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1.一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$根的判别式为
2.当$Δ≥0$时，方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根可写为
$b^2-4ac$
，用符号“Δ”表示。2.当$Δ≥0$时，方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根可写为
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
的形式，这个式子叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的求根公式。答案
1.$b^2-4ac$ 2.$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
解析
【分析】
第1问考查根的判别式的定义，结合题干给出的判别式与根的对应表格也可验证，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式是由系数a、b、c组成的固定式子，用来判断方程实根的情况。第2问考查求根公式的内容，当$\Delta≥0$时，根号下的判别式有意义，此时通过配方法推导即可得到方程的实根表达式，也就是求根公式，书写时要注意分子、分母的规范形式。
【解析】
1. 根据一元二次方程根的判别式的定义，方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$b^2-4ac$，记作$\Delta$。
2. 当$\Delta=b^2-4ac≥0$时，方程有实数根，经配方法推导可得实根的表达式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，该式就是一元二次方程的求根公式。
【答案】
1. $b^2-4ac$；2. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【知识点】
根的判别式；一元二次方程求根公式
【点评】
本题是一元二次方程公式法相关的基础概念题，属于识记类内容，是后续用公式法解方程的核心基础，需要熟练掌握相关定义和公式的书写规范。
【难度系数】
0.9
第1问考查根的判别式的定义，结合题干给出的判别式与根的对应表格也可验证，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式是由系数a、b、c组成的固定式子，用来判断方程实根的情况。第2问考查求根公式的内容，当$\Delta≥0$时，根号下的判别式有意义，此时通过配方法推导即可得到方程的实根表达式，也就是求根公式，书写时要注意分子、分母的规范形式。
【解析】
1. 根据一元二次方程根的判别式的定义，方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$b^2-4ac$，记作$\Delta$。
2. 当$\Delta=b^2-4ac≥0$时，方程有实数根，经配方法推导可得实根的表达式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，该式就是一元二次方程的求根公式。
【答案】
1. $b^2-4ac$；2. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【知识点】
根的判别式；一元二次方程求根公式
【点评】
本题是一元二次方程公式法相关的基础概念题，属于识记类内容，是后续用公式法解方程的核心基础，需要熟练掌握相关定义和公式的书写规范。
【难度系数】
0.9
知识点1 一元二次方程根的判别式
1.（新知回顾）方程$6x - 8 = 5x^2$化为一般形式$ax^2 + bx + c = 0$后，$a = 5$，$b =$
2. 方程$x^2 - 3x = 7$的根的判别式的值是
1.（新知回顾）方程$6x - 8 = 5x^2$化为一般形式$ax^2 + bx + c = 0$后，$a = 5$，$b =$
$-6$
，$c =$$8$
，$\Delta = b^2 - 4ac =$$-124$
。2. 方程$x^2 - 3x = 7$的根的判别式的值是
$37$
。答案
1.$a = 5$，$b = -6$，$c = 8$，$\Delta = b^2 - 4ac = -124$。2. 37
解析
【分析】
解决这两道题的核心是先掌握一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的定义，再代入根的判别式公式计算即可，具体思考路径如下：
1. 先把给定方程通过移项化为等号一侧为0的形式，按二次项、一次项、常数项的顺序排列，确定$a、b、c$时必须带上各项的符号，不能只写数字忽略正负；
2. 将确定好的$a、b、c$的值代入判别式$\Delta = b^2-4ac$，按照有理数运算规则计算，注意负号的运算不要出错。
【解析】
1. 对原方程$6x - 8 = 5x^2$移项，把所有项移到等号右侧，整理为一般形式：
$5x^2 - 6x + 8 = 0$
对照一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得$b=-6$，$c=8$；
代入判别式公式计算：
$\Delta = (-6)^2 - 4×5×8 = 36 - 160 = -124$
2. 对原方程$x^2 - 3x = 7$移项，整理为一般形式：
$x^2 - 3x -7 =0$
对照一般形式可得$a=1$，$b=-3$，$c=-7$；
代入判别式公式计算：
$\Delta = (-3)^2 -4×1×(-7) =9 +28=37$
【答案】
1. $-6$，$8$，$-124$
2. $37$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式计算
【点评】
本题属于基础考查题，重点考察一元二次方程的化简和根的判别式的计算，解题的易错点是移项时符号处理错误，确定$a、b、c$时漏掉项的符号，计算判别式时负号运算失误，掌握基本规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
解决这两道题的核心是先掌握一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的定义，再代入根的判别式公式计算即可，具体思考路径如下：
1. 先把给定方程通过移项化为等号一侧为0的形式，按二次项、一次项、常数项的顺序排列，确定$a、b、c$时必须带上各项的符号，不能只写数字忽略正负；
2. 将确定好的$a、b、c$的值代入判别式$\Delta = b^2-4ac$，按照有理数运算规则计算，注意负号的运算不要出错。
【解析】
1. 对原方程$6x - 8 = 5x^2$移项，把所有项移到等号右侧，整理为一般形式：
$5x^2 - 6x + 8 = 0$
对照一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得$b=-6$，$c=8$；
代入判别式公式计算：
$\Delta = (-6)^2 - 4×5×8 = 36 - 160 = -124$
2. 对原方程$x^2 - 3x = 7$移项，整理为一般形式：
$x^2 - 3x -7 =0$
对照一般形式可得$a=1$，$b=-3$，$c=-7$；
代入判别式公式计算：
$\Delta = (-3)^2 -4×1×(-7) =9 +28=37$
【答案】
1. $-6$，$8$，$-124$
2. $37$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式计算
【点评】
本题属于基础考查题，重点考察一元二次方程的化简和根的判别式的计算，解题的易错点是移项时符号处理错误，确定$a、b、c$时漏掉项的符号，计算判别式时负号运算失误，掌握基本规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
3.(新知回顾)已知一元二次方程$x^2 + x + 1 = 0$的根的判别式的值为
$-3$
，它$＜$
0（填“＞”“＜”或“=”），故这个方程根的情况为没有实数根
。答案
3. 根的判别式的值为$-3$，它$＜$0，故这个方程根的情况为没有实数根。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照三步思路思考：第一步，先回忆一元二次方程根的判别式的公式，一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$；第二步，从题目给出的方程中提取出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入公式算出$\Delta$的具体值；第三步，根据$\Delta$与0的大小关系对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
首先确定方程$x^2 + x + 1 = 0$的各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=1$。
将系数代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×1×1 = 1-4 = -3$
比较可得$-3 ＜ 0$，根据判别式的取值意义，此时一元二次方程没有实数根。
【答案】
根的判别式的值为$-3$，它$＜$0，故这个方程根的情况为没有实数根。
【知识点】
1. 根的判别式计算
2. 判别式判断根的情况
【点评】
本题属于基础考查题，主要考察根的判别式的基础应用，只要熟记判别式公式以及不同取值对应的根的情况，就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以按照三步思路思考：第一步，先回忆一元二次方程根的判别式的公式，一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$；第二步，从题目给出的方程中提取出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入公式算出$\Delta$的具体值；第三步，根据$\Delta$与0的大小关系对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
首先确定方程$x^2 + x + 1 = 0$的各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=1$。
将系数代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×1×1 = 1-4 = -3$
比较可得$-3 ＜ 0$，根据判别式的取值意义，此时一元二次方程没有实数根。
【答案】
根的判别式的值为$-3$，它$＜$0，故这个方程根的情况为没有实数根。
【知识点】
1. 根的判别式计算
2. 判别式判断根的情况
【点评】
本题属于基础考查题，主要考察根的判别式的基础应用，只要熟记判别式公式以及不同取值对应的根的情况，就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
4. [2026合肥三模改编]下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（
A.$x^2 - 2x + 3 = 0$
B.$x^2 + 6x + 9 = 0$
C.$x^2 - x = 2$
D.$3x^2 - x + 2 = 0$
C
）A.$x^2 - 2x + 3 = 0$
B.$x^2 + 6x + 9 = 0$
C.$x^2 - x = 2$
D.$3x^2 - x + 2 = 0$
答案
4.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需用到根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，没有实数根。解题时先将每个选项的方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定$a、b、c$的值，再分别计算判别式，对比$\Delta$的符号即可得出答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2 - 2x + 3 = 0$中，$a=1,b=-2,c=3$，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×3 = 4-12=-8＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2 + 6x + 9 = 0$中，$a=1,b=6,c=9$，$\Delta = 6^2 - 4×1×9 = 36-36=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：先将方程化为一般形式：$x^2 - x - 2 = 0$，其中$a=1,b=-1,c=-2$，$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1+8=9＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求；
选项D：方程$3x^2 - x + 2 = 0$中，$a=3,b=-1,c=2$，$\Delta = (-1)^2 - 4×3×2 = 1-24=-23＜0$，方程无实数根，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
根的判别式的应用；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意：若给出的方程不是一般形式，要先整理为一般形式再确定系数$a、b、c$，计算判别式时要注意系数的符号，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需用到根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，没有实数根。解题时先将每个选项的方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定$a、b、c$的值，再分别计算判别式，对比$\Delta$的符号即可得出答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2 - 2x + 3 = 0$中，$a=1,b=-2,c=3$，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×3 = 4-12=-8＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2 + 6x + 9 = 0$中，$a=1,b=6,c=9$，$\Delta = 6^2 - 4×1×9 = 36-36=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：先将方程化为一般形式：$x^2 - x - 2 = 0$，其中$a=1,b=-1,c=-2$，$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1+8=9＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求；
选项D：方程$3x^2 - x + 2 = 0$中，$a=3,b=-1,c=2$，$\Delta = (-1)^2 - 4×3×2 = 1-24=-23＜0$，方程无实数根，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
根的判别式的应用；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意：若给出的方程不是一般形式，要先整理为一般形式再确定系数$a、b、c$，计算判别式时要注意系数的符号，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
5.用根的判别式判断下列方程根的情况：
(1)$2x^2 + 3x - 4 = 0$；
(2)$4y(y - 1) + 1 = 0$；
(3)$0.2x^2 - 5 = \frac{3}{2}x$；
(4)$2y^2 + \sqrt{3}y + 35 = 0$。
(1)$2x^2 + 3x - 4 = 0$；
(2)$4y(y - 1) + 1 = 0$；
(3)$0.2x^2 - 5 = \frac{3}{2}x$；
(4)$2y^2 + \sqrt{3}y + 35 = 0$。
答案
5.解：(1)有两个不相等的实数根.(2)有两个相等的实数根.(3)有两个不相等的实数根.(4)没有实数根.
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，解题思路分三步：第一步将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要带对应符号；第二步代入公式计算$\Delta$的值；第三步根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
解：(1) 方程$2x^2 + 3x - 4 = 0$已是一般形式，其中$a=2$，$b=3$，$c=-4$，
$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×2×(-4) = 9 + 32 = 41 ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
(2) 先整理方程为一般形式：
展开$4y(y - 1) + 1 = 0$得$4y^2 - 4y + 1 = 0$，其中$a=4$，$b=-4$，$c=1$，
$\Delta = (-4)^2 - 4×4×1 = 16 - 16 = 0$，
∴方程有两个相等的实数根。
(3) 先移项整理为一般形式：
移项得$0.2x^2 - \frac{3}{2}x - 5 = 0$，其中$a=0.2$，$b=-\frac{3}{2}$，$c=-5$，
$\Delta = (-\frac{3}{2})^2 - 4×0.2×(-5) = 2.25 + 4 = 6.25 ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
(4) 方程$2y^2 + \sqrt{3}y + 35 = 0$已是一般形式，其中$a=2$，$b=\sqrt{3}$，$c=35$，
$\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4×2×35 = 3 - 280 = -277 ＜ 0$，
∴方程没有实数根。
【答案】
(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)有两个不相等的实数根；(4)没有实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，解题关键是先将方程化为标准的一元二次方程一般形式，确定系数时要注意符号，再正确计算判别式的值，根据判别式符号即可判断根的情况。
【难度系数】
0.85
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，解题思路分三步：第一步将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要带对应符号；第二步代入公式计算$\Delta$的值；第三步根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
解：(1) 方程$2x^2 + 3x - 4 = 0$已是一般形式，其中$a=2$，$b=3$，$c=-4$，
$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×2×(-4) = 9 + 32 = 41 ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
(2) 先整理方程为一般形式：
展开$4y(y - 1) + 1 = 0$得$4y^2 - 4y + 1 = 0$，其中$a=4$，$b=-4$，$c=1$，
$\Delta = (-4)^2 - 4×4×1 = 16 - 16 = 0$，
∴方程有两个相等的实数根。
(3) 先移项整理为一般形式：
移项得$0.2x^2 - \frac{3}{2}x - 5 = 0$，其中$a=0.2$，$b=-\frac{3}{2}$，$c=-5$，
$\Delta = (-\frac{3}{2})^2 - 4×0.2×(-5) = 2.25 + 4 = 6.25 ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
(4) 方程$2y^2 + \sqrt{3}y + 35 = 0$已是一般形式，其中$a=2$，$b=\sqrt{3}$，$c=35$，
$\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4×2×35 = 3 - 280 = -277 ＜ 0$，
∴方程没有实数根。
【答案】
(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)有两个不相等的实数根；(4)没有实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，解题关键是先将方程化为标准的一元二次方程一般形式，确定系数时要注意符号，再正确计算判别式的值，根据判别式符号即可判断根的情况。
【难度系数】
0.85
6.(新知回顾)用公式法解方程: $3x^2 -5x=2.$
解:将方程化为一般形式,得
所以 $a=$
所以 $b^2 -4ac=$
所以 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=$
所以
解:将方程化为一般形式,得
$3x^2 -5x -2=0$
,所以 $a=$
$3$
,$b=$ $-5$
,$c=$ $-2$
,所以 $b^2 -4ac=$
$49$
,所以 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=$
$\frac{5\pm\sqrt{49}}{2×3}$
= $\frac{5\pm7}{6}$
,所以
$x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$
.答案
6.$3x^2 -5x -2=0$;$3$;$-5$;$-2$;$49$;$\frac{5\pm\sqrt{49}}{2×3}$;$\frac{5\pm7}{6}$;$x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程时，首先要把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能准确找到二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$，确定系数时注意要带上对应符号；之后计算判别式$b^2-4ac$，判别式大于0说明方程有两个不相等的实数根，再把$a、b、c$的值代入求根公式计算，最后化简得到方程的两个根即可。
【解析】
1. 移项将方程右边化为0，得到一般形式：$3x^2 -5x -2=0$；
2. 对应一般形式可得：$a=3$，$b=-5$，$c=-2$；
3. 计算判别式：$b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-2)=25+24=49$；
4. 代入求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$；
5. 分别计算两个根：当取加号时$x=\frac{5+7}{6}=2$，当取减号时$x=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}$，即$x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$3x^2 -5x -2=0$；$3$；$-5$；$-2$；$49$；$\frac{5\pm\sqrt{49}}{2×3}$；$\frac{5\pm7}{6}$；$x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式，根的判别式
【点评】
本题属于公式法解方程的基础训练题，核心考查公式法解方程的标准步骤，易错点是确定$a、b、c$时容易忽略符号，熟练掌握求根公式和一般形式的要求就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
使用公式法解一元二次方程时，首先要把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能准确找到二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$，确定系数时注意要带上对应符号；之后计算判别式$b^2-4ac$，判别式大于0说明方程有两个不相等的实数根，再把$a、b、c$的值代入求根公式计算，最后化简得到方程的两个根即可。
【解析】
1. 移项将方程右边化为0，得到一般形式：$3x^2 -5x -2=0$；
2. 对应一般形式可得：$a=3$，$b=-5$，$c=-2$；
3. 计算判别式：$b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-2)=25+24=49$；
4. 代入求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$；
5. 分别计算两个根：当取加号时$x=\frac{5+7}{6}=2$，当取减号时$x=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}$，即$x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$3x^2 -5x -2=0$；$3$；$-5$；$-2$；$49$；$\frac{5\pm\sqrt{49}}{2×3}$；$\frac{5\pm7}{6}$；$x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式，根的判别式
【点评】
本题属于公式法解方程的基础训练题，核心考查公式法解方程的标准步骤，易错点是确定$a、b、c$时容易忽略符号，熟练掌握求根公式和一般形式的要求就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
7. 中考趋势·过程性学习 [2026 泉州期末]下面是小明同学解方程$x^2 -5x=-4$的过程：
因为$a=1,b=-5,c=-4$,(第一步)
所以$b^2-4ac=(-5)^2 -4×1×(-4)=41$,(第二步)
所以$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2}$,(第三步)
所以$x_1=\frac{5+\sqrt{41}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{41}}{2}$.(第四步)
小明是从第
因为$a=1,b=-5,c=-4$,(第一步)
所以$b^2-4ac=(-5)^2 -4×1×(-4)=41$,(第二步)
所以$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2}$,(第三步)
所以$x_1=\frac{5+\sqrt{41}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{41}}{2}$.(第四步)
小明是从第
一
步开始出错的.答案
7.一
解析
【分析】
要判断小明的解题步骤哪一步出错，首先需明确公式法解一元二次方程的正确流程：使用求根公式前，必须先将原方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能准确对应得到系数$a$、$b$、$c$的取值。原方程$x^2 -5x=-4$还未化为右边为0的一般形式，小明直接确定$c=-4$，不符合公式法的使用要求，由此可定位错误步骤。
【解析】
公式法解一元二次方程的前提是将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
将原方程$x^2 -5x=-4$移项，可得一般形式：$x^2 -5x +4=0$，此时对应系数为$a=1$，$b=-5$，$c=4$。
小明未将方程化为一般形式，就错误认定$c=-4$，因此是从第一步开始出错的。
【答案】
一
【知识点】
一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的基础步骤，易错点是忽略化一般形式的步骤，直接从原方程中提取系数导致符号错误，解题时要牢记先整理方程再确定系数的要求。
【难度系数】
0.8
要判断小明的解题步骤哪一步出错，首先需明确公式法解一元二次方程的正确流程：使用求根公式前，必须先将原方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能准确对应得到系数$a$、$b$、$c$的取值。原方程$x^2 -5x=-4$还未化为右边为0的一般形式，小明直接确定$c=-4$，不符合公式法的使用要求，由此可定位错误步骤。
【解析】
公式法解一元二次方程的前提是将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
将原方程$x^2 -5x=-4$移项，可得一般形式：$x^2 -5x +4=0$，此时对应系数为$a=1$，$b=-5$，$c=4$。
小明未将方程化为一般形式，就错误认定$c=-4$，因此是从第一步开始出错的。
【答案】
一
【知识点】
一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的基础步骤，易错点是忽略化一般形式的步骤，直接从原方程中提取系数导致符号错误，解题时要牢记先整理方程再确定系数的要求。
【难度系数】
0.8
8.用公式法解下列方程：
(1)$x^2 - 3x - 3 = 0$；
(2)$3x^2 + 10x + 5 = 0$；
(3)$x^2 + 3x = -12$。
(1)$x^2 - 3x - 3 = 0$；
(2)$3x^2 + 10x + 5 = 0$；
(3)$x^2 + 3x = -12$。
答案
8.解：(1)$x_1=\frac{3+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$.(2)$x_1=\frac{-5+\sqrt{10}}{3}$,$x_2=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$.(3)方程无实数根.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的核心思路为：第一步先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，第二步确定$a$、$b$、$c$的取值，第三步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况：若$\Delta＜0$，方程无实数根；若$\Delta\ge0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，最后把结果约分为最简形式即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 3x - 3 = 0$已是一般形式，可得$a=1$，$b=-3$，$c=-3$。
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-3)=9+12=21＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{21}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$。
(2) 方程$3x^2 + 10x + 5 = 0$已是一般形式，可得$a=3$，$b=10$，$c=5$。
计算判别式：$\Delta = 10^2 - 4×3×5=100-60=40＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{-10\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{-10\pm2\sqrt{10}}{6}$，约分后得$x=\frac{-5\pm\sqrt{10}}{3}$。
(3) 先移项将方程化为一般形式：$x^2 + 3x +12=0$，可得$a=1$，$b=3$，$c=12$。
计算判别式：$\Delta = 3^2 - 4×1×12=9-48=-39＜0$，因此方程无实数根。
【答案】
(1)$x_1=\frac{3+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$.(2)$x_1=\frac{-5+\sqrt{10}}{3}$,$x_2=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$.(3)方程无实数根.
【知识点】
公式法解方程、根的判别式、求根公式应用
【点评】
本题是公式法解方程的基础题型，重点考查解题步骤的规范性，做题时要注意先把方程化为一般形式再确定参数，先判断根的情况再计算，结果要化简为最简形式。
【难度系数】
0.75
用公式法解一元二次方程的核心思路为：第一步先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，第二步确定$a$、$b$、$c$的取值，第三步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况：若$\Delta＜0$，方程无实数根；若$\Delta\ge0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，最后把结果约分为最简形式即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 3x - 3 = 0$已是一般形式，可得$a=1$，$b=-3$，$c=-3$。
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-3)=9+12=21＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{21}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$。
(2) 方程$3x^2 + 10x + 5 = 0$已是一般形式，可得$a=3$，$b=10$，$c=5$。
计算判别式：$\Delta = 10^2 - 4×3×5=100-60=40＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{-10\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{-10\pm2\sqrt{10}}{6}$，约分后得$x=\frac{-5\pm\sqrt{10}}{3}$。
(3) 先移项将方程化为一般形式：$x^2 + 3x +12=0$，可得$a=1$，$b=3$，$c=12$。
计算判别式：$\Delta = 3^2 - 4×1×12=9-48=-39＜0$，因此方程无实数根。
【答案】
(1)$x_1=\frac{3+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$.(2)$x_1=\frac{-5+\sqrt{10}}{3}$,$x_2=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$.(3)方程无实数根.
【知识点】
公式法解方程、根的判别式、求根公式应用
【点评】
本题是公式法解方程的基础题型，重点考查解题步骤的规范性，做题时要注意先把方程化为一般形式再确定参数，先判断根的情况再计算，结果要化简为最简形式。
【难度系数】
0.75
