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7.经过人民中路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能向左转，如果这两种可能性大小相同，那么至少有一辆向左转的概率是
$\frac{3}{4}$
。答案
7.$\frac{3}{4}$
解析
【分析】
求解本题首先明确两辆汽车的行驶方向相互独立，且直行、左转的概率均为$\frac{1}{2}$。我们可以用两种思路解题：一是列举出两辆车行驶方向的所有等可能结果，统计符合“至少一辆左转”的结果数，再根据等可能事件概率公式计算；二是先求“至少一辆左转”的对立事件“两辆车都直行”的概率，再用1减去对立事件的概率，这种方法更简便，不容易漏算。
【解析】
方法一：列举法
设两辆汽车分别为A、B，所有可能的行驶情况如下：
①A直行，B直行；②A直行，B左转；③A左转，B直行；④A左转，B左转。
共有4种等可能的结果，其中满足“至少有一辆向左转”的结果有②③④，共3种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得所求概率为$\frac{3}{4}$。
方法二：对立事件法
“至少有一辆向左转”的对立事件为“两辆汽车都直行”。
每辆车直行的概率为$\frac{1}{2}$，因此两辆车都直行的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
则至少有一辆向左转的概率为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率，对立事件概率计算
【点评】
本题是概率基础常考题，解题时可灵活选择计算方法，遇到“至少”“至多”类概率问题时，优先用对立事件求解可以简化运算，避免漏数情况。
【难度系数】
0.8
求解本题首先明确两辆汽车的行驶方向相互独立，且直行、左转的概率均为$\frac{1}{2}$。我们可以用两种思路解题：一是列举出两辆车行驶方向的所有等可能结果，统计符合“至少一辆左转”的结果数，再根据等可能事件概率公式计算；二是先求“至少一辆左转”的对立事件“两辆车都直行”的概率，再用1减去对立事件的概率，这种方法更简便，不容易漏算。
【解析】
方法一：列举法
设两辆汽车分别为A、B，所有可能的行驶情况如下：
①A直行，B直行；②A直行，B左转；③A左转，B直行；④A左转，B左转。
共有4种等可能的结果，其中满足“至少有一辆向左转”的结果有②③④，共3种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得所求概率为$\frac{3}{4}$。
方法二：对立事件法
“至少有一辆向左转”的对立事件为“两辆汽车都直行”。
每辆车直行的概率为$\frac{1}{2}$，因此两辆车都直行的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
则至少有一辆向左转的概率为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率，对立事件概率计算
【点评】
本题是概率基础常考题，解题时可灵活选择计算方法，遇到“至少”“至多”类概率问题时，优先用对立事件求解可以简化运算，避免漏数情况。
【难度系数】
0.8
8.如图所示,甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形(两个转盘除表面数字不同外,其他完全相同),转盘甲上的数字分别是-6,-1,8,转盘乙上的数字分别是-4,5,7(规定:若指针恰好停留在分界线上,则重新转一次).
(1)转动转盘,转盘甲指针指向正数的概率是
(2)若同时转动两个转盘,转盘甲指针所指的数字记为a,转盘乙指针所指的数字记为b,请用列表法或画树状图法求满足$a+b＜0$的概率.
(1)转动转盘,转盘甲指针指向正数的概率是
$\frac{1}{3}$
;转盘乙指针指向正数的概率是$\frac{2}{3}$
.(2)若同时转动两个转盘,转盘甲指针所指的数字记为a,转盘乙指针所指的数字记为b,请用列表法或画树状图法求满足$a+b＜0$的概率.
答案
8.解:(1)$\frac{1}{3}$；$\frac{2}{3}$.
(2)列表如下：
由表知,满足$a+b＜0$的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
(2)列表如下：
| 甲\乙 | -1 | -6 | 8 |
| -4 | -5 | -10 | 4 |
| 5 | 4 | -1 | 13 |
| 7 | 6 | 1 | 15 |
由表知,满足$a+b＜0$的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
(1) 求解单转盘指针指向正数的概率，先明确每个转盘有3个面积相等的扇形，即指针指向每个数字都是等可能的，总情况数为3，再分别统计两个转盘里正数的个数，用“所求情况数÷总情况数”即可得到对应概率。
(2) 求解同时转动两个转盘满足$a+b＜0$的概率，属于两步随机事件概率问题，先通过列表法列举出所有等可能的$(a,b)$组合，再逐一计算每组的$a+b$的值，统计出和小于0的情况数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
解：(1) 转盘甲的数字为-6、-1、8，共3种等可能结果，其中正数只有8，共1种，
因此转盘甲指针指向正数的概率为$\frac{1}{3}$；
转盘乙的数字为-4、5、7，共3种等可能结果，其中正数有5、7，共2种，
因此转盘乙指针指向正数的概率为$\frac{2}{3}$。
(2) 列表列举所有等可能的结果如下：
| 甲\乙 | -4 | 5 | 7 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| -6 | $-10$ | $-1$ | $1$ |
| -1 | $-5$ | $4$ | $6$ |
| 8 | $4$ | $13$ | $15$ |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中满足$a+b＜0$的结果有3种，
因此满足$a+b＜0$的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；$\frac{2}{3}$
(2) $\frac{1}{3}$
【知识点】
简单事件概率计算，列表法求概率，有理数加法
【点评】
本题侧重考查概率的基础应用，既需要掌握概率的基本计算公式，也需要熟练使用列表法或树状图法梳理多步随机事件的所有等可能结果，计算时注意有理数的正负符号，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求解单转盘指针指向正数的概率，先明确每个转盘有3个面积相等的扇形，即指针指向每个数字都是等可能的，总情况数为3，再分别统计两个转盘里正数的个数，用“所求情况数÷总情况数”即可得到对应概率。
(2) 求解同时转动两个转盘满足$a+b＜0$的概率，属于两步随机事件概率问题，先通过列表法列举出所有等可能的$(a,b)$组合，再逐一计算每组的$a+b$的值，统计出和小于0的情况数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
解：(1) 转盘甲的数字为-6、-1、8，共3种等可能结果，其中正数只有8，共1种，
因此转盘甲指针指向正数的概率为$\frac{1}{3}$；
转盘乙的数字为-4、5、7，共3种等可能结果，其中正数有5、7，共2种，
因此转盘乙指针指向正数的概率为$\frac{2}{3}$。
(2) 列表列举所有等可能的结果如下：
| 甲\乙 | -4 | 5 | 7 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| -6 | $-10$ | $-1$ | $1$ |
| -1 | $-5$ | $4$ | $6$ |
| 8 | $4$ | $13$ | $15$ |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中满足$a+b＜0$的结果有3种，
因此满足$a+b＜0$的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；$\frac{2}{3}$
(2) $\frac{1}{3}$
【知识点】
简单事件概率计算，列表法求概率，有理数加法
【点评】
本题侧重考查概率的基础应用，既需要掌握概率的基本计算公式，也需要熟练使用列表法或树状图法梳理多步随机事件的所有等可能结果，计算时注意有理数的正负符号，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
9.A,B,C三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:第一次传球由A将球随机地传给B,C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人.
(1)用列表法或画树状图法求两次传球后,球恰在B手中的概率.
(2)用列表法或画树状图法求三次传球后,球恰在A手中的概率.
(1)用列表法或画树状图法求两次传球后,球恰在B手中的概率.
(2)用列表法或画树状图法求三次传球后,球恰在A手中的概率.
答案
9.解:(1)画树状图得：
∵共有4种等可能的结果,两次传球后,球恰在B手中的只有1种情况,
∴两次传球后,球恰在B手中的概率为$\frac{1}{4}$.
(2)画树状图得：
∵共有8种等可能的结果,三次传球后,球恰在A手中的有2种情况,
∴三次传球后,球恰在A手中的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
本题为多步随机事件的概率求解问题，可采用树状图法梳理所有等可能结果，解题思路如下：
1. 首先明确规则：每次传球只能传给除持球人外的另外两人，所有传球结果都是等可能的，属于古典概型，可通过“概率=符合要求的结果数÷所有等可能结果总数”计算。
2. 求解第(1)问时，先画两次传球的树状图：第一层为第一次A传球的2种可能（传给B、C），第二层对应每个第一次的持球人，列出第二次传球的2种可能，统计总结果数和两次传球后球在B手中的结果数，代入公式即可得到概率。
3. 求解第(2)问时，在两次传球的树状图基础上，补充第三次传球的所有分支，统计三次传球的总结果数和最终球在A手中的结果数，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 按照传球规则绘制两次传球的树状图：
第一次传球从A出发，可传给B或C，共2种等可能情况；第二次传球时，若第一次持球人为B，可传给A、C，若第一次持球人为C，可传给A、B，最终共得到4种等可能的结果。
其中两次传球后球恰在B手中的结果只有1种，代入概率公式计算即可。
(2) 在两次传球的树状图基础上延伸得到三次传球的所有情况：
每个第二次传球后的持球人继续向另外两人传球，最终共得到8种等可能的结果，其中三次传球后球恰在A手中的结果有2种，代入概率公式计算即可。
【答案】
(1) 画树状图得：
∵共有4种等可能的结果,两次传球后,球恰在B手中的只有1种情况,
∴两次传球后,球恰在B手中的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图得：
∵共有8种等可能的结果,三次传球后,球恰在A手中的有2种情况,
∴三次传球后,球恰在A手中的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【知识点】
树状图法、古典概型概率计算
【点评】
本题是概率计算的常规基础题，重点考查用树状图求解多步随机事件概率的方法，解题关键是准确绘制树状图，保证所有等可能结果不重不漏，再结合概率公式计算即可，该类题型是概率部分的高频考点，需熟练掌握树状图的绘制方法。
【难度系数】
0.7
本题为多步随机事件的概率求解问题，可采用树状图法梳理所有等可能结果，解题思路如下：
1. 首先明确规则：每次传球只能传给除持球人外的另外两人，所有传球结果都是等可能的，属于古典概型，可通过“概率=符合要求的结果数÷所有等可能结果总数”计算。
2. 求解第(1)问时，先画两次传球的树状图：第一层为第一次A传球的2种可能（传给B、C），第二层对应每个第一次的持球人，列出第二次传球的2种可能，统计总结果数和两次传球后球在B手中的结果数，代入公式即可得到概率。
3. 求解第(2)问时，在两次传球的树状图基础上，补充第三次传球的所有分支，统计三次传球的总结果数和最终球在A手中的结果数，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 按照传球规则绘制两次传球的树状图：
第一次传球从A出发，可传给B或C，共2种等可能情况；第二次传球时，若第一次持球人为B，可传给A、C，若第一次持球人为C，可传给A、B，最终共得到4种等可能的结果。
其中两次传球后球恰在B手中的结果只有1种，代入概率公式计算即可。
(2) 在两次传球的树状图基础上延伸得到三次传球的所有情况：
每个第二次传球后的持球人继续向另外两人传球，最终共得到8种等可能的结果，其中三次传球后球恰在A手中的结果有2种，代入概率公式计算即可。
【答案】
(1) 画树状图得：
∵共有4种等可能的结果,两次传球后,球恰在B手中的只有1种情况,
∴两次传球后,球恰在B手中的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图得：
∵共有8种等可能的结果,三次传球后,球恰在A手中的有2种情况,
∴三次传球后,球恰在A手中的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【知识点】
树状图法、古典概型概率计算
【点评】
本题是概率计算的常规基础题，重点考查用树状图求解多步随机事件概率的方法，解题关键是准确绘制树状图，保证所有等可能结果不重不漏，再结合概率公式计算即可，该类题型是概率部分的高频考点，需熟练掌握树状图的绘制方法。
【难度系数】
0.7
