登录
9.爸爸问小明:“一个方桌有四个角,如果锯掉一个角,还剩几个角?”
小明回答:“还剩3个角.”并画出了如下图形:
小明的回答正确吗?若不正确,请说明理由,并画出图形.
小明回答:“还剩3个角.”并画出了如下图形:
小明的回答正确吗?若不正确,请说明理由,并画出图形.
答案
解：
小明的回答不正确。
理由：锯掉方桌的一个角，存在三种不同的切割方式，得到的剩余角的数量不唯一：
① 若切割线经过正方形的两个相邻顶点，切割后剩余3个角，对应小明画出的图形；
② 若切割线经过正方形的一个顶点和与该顶点不相邻的一条边，切割后剩余4个角；
③ 若切割线经过正方形相邻的两条边，且不经过正方形的任何顶点，切割后剩余5个角。
因此锯掉一个角后，方桌剩余的角可能为3个、4个或5个，小明仅考虑了其中一种情况，回答不全面。
三种情况的图形说明：
1. 剩余4个角的图形：在正方形中，连接一个顶点和它对边上任意一点（不含端点），沿这条线段切割即可；
2. 剩余5个角的图形：在正方形中，在相邻两条边上各取一个点（都不含边的端点），连接这两个点，沿这条线段切割即可。
小明的回答不正确。
理由：锯掉方桌的一个角，存在三种不同的切割方式，得到的剩余角的数量不唯一：
① 若切割线经过正方形的两个相邻顶点，切割后剩余3个角，对应小明画出的图形；
② 若切割线经过正方形的一个顶点和与该顶点不相邻的一条边，切割后剩余4个角；
③ 若切割线经过正方形相邻的两条边，且不经过正方形的任何顶点，切割后剩余5个角。
因此锯掉一个角后，方桌剩余的角可能为3个、4个或5个，小明仅考虑了其中一种情况，回答不全面。
三种情况的图形说明：
1. 剩余4个角的图形：在正方形中，连接一个顶点和它对边上任意一点（不含端点），沿这条线段切割即可；
2. 剩余5个角的图形：在正方形中，在相邻两条边上各取一个点（都不含边的端点），连接这两个点，沿这条线段切割即可。
解析
【分析】
要判断小明的回答是否正确，首先需要明确锯掉正方形一个角时，切割线的位置存在多种可能，不能仅局限于小明给出的切割方式。我们可以根据切割线经过的位置（经过顶点的数量）分情况讨论，分别计算每种情况下剩余角的数量，即可判断小明的回答是否全面。
【解析】
小明的回答不正确，理由如下：
锯掉方桌（正方形）的一个角时，根据切割线的位置不同，共有三种不同的切割情况，剩余角的数量也不相同：
① 若切割线经过正方形的两个相邻顶点，切割后剩余3个角，对应小明画出的图形；
② 若切割线经过正方形的一个顶点，以及与该顶点不相邻的一条边上的任意一点（不含端点），切割后剩余4个角；
③ 若切割线经过正方形相邻的两条边，且不经过正方形的任何顶点，切割后剩余5个角。
因此锯掉一个角后，方桌剩余的角可能为3个、4个或5个，小明仅考虑了其中一种情况，回答不全面。
（图形绘制说明：
1. 剩余4个角的图形：在正方形中，连接一个顶点和它对边上任意非端点的点，沿这条线段切割即可；
2. 剩余5个角的图形：在正方形相邻的两条边上各取一个非端点的点，连接这两个点，沿这条线段切割即可。）
【答案】
小明的回答不正确，锯掉方桌一个角后，剩余的角可能为3个、4个或5个，小明仅考虑了剩余3个角的情况，回答不全面。
【知识点】
角的概念；分类讨论思想；图形的分割
【点评】
本题易受思维定式影响，只考虑到切割后剩余3个角的情况，解题时要从不同的切割位置出发全面思考，养成分类讨论的思维习惯，避免考虑问题片面。
【难度系数】
0.6
要判断小明的回答是否正确，首先需要明确锯掉正方形一个角时，切割线的位置存在多种可能，不能仅局限于小明给出的切割方式。我们可以根据切割线经过的位置（经过顶点的数量）分情况讨论，分别计算每种情况下剩余角的数量，即可判断小明的回答是否全面。
【解析】
小明的回答不正确，理由如下：
锯掉方桌（正方形）的一个角时，根据切割线的位置不同，共有三种不同的切割情况，剩余角的数量也不相同：
① 若切割线经过正方形的两个相邻顶点，切割后剩余3个角，对应小明画出的图形；
② 若切割线经过正方形的一个顶点，以及与该顶点不相邻的一条边上的任意一点（不含端点），切割后剩余4个角；
③ 若切割线经过正方形相邻的两条边，且不经过正方形的任何顶点，切割后剩余5个角。
因此锯掉一个角后，方桌剩余的角可能为3个、4个或5个，小明仅考虑了其中一种情况，回答不全面。
（图形绘制说明：
1. 剩余4个角的图形：在正方形中，连接一个顶点和它对边上任意非端点的点，沿这条线段切割即可；
2. 剩余5个角的图形：在正方形相邻的两条边上各取一个非端点的点，连接这两个点，沿这条线段切割即可。）
【答案】
小明的回答不正确，锯掉方桌一个角后，剩余的角可能为3个、4个或5个，小明仅考虑了剩余3个角的情况，回答不全面。
【知识点】
角的概念；分类讨论思想；图形的分割
【点评】
本题易受思维定式影响，只考虑到切割后剩余3个角的情况，解题时要从不同的切割位置出发全面思考，养成分类讨论的思维习惯，避免考虑问题片面。
【难度系数】
0.6
10.魏老师到市场去买菜，发现若把10 kg的菜放到秤上，指针盘上的指针转了$50°$(如图).第二天，魏老师就给同学们出了两个问题：
(1)如果把2 kg的菜放在秤上，指针转过多少度？
(2)如果指针转了$60°$，这些菜有多少千克？
(1)如果把2 kg的菜放在秤上，指针转过多少度？
(2)如果指针转了$60°$，这些菜有多少千克？
答案
解：
(1) 由题意可得，1 kg菜对应的指针转过的度数为：
$\frac{50°}{10}=5°$
则2 kg的菜放在秤上，指针转过的度数为：
$2×5°=10°$
(2) 指针转了$60°$时，对应菜的质量为：
$\frac{60°}{5°}=12\ \mathrm{kg}$
答：(1)指针转过$10°$；(2)这些菜有12千克。
(1) 由题意可得，1 kg菜对应的指针转过的度数为：
$\frac{50°}{10}=5°$
则2 kg的菜放在秤上，指针转过的度数为：
$2×5°=10°$
(2) 指针转了$60°$时，对应菜的质量为：
$\frac{60°}{5°}=12\ \mathrm{kg}$
答：(1)指针转过$10°$；(2)这些菜有12千克。
解析
【分析】
本题是结合生活称重场景的比例类问题，解题思路如下：首先根据已知的10kg菜对应指针偏转50°的条件，先算出1kg菜放在秤上时指针转过的角度（即单位质量对应的指针偏转角度）；第一问已知菜的质量求偏转角度，用菜的质量乘单位偏转角度即可求解；第二问已知指针偏转角度求菜的质量，用总偏转角度除以单位偏转角度即可求解。
【解析】
(1) 先计算1kg菜对应的指针转过的度数：
$\frac{50°}{10}=5°$
则2kg的菜放在秤上，指针转过的度数为：
$2×5°=10°$
(2) 指针转了$60°$时，对应菜的质量为：
$\frac{60°}{5°}=12\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) 指针转过$10°$；(2) 这些菜有12千克。
【知识点】
角度计算，正比例应用
【点评】
本题结合生活实际考查利用比例关系解决问题的能力，解题核心是先求出单位质量对应的指针偏转角度，整体计算难度低，逻辑清晰易懂。
【难度系数】
0.8
本题是结合生活称重场景的比例类问题，解题思路如下：首先根据已知的10kg菜对应指针偏转50°的条件，先算出1kg菜放在秤上时指针转过的角度（即单位质量对应的指针偏转角度）；第一问已知菜的质量求偏转角度，用菜的质量乘单位偏转角度即可求解；第二问已知指针偏转角度求菜的质量，用总偏转角度除以单位偏转角度即可求解。
【解析】
(1) 先计算1kg菜对应的指针转过的度数：
$\frac{50°}{10}=5°$
则2kg的菜放在秤上，指针转过的度数为：
$2×5°=10°$
(2) 指针转了$60°$时，对应菜的质量为：
$\frac{60°}{5°}=12\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) 指针转过$10°$；(2) 这些菜有12千克。
【知识点】
角度计算，正比例应用
【点评】
本题结合生活实际考查利用比例关系解决问题的能力，解题核心是先求出单位质量对应的指针偏转角度，整体计算难度低，逻辑清晰易懂。
【难度系数】
0.8
11.(1)观察下图填空:图①中有个不同的角,图②中有个不同的角,图③中有个角；
(2)猜想:从同一个端点O出发的6条射线一共可以组成个不同的角;从同一个端点O出发的n条射线(最大夹角都小于180°)一共可以组成个不同的角.
(2)猜想:从同一个端点O出发的6条射线一共可以组成个不同的角;从同一个端点O出发的n条射线(最大夹角都小于180°)一共可以组成个不同的角.
答案
解：
(1) 图①中从点O出发共3条射线，不同角的数量为$2+1=3$；
图②中从点O出发共4条射线，不同角的数量为$3+2+1=6$；
图③中从点O出发共5条射线，不同角的数量为$4+3+2+1=10$；
(2) 从端点O出发的6条射线，不同角的数量为$5+4+3+2+1=15$；
从端点O出发的$n$条射线，不同角的数量为$(n-1)+(n-2)+\dots+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$。
答案依次为：$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{10}$；$\boldsymbol{15}$；$\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$。
(1) 图①中从点O出发共3条射线，不同角的数量为$2+1=3$；
图②中从点O出发共4条射线，不同角的数量为$3+2+1=6$；
图③中从点O出发共5条射线，不同角的数量为$4+3+2+1=10$；
(2) 从端点O出发的6条射线，不同角的数量为$5+4+3+2+1=15$；
从端点O出发的$n$条射线，不同角的数量为$(n-1)+(n-2)+\dots+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$。
答案依次为：$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{10}$；$\boldsymbol{15}$；$\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$。
解析
【分析】
要计算从同一点出发的若干射线组成的角的个数，首先明确角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，数角时按固定顺序计数可避免重复遗漏。若有m条射线，以最下方第一条射线为边的角有(m-1)个，以第二条射线为边且不重复计数的角有(m-2)个，以此类推，最后加到1，求和即可得到总角数，再根据特殊情况的计数结果，归纳出n条射线时的通用规律。
【解析】
(1) 图①中从点O出发共3条射线：
按顺序计数，角的总数为$2+1=3$（个）；
图②中从点O出发共4条射线：
角的总数为$3+2+1=6$（个）；
图③中从点O出发共5条射线：
角的总数为$4+3+2+1=10$（个）。
(2) 从端点O出发的6条射线，按上述计数方法：
角的总数为$5+4+3+2+1=15$（个）；
从端点O出发的$n$条射线时，总角数为从$(n-1)$开始依次递减相加到1，根据求和规律，可得总个数为：
$(n-1)+(n-2)+\dots+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$。
【答案】
$3$；$6$；$10$；$15$；$\frac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
角的计数；规律探究；代数式表示
【点评】
本题通过从特殊到一般的探究思路，考查角的计数方法，解题时要注意按顺序计数避免重复或遗漏，掌握此类规律题的推导方法，可快速解决同类计数问题。
【难度系数】
0.7
要计算从同一点出发的若干射线组成的角的个数，首先明确角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，数角时按固定顺序计数可避免重复遗漏。若有m条射线，以最下方第一条射线为边的角有(m-1)个，以第二条射线为边且不重复计数的角有(m-2)个，以此类推，最后加到1，求和即可得到总角数，再根据特殊情况的计数结果，归纳出n条射线时的通用规律。
【解析】
(1) 图①中从点O出发共3条射线：
按顺序计数，角的总数为$2+1=3$（个）；
图②中从点O出发共4条射线：
角的总数为$3+2+1=6$（个）；
图③中从点O出发共5条射线：
角的总数为$4+3+2+1=10$（个）。
(2) 从端点O出发的6条射线，按上述计数方法：
角的总数为$5+4+3+2+1=15$（个）；
从端点O出发的$n$条射线时，总角数为从$(n-1)$开始依次递减相加到1，根据求和规律，可得总个数为：
$(n-1)+(n-2)+\dots+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$。
【答案】
$3$；$6$；$10$；$15$；$\frac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
角的计数；规律探究；代数式表示
【点评】
本题通过从特殊到一般的探究思路，考查角的计数方法，解题时要注意按顺序计数避免重复或遗漏，掌握此类规律题的推导方法，可快速解决同类计数问题。
【难度系数】
0.7
