个，可写成$(n+1)× n$。
答案：
$2+4+6+8=5× 4=20$；
$2+4+6+8+10+12=6× 7=42$；
$2× 1+2× 2+2× 3+\cdots +2n=(n+1)× n$。

三、【拓展题】有一批正方形砖:若拼成一个长与宽之比为5∶4的长方形,则余38块；若改拼成长与宽各增加1块的大长方形,则少53块。这批正方形砖共有多少块？

解析：
设长为$5x$块砖，宽为$4x$块砖，
根据题意，可列方程：
$(5x+1)× (4x+1)-5x× 4x=38+53$，
展开并化简得：
$20x^2 + 5x + 4x + 1 - 20x^2 = 91$，
$9x + 1 = 91$，
$9x = 90$，
$x = 10$，
则长为：
$5× 10=50$（块），
宽为：
$4× 10=40$（块），
那么这批正方形砖的总块数为：
$50× 40+38$
$=2000+38$
$=2038$（块），
答案：
2038块。