12. 如图，点O为数轴原点，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸在数轴上先以C为直角顶点作$\mathrm{Rt}△ ABC$，$BC=1$，再以点A为圆心，AB长为半径作弧，交数轴于D，E两点。莲莲说：“若点D，E分别表示数$m$，$n$，我发现$x=m$是一元二次方程$x^2+bx-4=0$的一个根。”琮琮说：“$x=n$一定不是此方程的根。”
（1）求出$m$，$n$的值。
（2）求出$b$的值。
（3）你认为琮琮说的对吗？为什么？

12. (1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中,
$\because BC=1,AC=3-1=2$,
$\therefore AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.
$\therefore AE=AD=AB=\sqrt{5}$.
$\because OA=1$,
$\therefore OE=AE-OA=\sqrt{5}-1,OD=AD+OA=\sqrt{5}+1$.
$\therefore$ 点$D$表示的数为$\sqrt{5}+1$,即$m=\sqrt{5}+1$,点$E$表示的数为$-(\sqrt{5}-1)=-\sqrt{5}+1$,即$n=-\sqrt{5}+1$.
(2)把$x=\sqrt{5}+1$代入方程$x^2+bx-4=0$,得$(\sqrt{5}+1)^2+(\sqrt{5}+1)b-4=0$. 解得$b=-2$.
(3)琮琮说的不对. 理由如下:
由(2)可知一元二次方程为$x^2-2x-4=0$.
把$x=-\sqrt{5}+1$代入方程左边,得$(-\sqrt{5}+1)^2-2(-\sqrt{5}+1)-4=5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2-4=0$,
$\therefore x=n$一定是此方程的根.

【分析】
（1）要求数轴上D、E对应的数m、n，首先需要求弧的半径AB的长度：先根据A、C表示的数算出AC的长度，结合Rt△ABC中BC=1，用勾股定理即可求出AB；再根据A点表示的数为1，AD=AE=AB，分别计算D、E对应的数即可。
（2）已知x=m是方程的根，将m代入方程，解关于b的一元一次方程就能求出b的值。
（3）要判断琮琮的说法是否正确，只需将x=n代入第（2）问求出的一元二次方程，验证左边是否等于0即可，若等于0则n是方程的根，说明琮琮说法错误。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，
$\because$ 点A、C表示的数分别为1和3，$\therefore AC=3-1=2$，
又$\because BC=1$，$∠ ACB=90°$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$\because$ 以A为圆心，AB长为半径作弧交数轴于D、E，
$\therefore AE=AD=AB=\sqrt{5}$，
$\because$ 点A表示的数为1，
$\therefore$ 点D表示的数为$1+\sqrt{5}$，即$m=\sqrt{5}+1$，
点E表示的数为$1-\sqrt{5}$，即$n=1-\sqrt{5}$。
(2) 将$x=\sqrt{5}+1$代入方程$x^2+bx-4=0$，得：
$(\sqrt{5}+1)^2 + b(\sqrt{5}+1) - 4 = 0$
展开整理得：$2+2\sqrt{5} + b(\sqrt{5}+1)=0$
解得：$b=-2$。
(3) 琮琮说的不对，理由如下：
由(2)得一元二次方程为$x^2-2x-4=0$，
将$x=1-\sqrt{5}$代入方程左边：
$\begin{aligned}(1-\sqrt{5})^2 -2(1-\sqrt{5}) -4&=1-2\sqrt{5}+5 -2 + 2\sqrt{5} -4\\&=0\end{aligned}$
左边等于右边，因此$x=n$是该方程的根，故琮琮的说法错误。
【答案】
(1) $m=\sqrt{5}+1$，$n=1-\sqrt{5}$；
(2) $b=-2$；
(3) 琮琮说的不对，$x=n$是此方程的根。
【知识点】
勾股定理，数轴的应用，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题综合考查了数轴上点的表示、勾股定理的应用以及一元二次方程根的验证，解题的关键是先求出半径AB的长度，再结合数轴得到m、n的值，最后利用方程根的定义进行计算和验证，整体侧重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7