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概念建构
多项式与多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积
图解计算
$(a + b)(m + n) = \mathrm{图1} am + an + bm + bn$
A基础巩固
知识点1 多项式与多项式相乘
多项式与多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积
相加
.图解计算
$(a + b)(m + n) = \mathrm{图1} am + an + bm + bn$
A基础巩固
知识点1 多项式与多项式相乘
答案
相加
解析
【分析】
本题考查多项式与多项式相乘的法则识记，解题思路是直接回忆课本中该运算法则的完整表述，结合给出的运算示例验证即可得到答案。首先回忆法则的后半部分要求：完成每一项相乘的步骤后，需对所有乘积进行合并操作，再对照$(a+b)(m+n)$展开后是四个乘积相加的形式，即可确定空白处内容。
【解析】
根据多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
结合给出的运算示例$(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn$，也能看出展开后是将所有相乘得到的积相加，因此空白处应填“相加”。
【答案】
相加
【知识点】
多项式乘多项式法则
【点评】
本题属于基础概念题，侧重考察对基础运算法则的记忆掌握情况，只要熟练掌握教材中的核心概念，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查多项式与多项式相乘的法则识记，解题思路是直接回忆课本中该运算法则的完整表述，结合给出的运算示例验证即可得到答案。首先回忆法则的后半部分要求：完成每一项相乘的步骤后，需对所有乘积进行合并操作，再对照$(a+b)(m+n)$展开后是四个乘积相加的形式，即可确定空白处内容。
【解析】
根据多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
结合给出的运算示例$(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn$，也能看出展开后是将所有相乘得到的积相加，因此空白处应填“相加”。
【答案】
相加
【知识点】
多项式乘多项式法则
【点评】
本题属于基础概念题，侧重考察对基础运算法则的记忆掌握情况，只要熟练掌握教材中的核心概念，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
1.下列计算中,正确的是 （
A.$(a+b)(p+q)=ap+bq$
B.$(a+b)(p-q)=ap-bq$
C.$(a-b)(p-q)=ap-aq-bp-bq$
D.$(a-b)(p+q)=ap+aq-bp-bq$
D
）A.$(a+b)(p+q)=ap+bq$
B.$(a+b)(p-q)=ap-bq$
C.$(a-b)(p-q)=ap-aq-bp-bq$
D.$(a-b)(p+q)=ap+aq-bp-bq$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路是先明确多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所有的积相加，运算时注意符号的处理，再逐一计算每个选项的结果，和选项给出的式子对比判断对错即可。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则逐一分析选项：
选项A：$(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq ≠ ap+bq$，故A错误；
选项B：$(a+b)(p-q)=ap-aq+bp-bq ≠ ap-bq$，故B错误；
选项C：$(a-b)(p-q)=ap-aq-bp+bq ≠ ap-aq-bp-bq$，故C错误；
选项D：$(a-b)(p+q)=ap+aq-bp-bq$，与选项式子一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；去括号法则
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查多项式乘多项式的运算规则，解题时需注意不要漏乘多项式的项，同时要准确处理各项的符号，这是这类题目的常见易错点。
【难度系数】
0.9
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路是先明确多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所有的积相加，运算时注意符号的处理，再逐一计算每个选项的结果，和选项给出的式子对比判断对错即可。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则逐一分析选项：
选项A：$(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq ≠ ap+bq$，故A错误；
选项B：$(a+b)(p-q)=ap-aq+bp-bq ≠ ap-bq$，故B错误；
选项C：$(a-b)(p-q)=ap-aq-bp+bq ≠ ap-aq-bp-bq$，故C错误；
选项D：$(a-b)(p+q)=ap+aq-bp-bq$，与选项式子一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；去括号法则
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查多项式乘多项式的运算规则，解题时需注意不要漏乘多项式的项，同时要准确处理各项的符号，这是这类题目的常见易错点。
【难度系数】
0.9
2.计算:$(2x-1)(x-3)+3=$
$2x^2-7x+6$
.答案
$2x^2-7x+6$
解析
【分析】
这道题属于整式混合运算题，解题思路清晰：第一步先依据多项式乘多项式的法则计算出(2x-1)(x-3)的乘积，计算时要注意每一项的符号，避免符号出错；第二步将得到的乘积与3相加，再合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开乘积项：
$\begin{aligned}(2x-1)(x-3)&=2x· x + 2x·(-3) + (-1)· x + (-1)·(-3)\\&=2x^2 -6x -x +3\end{aligned}$
将展开结果代入原式，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=2x^2 -6x -x +3 +3\\&=2x^2 -7x +6\end{aligned}$
【答案】
$2x^2-7x+6$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查多项式乘法的运算规则，计算时需格外注意负项相乘的符号处理，合并同类项时要准确识别同类项，熟练掌握该类运算可为后续整式化简、解方程等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
这道题属于整式混合运算题，解题思路清晰：第一步先依据多项式乘多项式的法则计算出(2x-1)(x-3)的乘积，计算时要注意每一项的符号，避免符号出错；第二步将得到的乘积与3相加，再合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开乘积项：
$\begin{aligned}(2x-1)(x-3)&=2x· x + 2x·(-3) + (-1)· x + (-1)·(-3)\\&=2x^2 -6x -x +3\end{aligned}$
将展开结果代入原式，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=2x^2 -6x -x +3 +3\\&=2x^2 -7x +6\end{aligned}$
【答案】
$2x^2-7x+6$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查多项式乘法的运算规则，计算时需格外注意负项相乘的符号处理，合并同类项时要准确识别同类项，熟练掌握该类运算可为后续整式化简、解方程等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
3.化简$(x+4)(x-1)+(x-4)(x+1)$的结果是
$2x^2-8$
.答案
$2x^2-8$
解析
【分析】
本题是整式的化简运算，解题思路分两步：第一步，根据多项式乘多项式的运算法则，分别展开两个多项式相乘的式子，展开时注意不要漏乘项，同时要关注每一项的符号；第二步，对展开后的式子去括号，再合并同类项，最终得到化简结果。
【解析】
首先利用多项式乘多项式法则分别展开两个乘积项：
1. 展开$(x+4)(x-1)$：
$(x+4)(x-1)=x· x + x· (-1) + 4· x + 4×(-1)=x^2 -x +4x -4 = x^2 +3x -4$
2. 展开$(x-4)(x+1)$：
$(x-4)(x+1)=x· x +x· 1 + (-4)· x + (-4)×1 = x^2 +x -4x -4 = x^2 -3x -4$
3. 将两个展开式相加，合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 +3x -4)+(x^2 -3x -4)\\&=x^2 +3x -4 +x^2 -3x -4\\&=(x^2+x^2)+(3x-3x)+(-4-4)\\&=2x^2 -8\end{aligned}$
【答案】
$2x^2-8$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查多项式乘法的运算规则和合并同类项的方法，运算时要注意不要漏乘多项式的项，同时准确判断各项的符号，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是整式的化简运算，解题思路分两步：第一步，根据多项式乘多项式的运算法则，分别展开两个多项式相乘的式子，展开时注意不要漏乘项，同时要关注每一项的符号；第二步，对展开后的式子去括号，再合并同类项，最终得到化简结果。
【解析】
首先利用多项式乘多项式法则分别展开两个乘积项：
1. 展开$(x+4)(x-1)$：
$(x+4)(x-1)=x· x + x· (-1) + 4· x + 4×(-1)=x^2 -x +4x -4 = x^2 +3x -4$
2. 展开$(x-4)(x+1)$：
$(x-4)(x+1)=x· x +x· 1 + (-4)· x + (-4)×1 = x^2 +x -4x -4 = x^2 -3x -4$
3. 将两个展开式相加，合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 +3x -4)+(x^2 -3x -4)\\&=x^2 +3x -4 +x^2 -3x -4\\&=(x^2+x^2)+(3x-3x)+(-4-4)\\&=2x^2 -8\end{aligned}$
【答案】
$2x^2-8$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查多项式乘法的运算规则和合并同类项的方法，运算时要注意不要漏乘多项式的项，同时准确判断各项的符号，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.若$(ax+2)(x+b)=3x^2+2cx+12$，则下列结论不正确的是________.(填序号)
①$a=3$；②$b=2a$；③$c=a+b+1$；④$abc=18$
①$a=3$；②$b=2a$；③$c=a+b+1$；④$abc=18$
答案
④
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，再根据两个多项式相等时对应项的系数相等，得到a、b、c的相关关系，最后逐一验证四个结论是否正确，选出错误结论即可。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开等式左边：
$(ax+2)(x+b)=ax· x + ax· b + 2· x + 2· b=ax^2+(ab+2)x+2b$
已知$(ax+2)(x+b)=3x^2+2cx+12$，两个多项式相等时对应项系数相等：
1. 二次项系数对应相等，得$a=3$，故结论①正确；
2. 常数项对应相等，得$2b=12$，解得$b=6$，此时$b=6=2×3=2a$，故结论②正确；
3. 一次项系数对应相等，得$ab+2=2c$，将$a=3$、$b=6$代入得：$3×6+2=20=2c$，解得$c=10$；
验证结论③：$a+b+1=3+6+1=10=c$，故结论③正确；
验证结论④：$abc=3×6×10=180≠18$，故结论④错误。
综上，不正确的是④。
【答案】
④
【知识点】
多项式乘多项式，多项式对应系数相等，代数式求值
【点评】
本题考查多项式乘法的基础应用，解题关键是掌握多项式相等时对应项系数相等的性质，通过展开、系数匹配、计算验证即可得到结果，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是先利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，再根据两个多项式相等时对应项的系数相等，得到a、b、c的相关关系，最后逐一验证四个结论是否正确，选出错误结论即可。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开等式左边：
$(ax+2)(x+b)=ax· x + ax· b + 2· x + 2· b=ax^2+(ab+2)x+2b$
已知$(ax+2)(x+b)=3x^2+2cx+12$，两个多项式相等时对应项系数相等：
1. 二次项系数对应相等，得$a=3$，故结论①正确；
2. 常数项对应相等，得$2b=12$，解得$b=6$，此时$b=6=2×3=2a$，故结论②正确；
3. 一次项系数对应相等，得$ab+2=2c$，将$a=3$、$b=6$代入得：$3×6+2=20=2c$，解得$c=10$；
验证结论③：$a+b+1=3+6+1=10=c$，故结论③正确；
验证结论④：$abc=3×6×10=180≠18$，故结论④错误。
综上，不正确的是④。
【答案】
④
【知识点】
多项式乘多项式，多项式对应系数相等，代数式求值
【点评】
本题考查多项式乘法的基础应用，解题关键是掌握多项式相等时对应项系数相等的性质，通过展开、系数匹配、计算验证即可得到结果，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
5.计算：
(1)$(3n+4)(n-5)$；
(2)$(-3m+1)(m-2)$；
(3)$(x+y)(x^2 - xy + y^2)$。
(1)$(3n+4)(n-5)$；
(2)$(-3m+1)(m-2)$；
(3)$(x+y)(x^2 - xy + y^2)$。
答案
(1)$3n^2-11n-20$
(2)$-3m^2+7m-2$
(3)$x^3+y^3$
(2)$-3m^2+7m-2$
(3)$x^3+y^3$
解析
【分析】
这三道题均考查多项式与多项式相乘的运算，解题思路遵循多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项得到最简结果。解题时需注意每一项的符号，避免出现漏乘、符号写错的问题。
【解析】
(1) 计算$(3n+4)(n-5)$：
根据多项式乘法法则展开得：
$=3n· n + 3n×(-5) + 4· n + 4×(-5)$
$=3n^2 -15n +4n -20$
合并同类项得：
$=3n^2 -11n -20$
(2) 计算$(-3m+1)(m-2)$：
根据多项式乘法法则展开得：
$=(-3m)· m + (-3m)×(-2) +1· m +1×(-2)$
$=-3m^2 +6m +m -2$
合并同类项得：
$=-3m^2 +7m -2$
(3) 计算$(x+y)(x^2 - xy + y^2)$：
根据多项式乘法法则展开得：
$=x· x^2 + x·(-xy) +x· y^2 + y· x^2 + y·(-xy) + y· y^2$
$=x^3 -x^2y +xy^2 +x^2y -xy^2 +y^3$
合并同类项，互为相反数的项抵消后得：
$=x^3 + y^3$
【答案】
(1)$3n^2-11n-20$
(2)$-3m^2+7m-2$
(3)$x^3+y^3$
【知识点】
多项式乘多项式法则；合并同类项；整式运算
【点评】
本题是多项式乘法的基础训练题，核心是熟练掌握多项式乘法的运算步骤，计算时需重点关注项的符号，避免漏乘，合并同类项时要准确识别同类项，熟练运算后可有效提升整式运算的准确率。
【难度系数】
0.85
这三道题均考查多项式与多项式相乘的运算，解题思路遵循多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项得到最简结果。解题时需注意每一项的符号，避免出现漏乘、符号写错的问题。
【解析】
(1) 计算$(3n+4)(n-5)$：
根据多项式乘法法则展开得：
$=3n· n + 3n×(-5) + 4· n + 4×(-5)$
$=3n^2 -15n +4n -20$
合并同类项得：
$=3n^2 -11n -20$
(2) 计算$(-3m+1)(m-2)$：
根据多项式乘法法则展开得：
$=(-3m)· m + (-3m)×(-2) +1· m +1×(-2)$
$=-3m^2 +6m +m -2$
合并同类项得：
$=-3m^2 +7m -2$
(3) 计算$(x+y)(x^2 - xy + y^2)$：
根据多项式乘法法则展开得：
$=x· x^2 + x·(-xy) +x· y^2 + y· x^2 + y·(-xy) + y· y^2$
$=x^3 -x^2y +xy^2 +x^2y -xy^2 +y^3$
合并同类项，互为相反数的项抵消后得：
$=x^3 + y^3$
【答案】
(1)$3n^2-11n-20$
(2)$-3m^2+7m-2$
(3)$x^3+y^3$
【知识点】
多项式乘多项式法则；合并同类项；整式运算
【点评】
本题是多项式乘法的基础训练题，核心是熟练掌握多项式乘法的运算步骤，计算时需重点关注项的符号，避免漏乘，合并同类项时要准确识别同类项，熟练运算后可有效提升整式运算的准确率。
【难度系数】
0.85
6. [2026合肥期末]三个连续奇数，若中间一个数为$n$，则它们的积是（
A.$6n^3 -6n$
B.$4n^3 -n$
C.$n^3 -4n$
D.$n^3 -n$
C
）A.$6n^3 -6n$
B.$4n^3 -n$
C.$n^3 -4n$
D.$n^3 -n$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先明确连续奇数的特征：相邻两个奇数相差2，已知中间的奇数为n，可直接写出另外两个奇数分别为n-2和n+2；接下来求三个数的积，只需将三个代数式相乘，计算时可先利用乘法结合律先计算(n-2)(n+2)，用平方差公式简化运算，再乘n即可得到最终结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵相邻两个奇数相差2，中间的奇数为n
∴另外两个连续奇数分别为$n-2$，$n+2$
则三个数的积为：
$\begin{aligned}&(n-2)· n· (n+2)\\=&n·[(n-2)(n+2)]\\=&n·(n^2-4)\\=&n^3-4n\end{aligned}$
因此符合的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题考查整式乘法的应用，解题核心是准确根据连续奇数的特征表示出三个数，灵活运用乘法公式可大幅简化计算过程，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.75
解题时首先明确连续奇数的特征：相邻两个奇数相差2，已知中间的奇数为n，可直接写出另外两个奇数分别为n-2和n+2；接下来求三个数的积，只需将三个代数式相乘，计算时可先利用乘法结合律先计算(n-2)(n+2)，用平方差公式简化运算，再乘n即可得到最终结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵相邻两个奇数相差2，中间的奇数为n
∴另外两个连续奇数分别为$n-2$，$n+2$
则三个数的积为：
$\begin{aligned}&(n-2)· n· (n+2)\\=&n·[(n-2)(n+2)]\\=&n·(n^2-4)\\=&n^3-4n\end{aligned}$
因此符合的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题考查整式乘法的应用，解题核心是准确根据连续奇数的特征表示出三个数，灵活运用乘法公式可大幅简化计算过程，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.75
7. 新设问 从前一位庄园主把一块长为$a$ m，宽为$b$ m($a＞b＞10$)的长方形土地租给一位租户，第二年，他对租户说：“我把这块地的长增加10 m，宽减少10 m，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得租户的租地面积会 （
A.变小
B.变大
C.没有变化
D.无法确定
A
）A.变小
B.变大
C.没有变化
D.无法确定
答案
7.A
解析
【分析】
要判断租户租地面积的变化，只需比较原长方形土地面积和长宽调整后的土地面积大小即可。解题思路如下：第一步先分别写出变化前后两块土地的面积表达式；第二步用变化后的面积减去原来的面积，通过多项式乘法法则展开、化简差值；第三步结合题目给出的$a＞b＞10$的条件，判断差值的正负，若差值为正则面积变大，差值为负则面积变小，差值为0则面积不变。
【解析】
首先计算原长方形土地的面积：
$S_{\mathrm{原}} = a · b = ab \ (\mathrm{m}^2)$
再计算长增加10m、宽减少10m后的土地面积：
$S_{\mathrm{新}} = (a+10)(b-10)$
根据多项式乘多项式的运算法则展开得：
$S_{\mathrm{新}} = ab - 10a + 10b - 100 \ (\mathrm{m}^2)$
用新面积减去原面积求差值：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{新}} - S_{\mathrm{原}} &= (ab - 10a + 10b - 100) - ab \\&= -10a + 10b - 100 \\&= -10(a - b) - 100\end{aligned}$
已知$a＞b$，因此$a-b＞0$，可得$-10(a-b)＜0$，进一步可得$-10(a-b)-100 ＜ 0$，即$S_{\mathrm{新}} - S_{\mathrm{原}} ＜ 0$，所以$S_{\mathrm{新}} ＜ S_{\mathrm{原}}$，租地面积变小。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式，作差法比较大小，整式化简
【点评】
本题结合生活租赁场景考查整式运算的实际应用，核心是通过作差法比较两个整式的大小，解题时需要准确展开多项式，再结合已知条件判断差值的正负，是对基础运算能力和逻辑推理能力的简单考察。
【难度系数】
0.8
要判断租户租地面积的变化，只需比较原长方形土地面积和长宽调整后的土地面积大小即可。解题思路如下：第一步先分别写出变化前后两块土地的面积表达式；第二步用变化后的面积减去原来的面积，通过多项式乘法法则展开、化简差值；第三步结合题目给出的$a＞b＞10$的条件，判断差值的正负，若差值为正则面积变大，差值为负则面积变小，差值为0则面积不变。
【解析】
首先计算原长方形土地的面积：
$S_{\mathrm{原}} = a · b = ab \ (\mathrm{m}^2)$
再计算长增加10m、宽减少10m后的土地面积：
$S_{\mathrm{新}} = (a+10)(b-10)$
根据多项式乘多项式的运算法则展开得：
$S_{\mathrm{新}} = ab - 10a + 10b - 100 \ (\mathrm{m}^2)$
用新面积减去原面积求差值：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{新}} - S_{\mathrm{原}} &= (ab - 10a + 10b - 100) - ab \\&= -10a + 10b - 100 \\&= -10(a - b) - 100\end{aligned}$
已知$a＞b$，因此$a-b＞0$，可得$-10(a-b)＜0$，进一步可得$-10(a-b)-100 ＜ 0$，即$S_{\mathrm{新}} - S_{\mathrm{原}} ＜ 0$，所以$S_{\mathrm{新}} ＜ S_{\mathrm{原}}$，租地面积变小。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式，作差法比较大小，整式化简
【点评】
本题结合生活租赁场景考查整式运算的实际应用，核心是通过作差法比较两个整式的大小，解题时需要准确展开多项式，再结合已知条件判断差值的正负，是对基础运算能力和逻辑推理能力的简单考察。
【难度系数】
0.8
8. 数形结合思想 “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，进行整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论.如$(m+n)(m+n)=m^2+2mn+n^2$就能用图①所示图形的面积来表示.
(1)请你写出图②所表示的一个等式：
(2)请你画出一个图形，使它的面积能表示：$(m+n)(m+3n)=m^2+4mn+3n^2.$
(1)请你写出图②所表示的一个等式：
$(2m+n)(m+n)=2m^2+n^2+3mn$
；(2)请你画出一个图形，使它的面积能表示：$(m+n)(m+3n)=m^2+4mn+3n^2.$
答案
(1)$(2m+n)(m+n)=2m^2+n^2+3mn$
(2)图略.
(2)图略.
解析
【分析】
(1)解题思路：利用面积法推导等式，可分别用两种方法计算图②的面积：一是整体计算大长方形的面积，即长乘宽；二是计算所有小矩形面积的和，二者相等即可得到对应的等式。首先确定图②大长方形的长和宽，长为横向的$m+m+n=2m+n$，宽为纵向的$m+n$，先写出整体面积的表达式，再累加所有小图形的面积，联立两个表达式就能得到等式。
(2)解题思路：要画出面积表示$(m+n)(m+3n)$的图形，首先根据乘积形式确定大长方形的两条边长分别为$m+n$和$m+3n$，再将两条边按长度拆分，把大长方形划分为若干个小矩形，使小矩形的面积之和等于$m^2+4mn+3n^2$即可。
【解析】
(1) 第一步：计算图②大长方形的整体面积：
大长方形的长为$m+m+n=2m+n$，宽为$m+n$，因此整体面积为$(2m+n)(m+n)$。
第二步：计算所有小矩形的面积和：
图②中共有6个小矩形，面积分别为$mn、mn、n^2、m^2、m^2、mn$，累加得：
$mn+mn+n^2+m^2+m^2+mn=2m^2+3mn+n^2$
第三步：根据整体面积等于分块面积之和，可得等式：$(2m+n)(m+n)=2m^2+3mn+n^2$。
(2) 绘制图形步骤：
① 画一个大长方形，令它的一条边长为$m+n$，另一条边长为$m+3n$；
② 将边长为$m+3n$的边划分为1段长为$m$、3段长为$n$的部分，将边长为$m+n$的边划分为1段长为$m$、1段长为$n$的部分；
③ 沿划分点作边的垂线，将大长方形分成8个小矩形，各小矩形的面积分别为$m^2、mn、mn、mn、mn、n^2、n^2、n^2$，其总和为$m^2+4mn+3n^2$，刚好符合要求。
【答案】
(1)$(2m+n)(m+n)=2m^2+3mn+n^2$
(2)图略
【知识点】
多项式乘多项式，面积法验证恒等式，数形结合思想
【点评】
本题借助几何图形的面积验证整式乘法的运算结果，将抽象的代数运算转化为直观的面积计算，体现了数形结合思想的应用，解题的核心是抓住“整体面积等于各部分面积之和”这一规律。
【难度系数】
0.7
(1)解题思路：利用面积法推导等式，可分别用两种方法计算图②的面积：一是整体计算大长方形的面积，即长乘宽；二是计算所有小矩形面积的和，二者相等即可得到对应的等式。首先确定图②大长方形的长和宽，长为横向的$m+m+n=2m+n$，宽为纵向的$m+n$，先写出整体面积的表达式，再累加所有小图形的面积，联立两个表达式就能得到等式。
(2)解题思路：要画出面积表示$(m+n)(m+3n)$的图形，首先根据乘积形式确定大长方形的两条边长分别为$m+n$和$m+3n$，再将两条边按长度拆分，把大长方形划分为若干个小矩形，使小矩形的面积之和等于$m^2+4mn+3n^2$即可。
【解析】
(1) 第一步：计算图②大长方形的整体面积：
大长方形的长为$m+m+n=2m+n$，宽为$m+n$，因此整体面积为$(2m+n)(m+n)$。
第二步：计算所有小矩形的面积和：
图②中共有6个小矩形，面积分别为$mn、mn、n^2、m^2、m^2、mn$，累加得：
$mn+mn+n^2+m^2+m^2+mn=2m^2+3mn+n^2$
第三步：根据整体面积等于分块面积之和，可得等式：$(2m+n)(m+n)=2m^2+3mn+n^2$。
(2) 绘制图形步骤：
① 画一个大长方形，令它的一条边长为$m+n$，另一条边长为$m+3n$；
② 将边长为$m+3n$的边划分为1段长为$m$、3段长为$n$的部分，将边长为$m+n$的边划分为1段长为$m$、1段长为$n$的部分；
③ 沿划分点作边的垂线，将大长方形分成8个小矩形，各小矩形的面积分别为$m^2、mn、mn、mn、mn、n^2、n^2、n^2$，其总和为$m^2+4mn+3n^2$，刚好符合要求。
【答案】
(1)$(2m+n)(m+n)=2m^2+3mn+n^2$
(2)图略
【知识点】
多项式乘多项式，面积法验证恒等式，数形结合思想
【点评】
本题借助几何图形的面积验证整式乘法的运算结果，将抽象的代数运算转化为直观的面积计算，体现了数形结合思想的应用，解题的核心是抓住“整体面积等于各部分面积之和”这一规律。
【难度系数】
0.7
