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(1) 30.6 ÷ 0.09 的商的最高位在(
百
)位上。答案
百
解析
【分析】
解决这类问题的思考路径是：首先回忆除数是小数的除法计算规则，要先根据商不变的性质，把除数转化为整数，再按除数是整数的除法计算，最后判断商的最高位所在的数位。具体操作时，先把除数0.09扩大100倍变成整数9，为保证商不变，被除数30.6也要同时扩大100倍，再计算转化后的除法算式，观察商的最高位对应的数位即可。
【解析】
根据商不变的性质，将被除数和除数同时乘100，把原式转化为除数是整数的除法：
$30.6 ÷ 0.09 = (30.6×100) ÷ (0.09×100) = 3060 ÷ 9$
计算$3060÷9$时，先看被除数最高位千位上的3，3小于9，不够除，就看前两位30；$30÷9$商3，这个3对应写在百位的上方，因此商的最高位在百位上。
【答案】
百
【知识点】
除数是小数的除法计算；商不变的性质；数位判断
【点评】
本题考查小数除法中商的数位判断，解题核心是先利用商不变的性质把除数转化为整数再分析，属于基础题型，熟练掌握小数除法的计算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这类问题的思考路径是：首先回忆除数是小数的除法计算规则，要先根据商不变的性质，把除数转化为整数，再按除数是整数的除法计算，最后判断商的最高位所在的数位。具体操作时，先把除数0.09扩大100倍变成整数9，为保证商不变，被除数30.6也要同时扩大100倍，再计算转化后的除法算式，观察商的最高位对应的数位即可。
【解析】
根据商不变的性质，将被除数和除数同时乘100，把原式转化为除数是整数的除法：
$30.6 ÷ 0.09 = (30.6×100) ÷ (0.09×100) = 3060 ÷ 9$
计算$3060÷9$时，先看被除数最高位千位上的3，3小于9，不够除，就看前两位30；$30÷9$商3，这个3对应写在百位的上方，因此商的最高位在百位上。
【答案】
百
【知识点】
除数是小数的除法计算；商不变的性质；数位判断
【点评】
本题考查小数除法中商的数位判断，解题核心是先利用商不变的性质把除数转化为整数再分析，属于基础题型，熟练掌握小数除法的计算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
(2)在括号里填上合适的数，使等式成立。
$2.07÷0.023=(\quad)÷23$
$26.25÷0.75=(\quad)÷3$
$2.07÷0.023=(\quad)÷23$
$26.25÷0.75=(\quad)÷3$
答案
2.07÷0.023=2070÷23
26.25÷0.75=105÷3
26.25÷0.75=105÷3
解析
【分析】
这道题需要用商不变的规律解题，思路如下：首先观察等式中除数的变化，算出除数扩大到原来的多少倍；再根据“被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变”的规律，把被除数也扩大相同的倍数，就能得到括号里要填的数。
【解析】
1. 求解第一个括号：
观察除数变化：0.023变为23，计算得$0.023×1000=23$，即除数乘1000。根据商不变规律，被除数2.07也要乘1000，计算得$2.07×1000=2070$。
2. 求解第二个括号：
观察除数变化：0.75变为3，计算得$0.75×4=3$，即除数乘4。根据商不变规律，被除数26.25也要乘4，计算得$26.25×4=105$。
【答案】
2070；105
【知识点】
商不变的规律；小数乘整数计算
【点评】
本题核心考察商不变规律的灵活应用，解题关键是准确判断除数的变化倍数，再对应调整被除数，属于小数除法运算的基础题型，熟练掌握规律即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这道题需要用商不变的规律解题，思路如下：首先观察等式中除数的变化，算出除数扩大到原来的多少倍；再根据“被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变”的规律，把被除数也扩大相同的倍数，就能得到括号里要填的数。
【解析】
1. 求解第一个括号：
观察除数变化：0.023变为23，计算得$0.023×1000=23$，即除数乘1000。根据商不变规律，被除数2.07也要乘1000，计算得$2.07×1000=2070$。
2. 求解第二个括号：
观察除数变化：0.75变为3，计算得$0.75×4=3$，即除数乘4。根据商不变规律，被除数26.25也要乘4，计算得$26.25×4=105$。
【答案】
2070；105
【知识点】
商不变的规律；小数乘整数计算
【点评】
本题核心考察商不变规律的灵活应用，解题关键是准确判断除数的变化倍数，再对应调整被除数，属于小数除法运算的基础题型，熟练掌握规律即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(3)13.1÷1.1的商用循环小数表示是(
$11.\dot{9}\dot{0}$
)，把商精确到千分位是(11.909
)。答案
商用循环小数表示是$11.\dot{9}\dot{0}$，精确到千分位是11.909
解析
【分析】
这道题需要分两步解答：第一步先计算13.1÷1.1的商，计算时先把除数转化为整数，按照整数除法的规则计算，找到重复出现的循环节，再按规范写出循环小数；第二步要把商精确到千分位，也就是保留三位小数，需要观察小数点后第四位的数字，用四舍五入法取近似值即可。
【解析】
1. 计算13.1÷1.1的商：
根据小数除法的计算规则，先将除数1.1扩大10倍变为整数11，被除数13.1也同时扩大10倍变为131，计算131÷11：
11×11=121，131-121=10，补0后商9，余1，再补0商0，余10，后续重复出现商9、商0的规律，可得商为11.909090……，循环节是90，所以商用循环小数表示为$11.\dot{9}\dot{0}$。
2. 把商精确到千分位：
精确到千分位就是保留三位小数，观察小数点后第四位数字是0，0＜5，所以舍去万分位及后面的数，得到近似值11.909。
【答案】
$11.\dot{9}\dot{0}$；11.909
【知识点】
小数除法计算；循环小数的表示；小数近似数取值
【点评】
本题属于小数运算的基础综合题，重点考查小数除法计算能力、循环小数的规范写法，以及四舍五入法取近似值的方法，掌握基础运算规则和相关概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
这道题需要分两步解答：第一步先计算13.1÷1.1的商，计算时先把除数转化为整数，按照整数除法的规则计算，找到重复出现的循环节，再按规范写出循环小数；第二步要把商精确到千分位，也就是保留三位小数，需要观察小数点后第四位的数字，用四舍五入法取近似值即可。
【解析】
1. 计算13.1÷1.1的商：
根据小数除法的计算规则，先将除数1.1扩大10倍变为整数11，被除数13.1也同时扩大10倍变为131，计算131÷11：
11×11=121，131-121=10，补0后商9，余1，再补0商0，余10，后续重复出现商9、商0的规律，可得商为11.909090……，循环节是90，所以商用循环小数表示为$11.\dot{9}\dot{0}$。
2. 把商精确到千分位：
精确到千分位就是保留三位小数，观察小数点后第四位数字是0，0＜5，所以舍去万分位及后面的数，得到近似值11.909。
【答案】
$11.\dot{9}\dot{0}$；11.909
【知识点】
小数除法计算；循环小数的表示；小数近似数取值
【点评】
本题属于小数运算的基础综合题，重点考查小数除法计算能力、循环小数的规范写法，以及四舍五入法取近似值的方法，掌握基础运算规则和相关概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
(4)把$3.631,3.\dot{6}\dot{3},3.\dot{6}3\dot{1},3.\dot{6}\dot{3},3.6\dot{3}\dot{1}$按从大到小的顺序排列。
$3.\dot{6}\dot{3}＞3.\dot{6}3＞3.\dot{6}3\dot{1}＞3.6\dot{3}\dot{1}＞$
$3.631$
答案
$3.\dot{6}\dot{3}＞3.\dot{6}3＞3.\dot{6}3\dot{1}＞3.6\dot{3}\dot{1}＞3.631$
解析
【分析】
比较小数大小的核心思路是从高位到低位逐位对比，高位数字大的数整体更大。这道题中所有数的整数部分都是3、十分位都是6，所以我们只需要从百分位开始往后逐位比较即可。对于循环小数，我们可以先把循环节多展开几位，把抽象的循环小数转化成能直观看到后续数位的形式，就能轻松比出大小了。
【解析】
我们先把所有数展开到能清晰对比的数位：
1. $3.\dot{6}\dot{3}=3.636363···$
2. $3.\dot{6}3=3.633333···$
3. $3.\dot{6}3\dot{1}=3.631631···$
4. $3.6\dot{3}\dot{1}=3.631313···$
5. $3.631=3.631000···$
接下来从高位到低位逐位比较：
所有数整数部分都是3，相等；十分位都是6，相等；百分位都是3，相等。
看千分位：$3.\dot{6}\dot{3}$的千分位是6，最大；$3.\dot{6}3$的千分位是3，排第二；剩下3个数的千分位都是1，继续比下一位。
看万分位：$3.\dot{6}3\dot{1}$的万分位是6，排第三；$3.6\dot{3}\dot{1}$的万分位是3，排第四；$3.631$的万分位是0，最小。
所以得出从大到小的排列顺序。
【答案】
$3.\dot{6}\dot{3}＞3.\dot{6}3＞3.\dot{6}3\dot{1}＞3.6\dot{3}\dot{1}＞3.631$
【知识点】
循环小数的认识，小数大小比较
【点评】
本题重点考查对循环节的理解和小数大小比较方法的应用，解题的关键是正确展开循环小数的后续数位，逐位对比时要细心，避免看错循环节的位置。
【难度系数】
0.7
比较小数大小的核心思路是从高位到低位逐位对比，高位数字大的数整体更大。这道题中所有数的整数部分都是3、十分位都是6，所以我们只需要从百分位开始往后逐位比较即可。对于循环小数，我们可以先把循环节多展开几位，把抽象的循环小数转化成能直观看到后续数位的形式，就能轻松比出大小了。
【解析】
我们先把所有数展开到能清晰对比的数位：
1. $3.\dot{6}\dot{3}=3.636363···$
2. $3.\dot{6}3=3.633333···$
3. $3.\dot{6}3\dot{1}=3.631631···$
4. $3.6\dot{3}\dot{1}=3.631313···$
5. $3.631=3.631000···$
接下来从高位到低位逐位比较：
所有数整数部分都是3，相等；十分位都是6，相等；百分位都是3，相等。
看千分位：$3.\dot{6}\dot{3}$的千分位是6，最大；$3.\dot{6}3$的千分位是3，排第二；剩下3个数的千分位都是1，继续比下一位。
看万分位：$3.\dot{6}3\dot{1}$的万分位是6，排第三；$3.6\dot{3}\dot{1}$的万分位是3，排第四；$3.631$的万分位是0，最小。
所以得出从大到小的排列顺序。
【答案】
$3.\dot{6}\dot{3}＞3.\dot{6}3＞3.\dot{6}3\dot{1}＞3.6\dot{3}\dot{1}＞3.631$
【知识点】
循环小数的认识，小数大小比较
【点评】
本题重点考查对循环节的理解和小数大小比较方法的应用，解题的关键是正确展开循环小数的后续数位，逐位对比时要细心，避免看错循环节的位置。
【难度系数】
0.7
(5)1.8÷0.5的商为3时，余数是(
0.3
)。答案
0.3
解析
【分析】
拿到这道题首先要回忆有余数除法的核心关系：被除数=除数×商+余数，不管是整数除法还是小数除法，这个关系始终成立。要计算余数，就可以通过这个公式变形得到：余数=被除数-除数×商，直接代入已知数值计算即可，这种方法不容易出错，也符合我们当前的知识储备。
【解析】
根据有余数除法各部分之间的关系可得：
余数 = 被除数 - 除数 × 商
已知被除数为1.8，除数为0.5，商为3，代入计算：
第一步：先算除数与商的乘积：$0.5×3=1.5$
第二步：用被除数减去上述乘积得到余数：$1.8-1.5=0.3$
【答案】
0.3
【知识点】
1.有余数除法各部分关系
2.小数乘减运算
【点评】
本题是小数除法求余数的易错题，很多同学会误将竖式计算时被除数和除数同步扩大后得到的余数当作最终结果，牢记除法各部分的恒等关系求解，能有效规避错误。
【难度系数】
0.6
拿到这道题首先要回忆有余数除法的核心关系：被除数=除数×商+余数，不管是整数除法还是小数除法，这个关系始终成立。要计算余数，就可以通过这个公式变形得到：余数=被除数-除数×商，直接代入已知数值计算即可，这种方法不容易出错，也符合我们当前的知识储备。
【解析】
根据有余数除法各部分之间的关系可得：
余数 = 被除数 - 除数 × 商
已知被除数为1.8，除数为0.5，商为3，代入计算：
第一步：先算除数与商的乘积：$0.5×3=1.5$
第二步：用被除数减去上述乘积得到余数：$1.8-1.5=0.3$
【答案】
0.3
【知识点】
1.有余数除法各部分关系
2.小数乘减运算
【点评】
本题是小数除法求余数的易错题，很多同学会误将竖式计算时被除数和除数同步扩大后得到的余数当作最终结果，牢记除法各部分的恒等关系求解，能有效规避错误。
【难度系数】
0.6
2.列竖式计算。
9.36÷24=
1.1÷6.8≈
（得数保留两位小数）
9.36÷24=
1.1÷6.8≈
（得数保留两位小数）
答案
9.36÷24=0.39
1.1÷6.8≈0.16（得数保留两位小数，竖式略）
1.1÷6.8≈0.16（得数保留两位小数，竖式略）
解析
【分析】
本题包含两道小数除法计算题，解题思路如下：①第一道是除数为整数的小数除法，按照整数除法的规则计算即可，注意商的小数点要和被除数的小数点对齐，不够除的数位要商0占位；②第二道是除数为小数的小数除法，先根据商不变的规律，把被除数和除数同时扩大到原来的10倍，将除数转化为整数再计算，题目要求保留两位小数，所以计算时要除到小数点后第三位，再用四舍五入法取近似值。
【解析】
1. 计算$9.36÷24$：
按照除数是整数的小数除法规则计算：被除数整数部分9小于24，个位商0，对齐被除数小数点点上商的小数点；用93个十分之一除以24，十分位商3，$3×24=72$，相减余21；落下被除数百分位的6，组成216个百分之一，百分位商9，$9×24=216$，刚好除尽，得结果0.39。
2. 计算$1.1÷6.8$：
先将被除数和除数同时乘10，转化为$11÷68$计算：11小于68，个位商0，点上商的小数点；110个十分之一除以68，十分位商1，余42；补0得420个百分之一，百分位商6，余12；补0得120个千分之一，千分位商1。千分位数字1小于5，根据四舍五入舍去，最终结果保留两位小数为0.16。
【答案】
$9.36÷24=0.39$；$1.1÷6.8≈0.16$
【知识点】
小数除法计算，商不变规律，近似数求法
【点评】
本题考查小数除法的竖式计算能力和取近似值的方法，计算时要注意商的小数点和被除数的小数点对齐，求近似数时需除到比保留位数多一位，再按四舍五入规则判断取舍。
【难度系数】
0.7
本题包含两道小数除法计算题，解题思路如下：①第一道是除数为整数的小数除法，按照整数除法的规则计算即可，注意商的小数点要和被除数的小数点对齐，不够除的数位要商0占位；②第二道是除数为小数的小数除法，先根据商不变的规律，把被除数和除数同时扩大到原来的10倍，将除数转化为整数再计算，题目要求保留两位小数，所以计算时要除到小数点后第三位，再用四舍五入法取近似值。
【解析】
1. 计算$9.36÷24$：
按照除数是整数的小数除法规则计算：被除数整数部分9小于24，个位商0，对齐被除数小数点点上商的小数点；用93个十分之一除以24，十分位商3，$3×24=72$，相减余21；落下被除数百分位的6，组成216个百分之一，百分位商9，$9×24=216$，刚好除尽，得结果0.39。
2. 计算$1.1÷6.8$：
先将被除数和除数同时乘10，转化为$11÷68$计算：11小于68，个位商0，点上商的小数点；110个十分之一除以68，十分位商1，余42；补0得420个百分之一，百分位商6，余12；补0得120个千分之一，千分位商1。千分位数字1小于5，根据四舍五入舍去，最终结果保留两位小数为0.16。
【答案】
$9.36÷24=0.39$；$1.1÷6.8≈0.16$
【知识点】
小数除法计算，商不变规律，近似数求法
【点评】
本题考查小数除法的竖式计算能力和取近似值的方法，计算时要注意商的小数点和被除数的小数点对齐，求近似数时需除到比保留位数多一位，再按四舍五入规则判断取舍。
【难度系数】
0.7
3. 用简便方法计算下面各题。
0.75×18÷0.15
98.5÷2.5÷4
0.75×18÷0.15
98.5÷2.5÷4
答案
0.75×18÷0.15
=0.75÷0.15×18
=5×18
=90
98.5÷2.5÷4
=98.5÷(2.5×4)
=98.5÷10
=9.85
=0.75÷0.15×18
=5×18
=90
98.5÷2.5÷4
=98.5÷(2.5×4)
=98.5÷10
=9.85
解析
【分析】
这两道是小数乘除的简便运算题。第一题属于乘除同级运算，同级运算中可以带着运算符号交换数字位置，先计算0.75÷0.15能得到整数5，再乘18计算会更简便；第二题是连除运算，根据除法的性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的乘积，观察发现2.5×4=10，先算两个除数的乘积，再用98.5除以乘积，计算更快捷。
【解析】
第一题：
$0.75×18÷0.15$
$=0.75÷0.15×18$
$=5×18$
$=90$
第二题：
$98.5÷2.5÷4$
$=98.5÷(2.5×4)$
$=98.5÷10$
$=9.85$
【答案】
90；9.85
【知识点】
同级运算交换律；连除的性质
【点评】
本题侧重考查简便运算方法的运用，解题时要先观察数字特征，灵活运用运算性质调整运算顺序，能有效简化计算过程、降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这两道是小数乘除的简便运算题。第一题属于乘除同级运算，同级运算中可以带着运算符号交换数字位置，先计算0.75÷0.15能得到整数5，再乘18计算会更简便；第二题是连除运算，根据除法的性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的乘积，观察发现2.5×4=10，先算两个除数的乘积，再用98.5除以乘积，计算更快捷。
【解析】
第一题：
$0.75×18÷0.15$
$=0.75÷0.15×18$
$=5×18$
$=90$
第二题：
$98.5÷2.5÷4$
$=98.5÷(2.5×4)$
$=98.5÷10$
$=9.85$
【答案】
90；9.85
【知识点】
同级运算交换律；连除的性质
【点评】
本题侧重考查简便运算方法的运用，解题时要先观察数字特征，灵活运用运算性质调整运算顺序，能有效简化计算过程、降低出错概率。
【难度系数】
0.8
4. 一家服装厂原来做一套衣服要用2.5 m布，后来因技术改进，每套衣服只需用2.2 m布。原来做440套衣服的布料，现在可以做多少套衣服？
答案
440×2.5÷2.2=500(套)
答:现在可以做500套衣服。
答:现在可以做500套衣服。
解析
【分析】
要解决现在可以做多少套衣服的问题，首先要明确布料的总长度是固定不变的。我们可以先根据原来做衣服的参数算出总布料长度，再用总布料长度除以改进技术后每套衣服的用布长度，就能得到现在可做的套数。
【解析】
1. 先计算布料的总长度：原来每套衣服用布2.5m，一共做440套，总布料长度为原来每套的用布量乘做的套数，即 $440×2.5=1100$（m）。
2. 再计算现在可以做的套数：总布料长度是1100m，现在每套只用2.2m布，可做套数为总布料长度除以现在每套的用布量，即 $1100÷2.2=500$（套）。
综合算式：$440×2.5÷2.2=500$（套）
【答案】
现在可以做500套衣服。
【知识点】
归总问题、小数乘除法运算
【点评】
本题解题关键是抓住布料总长度不变的隐含条件，按照归总问题“先求总量，再求对应数量”的思路求解即可，计算时注意小数乘除法的运算规则，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决现在可以做多少套衣服的问题，首先要明确布料的总长度是固定不变的。我们可以先根据原来做衣服的参数算出总布料长度，再用总布料长度除以改进技术后每套衣服的用布长度，就能得到现在可做的套数。
【解析】
1. 先计算布料的总长度：原来每套衣服用布2.5m，一共做440套，总布料长度为原来每套的用布量乘做的套数，即 $440×2.5=1100$（m）。
2. 再计算现在可以做的套数：总布料长度是1100m，现在每套只用2.2m布，可做套数为总布料长度除以现在每套的用布量，即 $1100÷2.2=500$（套）。
综合算式：$440×2.5÷2.2=500$（套）
【答案】
现在可以做500套衣服。
【知识点】
归总问题、小数乘除法运算
【点评】
本题解题关键是抓住布料总长度不变的隐含条件，按照归总问题“先求总量，再求对应数量”的思路求解即可，计算时注意小数乘除法的运算规则，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
5.某同学在算一道除法题时，把一个有两位小数的被除数的小数点漏掉了，除以1.8后，商是230。请你写出正确的除法算式，并计算出商。
答案
230×1.8÷100=4.14
正确的除法算式:4.14÷1.8=2.3
正确的除法算式:4.14÷1.8=2.3
解析
【分析】
解题时我们可以通过倒推思路求解：首先，把有两位小数的被除数的小数点漏掉，相当于把被除数扩大到原来的100倍，除数不变的情况下，商也会随之扩大到原来的100倍。我们可以先根据“被除数=商×除数”的关系算出去掉小数点后的错误被除数，再把错误被除数缩小到原来的$\frac{1}{100}$得到正确的被除数，最后用正确被除数除以除数1.8就能得到正确的商。
【解析】
1. 计算漏掉小数点后的错误被除数：
根据除法各部分关系，被除数=商×除数，可得错误被除数为：
$230×1.8=414$
2. 还原正确的被除数：
原被除数是两位小数，去掉小数点相当于扩大了100倍，因此正确被除数为：
$414÷100=4.14$
3. 写出正确算式并计算商：
正确除法算式为$4.14÷1.8$，计算得：
$4.14÷1.8=2.3$
【答案】
正确的除法算式是$4.14÷1.8$，商是2.3
【知识点】
1. 小数点移动规律
2. 除法各部分间的关系
3. 商的变化规律
【点评】
解题核心是明确“去掉两位小数的小数点，原数会扩大为原来的100倍”，结合除法运算中被除数、除数、商的关系逆向推导即可，计算时要注意小数点的位置不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以通过倒推思路求解：首先，把有两位小数的被除数的小数点漏掉，相当于把被除数扩大到原来的100倍，除数不变的情况下，商也会随之扩大到原来的100倍。我们可以先根据“被除数=商×除数”的关系算出去掉小数点后的错误被除数，再把错误被除数缩小到原来的$\frac{1}{100}$得到正确的被除数，最后用正确被除数除以除数1.8就能得到正确的商。
【解析】
1. 计算漏掉小数点后的错误被除数：
根据除法各部分关系，被除数=商×除数，可得错误被除数为：
$230×1.8=414$
2. 还原正确的被除数：
原被除数是两位小数，去掉小数点相当于扩大了100倍，因此正确被除数为：
$414÷100=4.14$
3. 写出正确算式并计算商：
正确除法算式为$4.14÷1.8$，计算得：
$4.14÷1.8=2.3$
【答案】
正确的除法算式是$4.14÷1.8$，商是2.3
【知识点】
1. 小数点移动规律
2. 除法各部分间的关系
3. 商的变化规律
【点评】
解题核心是明确“去掉两位小数的小数点，原数会扩大为原来的100倍”，结合除法运算中被除数、除数、商的关系逆向推导即可，计算时要注意小数点的位置不要出错。
【难度系数】
0.7
