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7.当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（
A.$20\ \mathrm{cm}^2$
B.$300\ \mathrm{cm}^2$
C.$400\ \mathrm{cm}^2$
D.$600\ \mathrm{cm}^2$
C
）。A.$20\ \mathrm{cm}^2$
B.$300\ \mathrm{cm}^2$
C.$400\ \mathrm{cm}^2$
D.$600\ \mathrm{cm}^2$
答案
7.C
解析
【分析】
解决本题首先要回忆正投影的相关性质：当平面图形平行于投影面时，它的正投影和原平面图形全等，形状、大小完全一致。本题中正方体的一个面平行于投影面，因此该面的正投影就是和这个面大小相同的正方形，接下来只需要计算正方形的面积即可得到正投影的面积。
【解析】
根据正投影的性质：当平面平行于投影面时，正投影与原平面的形状、大小完全相同。
已知正方体的棱长为20cm，其每个面都是边长为20cm的正方形，当正方体的某个面平行于投影面时，该面的正投影是边长为20cm的正方形。
计算正投影的面积：$S = 20×20 = 400\ \mathrm{cm}^2$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正投影的性质
2. 正方形面积计算
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查对正投影性质的理解和应用，只要掌握平面平行于投影面时正投影与原平面全等的规律，结合简单的正方形面积计算即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要回忆正投影的相关性质：当平面图形平行于投影面时，它的正投影和原平面图形全等，形状、大小完全一致。本题中正方体的一个面平行于投影面，因此该面的正投影就是和这个面大小相同的正方形，接下来只需要计算正方形的面积即可得到正投影的面积。
【解析】
根据正投影的性质：当平面平行于投影面时，正投影与原平面的形状、大小完全相同。
已知正方体的棱长为20cm，其每个面都是边长为20cm的正方形，当正方体的某个面平行于投影面时，该面的正投影是边长为20cm的正方形。
计算正投影的面积：$S = 20×20 = 400\ \mathrm{cm}^2$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正投影的性质
2. 正方形面积计算
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查对正投影性质的理解和应用，只要掌握平面平行于投影面时正投影与原平面全等的规律，结合简单的正方形面积计算即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
8.如图,小明在A时测得某树的影长为2 m,B时又测得该树的影长为8 m。若两次日照的光线互相垂直,则该树的高度为
(第8题)
4 m
。 (第8题)答案
8.4 m
解析
【分析】
本题可将实际投影问题转化为几何相似模型求解：首先明确树垂直于地面，两次日照光线互相垂直，因此可得到两个共直角边的相似直角三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质即可求出树的高度。
【解析】
设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，记树底部为点$ C $，树顶为点$ D $，A时影子端点为$ E $，B时影子端点为$ F $，则$ CE=2 \, \mathrm{m} $，$ CF=8 \, \mathrm{m} $。
由题意得：$ DC ⊥ EF $（树垂直地面），$ DE ⊥ DF $（两次日照光线垂直），因此$ ∠ DCE = ∠ DCF = 90° $，$ ∠ EDF = 90° $。
因为$ ∠ CDE + ∠ CDF = 90° $，$ ∠ F + ∠ CDF = 90° $，所以$ ∠ CDE = ∠ F $，可得$ △ CDE ∽ △ CFD $（两角对应相等，两三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得：$ \frac{DC}{CF} = \frac{CE}{DC} $，即$ DC^2 = CE · CF $。
代入数值计算：$ h^2 = 2 × 8 = 16 $，因为高度为正数，所以$ h = 4 \, \mathrm{m} $。
【答案】
4 m
【知识点】
相似三角形应用，平行投影，直角三角形性质
【点评】
本题结合生活中的投影现象考查相似三角形的应用，解题关键是将实际问题转化为几何相似模型，利用相似的性质建立边的关系求解，考查了数学建模的能力。
【难度系数】
0.7
本题可将实际投影问题转化为几何相似模型求解：首先明确树垂直于地面，两次日照光线互相垂直，因此可得到两个共直角边的相似直角三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质即可求出树的高度。
【解析】
设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，记树底部为点$ C $，树顶为点$ D $，A时影子端点为$ E $，B时影子端点为$ F $，则$ CE=2 \, \mathrm{m} $，$ CF=8 \, \mathrm{m} $。
由题意得：$ DC ⊥ EF $（树垂直地面），$ DE ⊥ DF $（两次日照光线垂直），因此$ ∠ DCE = ∠ DCF = 90° $，$ ∠ EDF = 90° $。
因为$ ∠ CDE + ∠ CDF = 90° $，$ ∠ F + ∠ CDF = 90° $，所以$ ∠ CDE = ∠ F $，可得$ △ CDE ∽ △ CFD $（两角对应相等，两三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得：$ \frac{DC}{CF} = \frac{CE}{DC} $，即$ DC^2 = CE · CF $。
代入数值计算：$ h^2 = 2 × 8 = 16 $，因为高度为正数，所以$ h = 4 \, \mathrm{m} $。
【答案】
4 m
【知识点】
相似三角形应用，平行投影，直角三角形性质
【点评】
本题结合生活中的投影现象考查相似三角形的应用，解题关键是将实际问题转化为几何相似模型，利用相似的性质建立边的关系求解，考查了数学建模的能力。
【难度系数】
0.7
9.如图所示的是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5 m，CD=13 m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于
（第9题）
10
m。转动时，叶片外端离地面的最大高度等于$(10+\sqrt{3})$
m。（第9题）答案
9.10 $(10+\sqrt{13})$ 解析:如图,过点 O 作AC,BD 的平行线,交 CD 于点 H,过点 O 作水平线 OJ 交 BD 于点 J,过点 B 作 $BI⊥ OJ$,垂足为 I,延长 MO,到点 K,使得$OK=OB$。
由题意可知 O 是 AB 的中点。
$\because OH// AC// BD,\therefore H$ 是 CD 的中点。
$\because CD=13\ \mathrm{m}$,
$\therefore CH=HD=\frac{1}{2}CD=6.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore MH=MC+CH=8.5+6.5=15(\mathrm{m})$。
又由题意可知 $\frac{OM}{MH}=\frac{EF}{FG}=\frac{2}{3}$,
$\therefore \frac{OM}{15}=\frac{2}{3}$,解得 $OM=10$。
$\therefore$ 点 O,M 之间的距离等于 10 m。
$\because BI⊥ OJ$,
$\therefore ∠ BIO=∠ BIJ=90°$。
由题意可知 $∠ OBJ=∠ OBI+∠ JBI=90°$。
又$\because ∠ BOI+∠ OBI=90°$,
$\therefore ∠ BOI=∠ JBI$。
$\therefore △ BIO∽ △ JIB$。
$\therefore \frac{OI}{BI}=\frac{BI}{IJ}=\frac{2}{3}$。
$\therefore BI=\frac{2}{3}IJ,OI=\frac{4}{9}IJ$。
$\because OJ// CD,OH// DJ$,
$\therefore$ 四边形 OHDJ 是平行四边形。
$\therefore OJ=HD=6.5\ \mathrm{m}$。
$\because OJ=OI+IJ=\frac{4}{9}IJ+IJ=6.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore IJ=4.5\ \mathrm{m}$。$\therefore BI=3\ \mathrm{m},OI=2\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ OBI$ 中,由勾股定理得 $OB^2=OI^2+BI^2$,
$\therefore OB=\sqrt{OI^2+BI^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}(\mathrm{m})$。
$\therefore OK=OB=\sqrt{13}\ \mathrm{m}$。
$\therefore MK=MO+OK=(10+\sqrt{13})\ \mathrm{m}$,
即叶片外端离地面的最大高度等于$(10+\sqrt{13})\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是平行投影的实际应用问题，解题可分两步思考：①求OM的长度：同一时刻太阳光下，物高与影长的比值为定值，已知木棒EF与影子FG的比为2:3，即该定值为$\frac{2}{3}$。因为四个叶片均匀分布，OA、OB垂直，太阳光线互相平行，过O作AC、BD的平行线交CD于H，由平行线分线段成比例可推出H是CD中点，先计算MH的长度，OM为竖直高度，MH是OM对应的水平影长，结合物高与影长的比值即可求出OM。②求叶片外端离地面的最大高度：叶片外端转到O点正上方时离地面高度最大，为OM与叶片长度OB的和，因此需先求OB的长度。通过构造直角三角形和相似三角形，结合光线垂直OB、物高影长比为2:3的条件，求出直角边OI、BI的长度，再用勾股定理计算OB，最终得到最大高度。
【解析】
如图,过点 O 作AC,BD 的平行线,交 CD 于点 H,过点 O 作水平线 OJ 交 BD 于点 J,过点 B 作 $BI⊥ OJ$,垂足为 I,延长 MO,到点 K,使得$OK=OB$。
由题意可知 O 是 AB 的中点。
$\because OH// AC// BD,\therefore H$ 是 CD 的中点。
$\because CD=13\ \mathrm{m}$,
$\therefore CH=HD=\frac{1}{2}CD=6.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore MH=MC+CH=8.5+6.5=15(\mathrm{m})$。
又由题意可知 $\frac{OM}{MH}=\frac{EF}{FG}=\frac{2}{3}$,
$\therefore \frac{OM}{15}=\frac{2}{3}$,解得 $OM=10$。
$\therefore$ 点 O,M 之间的距离等于 10 m。
$\because BI⊥ OJ$,
$\therefore ∠ BIO=∠ BIJ=90°$。
由题意可知 $∠ OBJ=∠ OBI+∠ JBI=90°$。
又$\because ∠ BOI+∠ OBI=90°$,
$\therefore ∠ BOI=∠ JBI$。
$\therefore △ BIO∽ △ JIB$。
$\therefore \frac{OI}{BI}=\frac{BI}{IJ}=\frac{2}{3}$。
$\therefore BI=\frac{2}{3}IJ,OI=\frac{4}{9}IJ$。
$\because OJ// CD,OH// DJ$,
$\therefore$ 四边形 OHDJ 是平行四边形。
$\therefore OJ=HD=6.5\ \mathrm{m}$。
$\because OJ=OI+IJ=\frac{4}{9}IJ+IJ=6.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore IJ=4.5\ \mathrm{m}$。$\therefore BI=3\ \mathrm{m},OI=2\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ OBI$ 中,由勾股定理得 $OB^2=OI^2+BI^2$,
$\therefore OB=\sqrt{OI^2+BI^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}(\mathrm{m})$。
$\therefore OK=OB=\sqrt{13}\ \mathrm{m}$。
$\therefore MK=MO+OK=(10+\sqrt{13})\ \mathrm{m}$,
即叶片外端离地面的最大高度等于$(10+\sqrt{13})\ \mathrm{m}$。
【答案】
$10$；$10+\sqrt{13}$
【知识点】
平行投影的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题结合生活中的风车投影场景考查几何知识的应用，解题的关键是抓住平行投影中同一时刻物高与影长比值为定值的特点，合理构造辅助线转化几何关系，同时要准确理解叶片外端最大高度的含义，较好地考查了几何建模能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
本题是平行投影的实际应用问题，解题可分两步思考：①求OM的长度：同一时刻太阳光下，物高与影长的比值为定值，已知木棒EF与影子FG的比为2:3，即该定值为$\frac{2}{3}$。因为四个叶片均匀分布，OA、OB垂直，太阳光线互相平行，过O作AC、BD的平行线交CD于H，由平行线分线段成比例可推出H是CD中点，先计算MH的长度，OM为竖直高度，MH是OM对应的水平影长，结合物高与影长的比值即可求出OM。②求叶片外端离地面的最大高度：叶片外端转到O点正上方时离地面高度最大，为OM与叶片长度OB的和，因此需先求OB的长度。通过构造直角三角形和相似三角形，结合光线垂直OB、物高影长比为2:3的条件，求出直角边OI、BI的长度，再用勾股定理计算OB，最终得到最大高度。
【解析】
如图,过点 O 作AC,BD 的平行线,交 CD 于点 H,过点 O 作水平线 OJ 交 BD 于点 J,过点 B 作 $BI⊥ OJ$,垂足为 I,延长 MO,到点 K,使得$OK=OB$。
由题意可知 O 是 AB 的中点。
$\because OH// AC// BD,\therefore H$ 是 CD 的中点。
$\because CD=13\ \mathrm{m}$,
$\therefore CH=HD=\frac{1}{2}CD=6.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore MH=MC+CH=8.5+6.5=15(\mathrm{m})$。
又由题意可知 $\frac{OM}{MH}=\frac{EF}{FG}=\frac{2}{3}$,
$\therefore \frac{OM}{15}=\frac{2}{3}$,解得 $OM=10$。
$\therefore$ 点 O,M 之间的距离等于 10 m。
$\because BI⊥ OJ$,
$\therefore ∠ BIO=∠ BIJ=90°$。
由题意可知 $∠ OBJ=∠ OBI+∠ JBI=90°$。
又$\because ∠ BOI+∠ OBI=90°$,
$\therefore ∠ BOI=∠ JBI$。
$\therefore △ BIO∽ △ JIB$。
$\therefore \frac{OI}{BI}=\frac{BI}{IJ}=\frac{2}{3}$。
$\therefore BI=\frac{2}{3}IJ,OI=\frac{4}{9}IJ$。
$\because OJ// CD,OH// DJ$,
$\therefore$ 四边形 OHDJ 是平行四边形。
$\therefore OJ=HD=6.5\ \mathrm{m}$。
$\because OJ=OI+IJ=\frac{4}{9}IJ+IJ=6.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore IJ=4.5\ \mathrm{m}$。$\therefore BI=3\ \mathrm{m},OI=2\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ OBI$ 中,由勾股定理得 $OB^2=OI^2+BI^2$,
$\therefore OB=\sqrt{OI^2+BI^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}(\mathrm{m})$。
$\therefore OK=OB=\sqrt{13}\ \mathrm{m}$。
$\therefore MK=MO+OK=(10+\sqrt{13})\ \mathrm{m}$,
即叶片外端离地面的最大高度等于$(10+\sqrt{13})\ \mathrm{m}$。
【答案】
$10$；$10+\sqrt{13}$
【知识点】
平行投影的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题结合生活中的风车投影场景考查几何知识的应用，解题的关键是抓住平行投影中同一时刻物高与影长比值为定值的特点，合理构造辅助线转化几何关系，同时要准确理解叶片外端最大高度的含义，较好地考查了几何建模能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
10.【数学应用】如图①，△ABC被平行于CD的光线照射，CD⊥AB于点D，AB在投影面上。
(1)指出图①中AC的投影是什么，CD与BC的投影呢？
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明$AC^2=AD· AB$，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理。
(3)如图③，正方形ABCD的边长为15，O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF。
①试利用射影定理证明$△ BOF ∽ △ BED$；
②若$DE=2CE$，求OF的长。
(1)指出图①中AC的投影是什么，CD与BC的投影呢？
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明$AC^2=AD· AB$，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理。
(3)如图③，正方形ABCD的边长为15，O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF。
①试利用射影定理证明$△ BOF ∽ △ BED$；
②若$DE=2CE$，求OF的长。
答案
10.(1)解:AC 的投影是 AD,CD 的投影是点 D,BC 的投影是 BD。
(2)证明: 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $\because ∠ ACB=90°,CD⊥ AB$,
$\therefore ∠ A+∠ B=90°,∠ A+∠ ACD=90°$。
$\therefore ∠ ACD=∠ B$。
$\therefore △ ACD∽ △ ABC$。
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
$\therefore AC^2=AD· AB$。
(3)①证明:
∵四边形 ABCD 是正方形,
$\therefore OC⊥ BO,∠ BCD=90°$。
$\therefore BC^2=BO· BD$。
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,
$\because CF⊥ BE,∠ BCE=90°$,
$\therefore BC^2=BF· BE$。
$\therefore BO· BD=BF· BE$,即$\frac{BO}{BE}=\frac{BF}{BD}$。
$\because ∠ OBF=∠ EBD$,
$\therefore △ BOF∽ △ BED$。
②解:$\because BC=CD=15$,且 $DE=2CE$,
$\therefore DE=15× \frac{2}{3}=10,CE=15× \frac{1}{3}=5$。
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中, $BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{15^2+5^2}=5\sqrt{10}$。
易得 $OB=\frac{15\sqrt{2}}{2}$。
$\because △ BOF∽ △ BED$,
$\therefore \frac{OF}{DE}=\frac{BO}{BE}$。
$\therefore OF=\frac{BO}{BE}· DE=\frac{\frac{15\sqrt{2}}{2}}{5\sqrt{10}}× 10=3\sqrt{5}$。
(2)证明: 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $\because ∠ ACB=90°,CD⊥ AB$,
$\therefore ∠ A+∠ B=90°,∠ A+∠ ACD=90°$。
$\therefore ∠ ACD=∠ B$。
$\therefore △ ACD∽ △ ABC$。
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
$\therefore AC^2=AD· AB$。
(3)①证明:
∵四边形 ABCD 是正方形,
$\therefore OC⊥ BO,∠ BCD=90°$。
$\therefore BC^2=BO· BD$。
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,
$\because CF⊥ BE,∠ BCE=90°$,
$\therefore BC^2=BF· BE$。
$\therefore BO· BD=BF· BE$,即$\frac{BO}{BE}=\frac{BF}{BD}$。
$\because ∠ OBF=∠ EBD$,
$\therefore △ BOF∽ △ BED$。
②解:$\because BC=CD=15$,且 $DE=2CE$,
$\therefore DE=15× \frac{2}{3}=10,CE=15× \frac{1}{3}=5$。
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中, $BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{15^2+5^2}=5\sqrt{10}$。
易得 $OB=\frac{15\sqrt{2}}{2}$。
$\because △ BOF∽ △ BED$,
$\therefore \frac{OF}{DE}=\frac{BO}{BE}$。
$\therefore OF=\frac{BO}{BE}· DE=\frac{\frac{15\sqrt{2}}{2}}{5\sqrt{10}}× 10=3\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1) 第一问结合正投影的特点分析：本题中光线平行于CD，CD垂直投影面AB，属于正投影，点C的投影为D，点A、B的投影为自身，据此可直接得到各线段的投影。
(2) 第二问证明射影定理的核心是证三角形相似：利用同角的余角相等得到∠ACD=∠B，结合公共角∠A证明△ACD∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例推导结论即可。
(3) ①第三问第一小问需两次应用射影定理：首先在正方形的Rt△BCD中，由CO⊥BD得$BC^2=BO·BD$；再在Rt△BCE中，由CF⊥BE得$BC^2=BF·BE$，联立得到比例式后结合公共角即可证明相似。②第二小问先按边长比例求出CE、DE的长度，用勾股定理计算BE的长度，结合正方形性质求出OB的长度，最后利用相似三角形对应边成比例计算OF的长度即可。
【解析】
(1) 投影线垂直于投影面AB，点A投影为自身，点C投影为D，点B投影为自身：
AC的投影是AD；CD垂直于投影面，投影是点D；BC的投影是BD。
(2) 证明：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\because ∠ ACB=90°,CD⊥ AB$,
$\therefore ∠ADC=∠ACB=90°$，
$\because ∠ A+∠ B=90°,∠ A+∠ ACD=90°$,
$\therefore ∠ ACD=∠ B$，
又$\because ∠A=∠A$（公共角），
$\therefore △ ACD∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
$\therefore AC^2=AD· AB$。
(3) ①证明:
∵四边形ABCD是正方形,
$\therefore OC⊥ BO,∠ BCD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中由射影定理得$BC^2=BO· BD$，
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,
$\because CF⊥ BE,∠ BCE=90°$,
由射影定理得$BC^2=BF· BE$，
$\therefore BO· BD=BF· BE$,即$\frac{BO}{BE}=\frac{BF}{BD}$，
$\because ∠ OBF=∠ EBD$（公共角）,
$\therefore △ BOF∽ △ BED$。
②解:$\because BC=CD=15$,且 $DE=2CE$,
$\therefore DE=15× \frac{2}{3}=10,CE=15× \frac{1}{3}=5$，
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中, $BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{15^2+5^2}=5\sqrt{10}$，
正方形对角线$BD=\sqrt{15^2+15^2}=15\sqrt{2}$，O为BD中点，故 $OB=\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
$\because △ BOF∽ △ BED$,
$\therefore \frac{OF}{DE}=\frac{BO}{BE}$，
$\therefore OF=\frac{BO}{BE}· DE=\frac{\frac{15\sqrt{2}}{2}}{5\sqrt{10}}× 10=3\sqrt{5}$。
【答案】
(1) AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD；
(2) 射影定理$AC^2=AD·AB$成立，证明如上；
(3) ①$△ BOF ∽ △ BED$成立，证明如上；②OF的长为$3\sqrt{5}$。
【知识点】
平行投影的性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题梯度设置合理，从基础概念考查到定理证明，再到几何综合应用，既检验了对基础知识点的掌握程度，也考查了逻辑推导能力和计算能力，能有效反馈对投影、相似、特殊四边形相关知识的运用水平。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问结合正投影的特点分析：本题中光线平行于CD，CD垂直投影面AB，属于正投影，点C的投影为D，点A、B的投影为自身，据此可直接得到各线段的投影。
(2) 第二问证明射影定理的核心是证三角形相似：利用同角的余角相等得到∠ACD=∠B，结合公共角∠A证明△ACD∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例推导结论即可。
(3) ①第三问第一小问需两次应用射影定理：首先在正方形的Rt△BCD中，由CO⊥BD得$BC^2=BO·BD$；再在Rt△BCE中，由CF⊥BE得$BC^2=BF·BE$，联立得到比例式后结合公共角即可证明相似。②第二小问先按边长比例求出CE、DE的长度，用勾股定理计算BE的长度，结合正方形性质求出OB的长度，最后利用相似三角形对应边成比例计算OF的长度即可。
【解析】
(1) 投影线垂直于投影面AB，点A投影为自身，点C投影为D，点B投影为自身：
AC的投影是AD；CD垂直于投影面，投影是点D；BC的投影是BD。
(2) 证明：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\because ∠ ACB=90°,CD⊥ AB$,
$\therefore ∠ADC=∠ACB=90°$，
$\because ∠ A+∠ B=90°,∠ A+∠ ACD=90°$,
$\therefore ∠ ACD=∠ B$，
又$\because ∠A=∠A$（公共角），
$\therefore △ ACD∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
$\therefore AC^2=AD· AB$。
(3) ①证明:
∵四边形ABCD是正方形,
$\therefore OC⊥ BO,∠ BCD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中由射影定理得$BC^2=BO· BD$，
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,
$\because CF⊥ BE,∠ BCE=90°$,
由射影定理得$BC^2=BF· BE$，
$\therefore BO· BD=BF· BE$,即$\frac{BO}{BE}=\frac{BF}{BD}$，
$\because ∠ OBF=∠ EBD$（公共角）,
$\therefore △ BOF∽ △ BED$。
②解:$\because BC=CD=15$,且 $DE=2CE$,
$\therefore DE=15× \frac{2}{3}=10,CE=15× \frac{1}{3}=5$，
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中, $BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{15^2+5^2}=5\sqrt{10}$，
正方形对角线$BD=\sqrt{15^2+15^2}=15\sqrt{2}$，O为BD中点，故 $OB=\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
$\because △ BOF∽ △ BED$,
$\therefore \frac{OF}{DE}=\frac{BO}{BE}$，
$\therefore OF=\frac{BO}{BE}· DE=\frac{\frac{15\sqrt{2}}{2}}{5\sqrt{10}}× 10=3\sqrt{5}$。
【答案】
(1) AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD；
(2) 射影定理$AC^2=AD·AB$成立，证明如上；
(3) ①$△ BOF ∽ △ BED$成立，证明如上；②OF的长为$3\sqrt{5}$。
【知识点】
平行投影的性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题梯度设置合理，从基础概念考查到定理证明，再到几何综合应用，既检验了对基础知识点的掌握程度，也考查了逻辑推导能力和计算能力，能有效反馈对投影、相似、特殊四边形相关知识的运用水平。
【难度系数】
0.6
