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1. 在$□ ABCD$中，$BE$平分$∠ ABC$交$AD$于点$E$，$CF$平分$∠ BCD$交$AD$于点$F$。若$AB=4$，$EF=1$，则边$BC$的长为（
A.7
B.9
C.7或8
D.7或9
D
）A.7
B.9
C.7或8
D.7或9
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义，可推导出△ABE和△DCF均为等腰三角形，得到AE=AB、DF=CD；其次需注意点E和F在AD上的位置存在两种情况：一是E在F左侧，两点无重叠；二是F在E左侧，EF为两段重叠的部分，分别计算两种情况下AD的长度，即为BC的长度，最终匹配选项即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=4，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=4。
同理可证∠DFC=∠DCF，
∴DF=CD=4。
分两种情况讨论：
① 当点E在点F左侧时：
AD = AE + EF + DF = 4 + 1 + 4 = 9，故BC=AD=9；
② 当点F在点E左侧时：
此时AE+DF = AD + EF（EF为重叠部分），
∴AD = AE + DF - EF = 4 + 4 - 1 =7，故BC=AD=7。
综上，BC的长为7或9，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何分类讨论的典型题型，核心是结合平行四边形性质和等腰三角形判定求边长，易错点是容易忽略E、F两点的位置有两种可能，导致漏解，解题时要养成全面考虑位置关系的习惯。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义，可推导出△ABE和△DCF均为等腰三角形，得到AE=AB、DF=CD；其次需注意点E和F在AD上的位置存在两种情况：一是E在F左侧，两点无重叠；二是F在E左侧，EF为两段重叠的部分，分别计算两种情况下AD的长度，即为BC的长度，最终匹配选项即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=4，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=4。
同理可证∠DFC=∠DCF，
∴DF=CD=4。
分两种情况讨论：
① 当点E在点F左侧时：
AD = AE + EF + DF = 4 + 1 + 4 = 9，故BC=AD=9；
② 当点F在点E左侧时：
此时AE+DF = AD + EF（EF为重叠部分），
∴AD = AE + DF - EF = 4 + 4 - 1 =7，故BC=AD=7。
综上，BC的长为7或9，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何分类讨论的典型题型，核心是结合平行四边形性质和等腰三角形判定求边长，易错点是容易忽略E、F两点的位置有两种可能，导致漏解，解题时要养成全面考虑位置关系的习惯。
【难度系数】
0.6
2. 在$□ ABCD$中，已知$AB=6$，$BE$平分$∠ ABC$交$AD$边于点$E$，点$E$将$AD$分为$1:3$两部分，则$AD$的长为
8或24
。答案
2. 8或24
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义，通过等角对等边推出AE=AB=6；题目中“点E将AD分为1:3两部分”未明确较短段和较长段的对应关系，因此需要分两种情况讨论，分别计算AD的长度，避免漏解。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=6（等角对等边）。
分两种情况讨论：
① 若AE:ED=1:3，则ED=3AE=3×6=18，
∴AD=AE+ED=6+18=24；
② 若ED:AE=1:3，则ED=$\frac{1}{3}$AE=$\frac{1}{3}$×6=2，
∴AD=AE+ED=6+2=8。
综上，AD的长为8或24。
【答案】
8或24
【知识点】
1.平行四边形的性质 2.角平分线的定义 3.等腰三角形的判定
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，解题时要注意当线段比例未明确对应关系时，需分情况讨论，避免漏解，同时要熟练掌握平行四边形性质和等腰三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义，通过等角对等边推出AE=AB=6；题目中“点E将AD分为1:3两部分”未明确较短段和较长段的对应关系，因此需要分两种情况讨论，分别计算AD的长度，避免漏解。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=6（等角对等边）。
分两种情况讨论：
① 若AE:ED=1:3，则ED=3AE=3×6=18，
∴AD=AE+ED=6+18=24；
② 若ED:AE=1:3，则ED=$\frac{1}{3}$AE=$\frac{1}{3}$×6=2，
∴AD=AE+ED=6+2=8。
综上，AD的长为8或24。
【答案】
8或24
【知识点】
1.平行四边形的性质 2.角平分线的定义 3.等腰三角形的判定
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，解题时要注意当线段比例未明确对应关系时，需分情况讨论，避免漏解，同时要熟练掌握平行四边形性质和等腰三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
3. 如图，设P为$□ ABCD$内的一点，$△ PAB$，$△ PBC$，$△ PDC$，$△ PDA$的面积分别记为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$，则有 （
A.$S_1=S_4$
B.$S_1+S_2=S_3+S_4$
C.$S_1+S_3=S_2+S_4$
D.以上都不对
第3题图 第4题图
C
）A.$S_1=S_4$
B.$S_1+S_2=S_3+S_4$
C.$S_1+S_3=S_2+S_4$
D.以上都不对
第3题图 第4题图
答案
3. C
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边相等且平行的性质，分析相对的两个三角形的底和高的关系：△PAB和△PDC的底分别等于平行四边形的一组对边，二者的高相加恰好等于该组对边之间的距离（即平行四边形对应底上的高），由此可推出这两个三角形的面积和等于平行四边形面积的一半；同理剩下两个三角形的面积和也等于平行四边形面积的一半，即可得到四个面积的等量关系。
【解析】
设平行四边形ABCD的面积为S。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，AB与CD之间的距离为平行四边形的高h。
设△PAB的AB边上的高为h₁，△PDC的CD边上的高为h₂，则h₁+h₂=h。
∴$S_1=\frac{1}{2}AB· h_1$，$S_3=\frac{1}{2}CD· h_2=\frac{1}{2}AB· h_2$，
∴$S_1+S_3=\frac{1}{2}AB(h_1+h_2)=\frac{1}{2}AB· h=\frac{1}{2}S$。
同理可证，$S_2+S_4=\frac{1}{2}S$，
∴$S_1+S_3=S_2+S_4$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是平行四边形面积性质的典型应用，核心是掌握平行四边形内任意一点与两组对边分别形成的两个三角形面积和均为平行四边形面积的一半，只要理清三角形的底、高和平行四边形底、高的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形对边相等且平行的性质，分析相对的两个三角形的底和高的关系：△PAB和△PDC的底分别等于平行四边形的一组对边，二者的高相加恰好等于该组对边之间的距离（即平行四边形对应底上的高），由此可推出这两个三角形的面积和等于平行四边形面积的一半；同理剩下两个三角形的面积和也等于平行四边形面积的一半，即可得到四个面积的等量关系。
【解析】
设平行四边形ABCD的面积为S。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，AB与CD之间的距离为平行四边形的高h。
设△PAB的AB边上的高为h₁，△PDC的CD边上的高为h₂，则h₁+h₂=h。
∴$S_1=\frac{1}{2}AB· h_1$，$S_3=\frac{1}{2}CD· h_2=\frac{1}{2}AB· h_2$，
∴$S_1+S_3=\frac{1}{2}AB(h_1+h_2)=\frac{1}{2}AB· h=\frac{1}{2}S$。
同理可证，$S_2+S_4=\frac{1}{2}S$，
∴$S_1+S_3=S_2+S_4$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是平行四边形面积性质的典型应用，核心是掌握平行四边形内任意一点与两组对边分别形成的两个三角形面积和均为平行四边形面积的一半，只要理清三角形的底、高和平行四边形底、高的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，以四边形ABCD各顶点及各边延长线上的点为顶点构成$△ AEF$，$△ BGH$，$△ CMN$，$△ DPQ$，则$∠ E$，$∠ F$，$∠ G$，$∠ H$，$∠ M$，$∠ N$，$∠ P$，$∠ Q$的度数和为
360°
。答案
4. 360°
解析
【分析】
要求8个角的度数和，可先利用三角形外角的性质，将每个三角形中两个待求角的和转化为四边形ABCD的外角，再结合多边形外角和定理计算总和。具体思路：首先观察每个小三角形的两个锐角，它们的和恰好等于对应位置四边形的一个外角，而四边形的外角和为固定值360°，由此即可求出8个角的总度数和。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
1. 在$△ AEF$中，$∠ E + ∠ F = ∠ FAB$；
2. 在$△ BGH$中，$∠ G + ∠ H = ∠ HBC$；
3. 在$△ CMN$中，$∠ M + ∠ N = ∠ NCD$；
4. 在$△ DPQ$中，$∠ P + ∠ Q = ∠ QDA$。
其中$∠ FAB$、$∠ HBC$、$∠ NCD$、$∠ QDA$是四边形$ABCD$的四个外角，根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和均为$360°$，因此：
$∠ FAB + ∠ HBC + ∠ NCD + ∠ QDA = 360°$
将上述等式替换可得：
$∠ E + ∠ F + ∠ G + ∠ H + ∠ M + ∠ N + ∠ P + ∠ Q = 360°$
【答案】
$360°$
【知识点】
三角形外角的性质；多边形外角和定理
【点评】
本题考查了角度求和的转化思想，将分散的多个角的和通过外角性质转化为已知固定值的多边形外角和，是解决这类问题的常用思路，解题时要准确找到外角与待求角的对应关系。
【难度系数】
0.7
要求8个角的度数和，可先利用三角形外角的性质，将每个三角形中两个待求角的和转化为四边形ABCD的外角，再结合多边形外角和定理计算总和。具体思路：首先观察每个小三角形的两个锐角，它们的和恰好等于对应位置四边形的一个外角，而四边形的外角和为固定值360°，由此即可求出8个角的总度数和。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
1. 在$△ AEF$中，$∠ E + ∠ F = ∠ FAB$；
2. 在$△ BGH$中，$∠ G + ∠ H = ∠ HBC$；
3. 在$△ CMN$中，$∠ M + ∠ N = ∠ NCD$；
4. 在$△ DPQ$中，$∠ P + ∠ Q = ∠ QDA$。
其中$∠ FAB$、$∠ HBC$、$∠ NCD$、$∠ QDA$是四边形$ABCD$的四个外角，根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和均为$360°$，因此：
$∠ FAB + ∠ HBC + ∠ NCD + ∠ QDA = 360°$
将上述等式替换可得：
$∠ E + ∠ F + ∠ G + ∠ H + ∠ M + ∠ N + ∠ P + ∠ Q = 360°$
【答案】
$360°$
【知识点】
三角形外角的性质；多边形外角和定理
【点评】
本题考查了角度求和的转化思想，将分散的多个角的和通过外角性质转化为已知固定值的多边形外角和，是解决这类问题的常用思路，解题时要准确找到外角与待求角的对应关系。
【难度系数】
0.7
5. 物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即$F_1$和$F_2$的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力$F$。如图，设两个共点力的合力为$F$，现保持两个力的夹角$θ(0°＜θ＜90°)$不变，若其中一个力减小，另一个力不变，则合力$F$（
A.一定增大
B.保持不变
C.可能增大，也可能减小
D.一定减小
D
）A.一定增大
B.保持不变
C.可能增大，也可能减小
D.一定减小
答案
5. D
解析
【分析】
本题可结合平行四边形法则分析合力的变化：首先明确已知条件：两个共点力的夹角θ为锐角（0°＜θ＜90°）且保持不变，其中一个力大小、方向不变，另一个力大小减小。我们可以通过直观作图的方式，固定不变的力的位置和长度，保持两力夹角不变，缩短另一个力的长度，再按平行四边形法则画出新的合力（对角线），对比新旧对角线的长度即可判断合力变化。
【解析】
根据力的合成的平行四边形法则，合力F是两个分力F₁、F₂为邻边构成的平行四边形的对角线的长度。
已知两力夹角θ满足0°＜θ＜90°且保持不变，分两种情况讨论：
1. 若F₂大小、方向不变，F₁与F₂的夹角θ不变，当F₁减小时，作出新的平行四边形，新的邻边F₁' ＜ F₁，F₂不变，夹角不变，对应的新对角线（合力）F'的长度小于原合力F的长度；
2. 若F₁大小、方向不变，F₂与F₁的夹角θ不变，当F₂减小时，同理作出的新平行四边形的对角线长度也小于原合力F的长度。
因此无论哪个力减小，合力F一定减小。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形法则；线段大小比较
【点评】
本题结合物理中力的合成的场景，考查对平行四边形法则的应用能力，解题时通过作图的方式可以更直观地观察到合力的变化趋势，要注意题目中“夹角为锐角”的限制条件，不同夹角范围下分力变化对合力的影响可能存在差异。
【难度系数】
0.7
本题可结合平行四边形法则分析合力的变化：首先明确已知条件：两个共点力的夹角θ为锐角（0°＜θ＜90°）且保持不变，其中一个力大小、方向不变，另一个力大小减小。我们可以通过直观作图的方式，固定不变的力的位置和长度，保持两力夹角不变，缩短另一个力的长度，再按平行四边形法则画出新的合力（对角线），对比新旧对角线的长度即可判断合力变化。
【解析】
根据力的合成的平行四边形法则，合力F是两个分力F₁、F₂为邻边构成的平行四边形的对角线的长度。
已知两力夹角θ满足0°＜θ＜90°且保持不变，分两种情况讨论：
1. 若F₂大小、方向不变，F₁与F₂的夹角θ不变，当F₁减小时，作出新的平行四边形，新的邻边F₁' ＜ F₁，F₂不变，夹角不变，对应的新对角线（合力）F'的长度小于原合力F的长度；
2. 若F₁大小、方向不变，F₂与F₁的夹角θ不变，当F₂减小时，同理作出的新平行四边形的对角线长度也小于原合力F的长度。
因此无论哪个力减小，合力F一定减小。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形法则；线段大小比较
【点评】
本题结合物理中力的合成的场景，考查对平行四边形法则的应用能力，解题时通过作图的方式可以更直观地观察到合力的变化趋势，要注意题目中“夹角为锐角”的限制条件，不同夹角范围下分力变化对合力的影响可能存在差异。
【难度系数】
0.7
6. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法。如图，在$△ ABC$中，分别取$AB$，$AC$的中点$D$，$E$，连接$DE$，过点$A$作$AF ⊥ DE$，垂足为$F$，将$△ ABC$分割后拼接成长方形$BCHG$。若$DE=3$，$AF=2$，则图中梯形$BCED$的面积是
9
。答案
6. 9
解析
【分析】
解题思路：首先根据D、E是AB、AC的中点，判断DE是△ABC的中位线，利用中位线定理求出BC的长度，同时结合DE//BC的性质，得出△ABC的高是AF长度的2倍。分别计算△ABC和△ADE的面积，两者作差即可得到梯形BCED的面积；也可结合出入相补原理，利用拼接后长方形与原三角形面积相等的关系推导结果。
【解析】
解：
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×3=6，且DE//BC，
∵AF⊥DE，
∴点A到BC的距离为2AF=2×2=4，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×高=\frac{1}{2}×6×4=12$，
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×DE×AF=\frac{1}{2}×3×2=3$，
∴梯形BCED的面积=$S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=12-3=9$。
【答案】
9
【知识点】
三角形中位线定理、三角形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题结合中国古代数学的出入相补法设置情境，核心考查三角形中位线性质和面积计算的应用，解题的关键是利用中位线的性质得到BC的长度和原三角形的高，既可以用面积作差求解，也可通过拼接图形的面积关系推导，注重对知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据D、E是AB、AC的中点，判断DE是△ABC的中位线，利用中位线定理求出BC的长度，同时结合DE//BC的性质，得出△ABC的高是AF长度的2倍。分别计算△ABC和△ADE的面积，两者作差即可得到梯形BCED的面积；也可结合出入相补原理，利用拼接后长方形与原三角形面积相等的关系推导结果。
【解析】
解：
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×3=6，且DE//BC，
∵AF⊥DE，
∴点A到BC的距离为2AF=2×2=4，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×高=\frac{1}{2}×6×4=12$，
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×DE×AF=\frac{1}{2}×3×2=3$，
∴梯形BCED的面积=$S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=12-3=9$。
【答案】
9
【知识点】
三角形中位线定理、三角形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题结合中国古代数学的出入相补法设置情境，核心考查三角形中位线性质和面积计算的应用，解题的关键是利用中位线的性质得到BC的长度和原三角形的高，既可以用面积作差求解，也可通过拼接图形的面积关系推导，注重对知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
7. 定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形。如图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，$△ EFG$为等边三角形。
(1)求证：四边形ABCD是“等对边四边形”；
(2)若$∠ BAC + ∠ BDC = 180°$，求$∠ DBC$的度数。
(1)求证：四边形ABCD是“等对边四边形”；
(2)若$∠ BAC + ∠ BDC = 180°$，求$∠ DBC$的度数。
答案
(1) 证明略
(2) $∠DBC=30°$。
(2) $∠DBC=30°$。
解析
【分析】
(1) 要证四边形ABCD是等对边四边形，只需证明存在一组对边相等即可。题中给出E、F、G分别是AC、BD、BC的中点，可利用三角形中位线定理得到EG与AB、FG与CD的数量关系，再结合△EFG是等边三角形的等边性质，即可推出AB=CD，满足等对边四边形的定义。
(2) 先通过中位线的平行性质推导角的等量关系，结合平角的性质得到∠ABC+∠BCD=120°，再利用两个三角形内角和公式相加，代入已知的∠BAC+∠BDC=180°，得到∠ACB+∠DBC=60°，最后结合AB=CD的条件可证∠ACB=∠DBC，即可求出∠DBC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ E是AC的中点，G是BC的中点，
∴ EG是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理得：$EG=\frac{1}{2}AB$。
同理，F是BD的中点，G是BC的中点，
∴ FG是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理得：$FG=\frac{1}{2}CD$。
∵ △EFG是等边三角形，
∴ $EG=FG$，
∴ $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，即$AB=CD$。
∴ 四边形ABCD至少有一组对边相等，符合“等对边四边形”的定义，得证。
(2) 解：
由三角形中位线的性质可得：$EG// AB$，$FG// CD$，
∴ $∠ GEC=∠ BAC$，$∠ BGF=∠ BCD$，$∠ EGC=∠ ABC$。
∵ 点B、G、C在同一直线上，构成平角，
∴ $∠ BGF+∠ FGE+∠ EGC=180°$，
∵ △EFG是等边三角形，
∴ $∠ FGE=60°$，
代入得：$∠ BCD+∠ ABC=180°-60°=120°$。
在△ABC中，由三角形内角和得：$∠ BAC+∠ ABC+∠ ACB=180°$ ①，
在△BCD中，由三角形内角和得：$∠ BDC+∠ DBC+∠ BCD=180°$ ②，
①+②得：$(∠ BAC+∠ BDC)+(∠ ABC+∠ BCD)+∠ ACB+∠ DBC=360°$，
将$∠ BAC+∠ BDC=180°$、$∠ ABC+∠ BCD=120°$代入上式：
$180°+120°+∠ ACB+∠ DBC=360°$，
化简得：$∠ ACB+∠ DBC=60°$。
结合$AB=CD$、$∠ BAC+∠ BDC=180°$可证$∠ ACB=∠ DBC$，
因此$2∠ DBC=60°$，解得$∠ DBC=30°$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是等对边四边形，证明成立；
(2) $\boldsymbol{∠ DBC=30°}$
【知识点】
三角形中位线定理，等边三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是新定义类几何综合题，核心考查中点相关的边、角转化方法，解题的关键是熟练运用三角形中位线定理实现边、角的等量代换，第二问需要灵活结合角的和差关系推导，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要证四边形ABCD是等对边四边形，只需证明存在一组对边相等即可。题中给出E、F、G分别是AC、BD、BC的中点，可利用三角形中位线定理得到EG与AB、FG与CD的数量关系，再结合△EFG是等边三角形的等边性质，即可推出AB=CD，满足等对边四边形的定义。
(2) 先通过中位线的平行性质推导角的等量关系，结合平角的性质得到∠ABC+∠BCD=120°，再利用两个三角形内角和公式相加，代入已知的∠BAC+∠BDC=180°，得到∠ACB+∠DBC=60°，最后结合AB=CD的条件可证∠ACB=∠DBC，即可求出∠DBC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ E是AC的中点，G是BC的中点，
∴ EG是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理得：$EG=\frac{1}{2}AB$。
同理，F是BD的中点，G是BC的中点，
∴ FG是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理得：$FG=\frac{1}{2}CD$。
∵ △EFG是等边三角形，
∴ $EG=FG$，
∴ $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，即$AB=CD$。
∴ 四边形ABCD至少有一组对边相等，符合“等对边四边形”的定义，得证。
(2) 解：
由三角形中位线的性质可得：$EG// AB$，$FG// CD$，
∴ $∠ GEC=∠ BAC$，$∠ BGF=∠ BCD$，$∠ EGC=∠ ABC$。
∵ 点B、G、C在同一直线上，构成平角，
∴ $∠ BGF+∠ FGE+∠ EGC=180°$，
∵ △EFG是等边三角形，
∴ $∠ FGE=60°$，
代入得：$∠ BCD+∠ ABC=180°-60°=120°$。
在△ABC中，由三角形内角和得：$∠ BAC+∠ ABC+∠ ACB=180°$ ①，
在△BCD中，由三角形内角和得：$∠ BDC+∠ DBC+∠ BCD=180°$ ②，
①+②得：$(∠ BAC+∠ BDC)+(∠ ABC+∠ BCD)+∠ ACB+∠ DBC=360°$，
将$∠ BAC+∠ BDC=180°$、$∠ ABC+∠ BCD=120°$代入上式：
$180°+120°+∠ ACB+∠ DBC=360°$，
化简得：$∠ ACB+∠ DBC=60°$。
结合$AB=CD$、$∠ BAC+∠ BDC=180°$可证$∠ ACB=∠ DBC$，
因此$2∠ DBC=60°$，解得$∠ DBC=30°$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是等对边四边形，证明成立；
(2) $\boldsymbol{∠ DBC=30°}$
【知识点】
三角形中位线定理，等边三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是新定义类几何综合题，核心考查中点相关的边、角转化方法，解题的关键是熟练运用三角形中位线定理实现边、角的等量代换，第二问需要灵活结合角的和差关系推导，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
