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例3 (1) 计算: $(\sqrt{3} + 1) ÷ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} - 1} × (2 + \sqrt{8})$.
(2) 先化简, 再求值: $\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y}$, 其中 $x = 3\sqrt{3} - 1, y = 2\sqrt{3} + 1$.
解:(1) $(\sqrt{3} + 1) ÷ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} - 1} × (2 + \sqrt{8})$
$= (\sqrt{3} + 1) × \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2} + 1} × 2(1 + \sqrt{2}) = (3 - 1) × 2 = 4.$
(2) $\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} = \frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{x + y}{x^2 - y^2}$
$= \frac{x - y}{x^2 - y^2} = \frac{x - y}{(x - y)(x + y)} = \frac{1}{x + y},$
把 $x = 3\sqrt{3} - 1, y = 2\sqrt{3} + 1$ 代入, 得
原式 $= \frac{1}{3\sqrt{3} - 1 + 2\sqrt{3} + 1} = \frac{1}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{15}.$
(2) 先化简, 再求值: $\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y}$, 其中 $x = 3\sqrt{3} - 1, y = 2\sqrt{3} + 1$.
解:(1) $(\sqrt{3} + 1) ÷ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} - 1} × (2 + \sqrt{8})$
$= (\sqrt{3} + 1) × \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2} + 1} × 2(1 + \sqrt{2}) = (3 - 1) × 2 = 4.$
(2) $\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} = \frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{x + y}{x^2 - y^2}$
$= \frac{x - y}{x^2 - y^2} = \frac{x - y}{(x - y)(x + y)} = \frac{1}{x + y},$
把 $x = 3\sqrt{3} - 1, y = 2\sqrt{3} + 1$ 代入, 得
原式 $= \frac{1}{3\sqrt{3} - 1 + 2\sqrt{3} + 1} = \frac{1}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{15}.$
答案
解：(1)
$\begin{aligned}&(\sqrt{3} + 1) ÷ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} - 1} × (2 + \sqrt{8})\\=&(\sqrt{3} + 1) × \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2} + 1} × 2(1 + \sqrt{2})\\=&(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) × \frac{2(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}\\=&(3-1) × 2\\=&4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} &= \frac{2x}{(x-y)(x+y)} - \frac{x+y}{(x-y)(x+y)}\\&= \frac{2x - x - y}{(x-y)(x+y)}\\&= \frac{x - y}{(x-y)(x+y)}\\&= \frac{1}{x + y}\end{aligned}$
把$x = 3\sqrt{3} - 1$，$y = 2\sqrt{3} + 1$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= \frac{1}{3\sqrt{3} - 1 + 2\sqrt{3} + 1}\\&= \frac{1}{5\sqrt{3}}\\&= \frac{\sqrt{3}}{15}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(\sqrt{3} + 1) ÷ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} - 1} × (2 + \sqrt{8})\\=&(\sqrt{3} + 1) × \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2} + 1} × 2(1 + \sqrt{2})\\=&(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) × \frac{2(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}\\=&(3-1) × 2\\=&4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} &= \frac{2x}{(x-y)(x+y)} - \frac{x+y}{(x-y)(x+y)}\\&= \frac{2x - x - y}{(x-y)(x+y)}\\&= \frac{x - y}{(x-y)(x+y)}\\&= \frac{1}{x + y}\end{aligned}$
把$x = 3\sqrt{3} - 1$，$y = 2\sqrt{3} + 1$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= \frac{1}{3\sqrt{3} - 1 + 2\sqrt{3} + 1}\\&= \frac{1}{5\sqrt{3}}\\&= \frac{\sqrt{3}}{15}\end{aligned}$
解析
【分析】
(1) 本题为二次根式乘除混合运算，思考路径：首先根据除法运算法则，将除以分式转化为乘该分式的倒数；其次化简可直接处理的二次根式，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此$2+\sqrt{8}$可整理为$2(1+\sqrt{2})$；最后观察式子特征，先约去相同的因式$\sqrt{2}+1$，再用平方差公式计算$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$，即可快速得到结果，避免复杂的分步根式运算。
(2) 本题为分式化简求值题，思考路径：第一步先对分母因式分解，$x^2-y^2$符合平方差公式，可分解为$(x-y)(x+y)$；第二步将两个分式通分，把$\frac{1}{x-y}$的分子分母同乘$(x+y)$，转化为同分母分式后分子相减；第三步约去分子分母的公因式$x-y$得到最简分式；最后代入$x、y$的数值计算，注意常数项可直接抵消，再对结果分母有理化即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}&(\sqrt{3} + 1) ÷ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} - 1} × (2 + \sqrt{8})\\=&(\sqrt{3} + 1) × \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2} + 1} × 2(1 + \sqrt{2})\\=&(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) × \frac{2(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}\\=&(3-1) × 2\\=&4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} &= \frac{2x}{(x-y)(x+y)} - \frac{x+y}{(x-y)(x+y)}\\&= \frac{2x - x - y}{(x-y)(x+y)}\\&= \frac{x - y}{(x-y)(x+y)}\\&= \frac{1}{x + y}\end{aligned}$
把$x = 3\sqrt{3} - 1$，$y = 2\sqrt{3} + 1$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= \frac{1}{3\sqrt{3} - 1 + 2\sqrt{3} + 1}\\&= \frac{1}{5\sqrt{3}}\\&= \frac{\sqrt{3}}{15}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}}{15}}$
【知识点】
二次根式混合运算，分式化简求值，平方差公式
【点评】
本题主要考察根式运算规则、分式通分约分的基础技能，解题时优先观察式子结构，灵活运用乘法公式和约分简化计算，可有效提升运算准确率，分母有理化是此类题的常见易错点，需重点注意。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为二次根式乘除混合运算，思考路径：首先根据除法运算法则，将除以分式转化为乘该分式的倒数；其次化简可直接处理的二次根式，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此$2+\sqrt{8}$可整理为$2(1+\sqrt{2})$；最后观察式子特征，先约去相同的因式$\sqrt{2}+1$，再用平方差公式计算$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$，即可快速得到结果，避免复杂的分步根式运算。
(2) 本题为分式化简求值题，思考路径：第一步先对分母因式分解，$x^2-y^2$符合平方差公式，可分解为$(x-y)(x+y)$；第二步将两个分式通分，把$\frac{1}{x-y}$的分子分母同乘$(x+y)$，转化为同分母分式后分子相减；第三步约去分子分母的公因式$x-y$得到最简分式；最后代入$x、y$的数值计算，注意常数项可直接抵消，再对结果分母有理化即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}&(\sqrt{3} + 1) ÷ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} - 1} × (2 + \sqrt{8})\\=&(\sqrt{3} + 1) × \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2} + 1} × 2(1 + \sqrt{2})\\=&(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) × \frac{2(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}\\=&(3-1) × 2\\=&4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} &= \frac{2x}{(x-y)(x+y)} - \frac{x+y}{(x-y)(x+y)}\\&= \frac{2x - x - y}{(x-y)(x+y)}\\&= \frac{x - y}{(x-y)(x+y)}\\&= \frac{1}{x + y}\end{aligned}$
把$x = 3\sqrt{3} - 1$，$y = 2\sqrt{3} + 1$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= \frac{1}{3\sqrt{3} - 1 + 2\sqrt{3} + 1}\\&= \frac{1}{5\sqrt{3}}\\&= \frac{\sqrt{3}}{15}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}}{15}}$
【知识点】
二次根式混合运算，分式化简求值，平方差公式
【点评】
本题主要考察根式运算规则、分式通分约分的基础技能，解题时优先观察式子结构，灵活运用乘法公式和约分简化计算，可有效提升运算准确率，分母有理化是此类题的常见易错点，需重点注意。
【难度系数】
0.7
式;若有些题目直接代入运算复杂,可采用间接代入的方式,如本题,可求出$x+y$整体代入运算.
例4 已知$x+y=3\sqrt{3},xy=6$,先求$x-y$的值,再求$x$和$y$的值.
解:由二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$可知,
$|x-y|=\sqrt{(x-y)^2}=\sqrt{(x+y)^2 -4xy}$
$=\sqrt{27-24}=\sqrt{3}.$
当$x≥ y$时,$x-y≥0$,所以$|x-y|=x-y=\sqrt{3}.$
于是,可得方程组$\begin{cases}x+y=3\sqrt{3}, \\x-y=\sqrt{3}.\end{cases}$ 解这个方程组,得$\begin{cases}x=2\sqrt{3}, \\y=\sqrt{3}.\end{cases}$
当$x＜ y$时,$x-y＜0$,所以$|x-y|=-(x-y)=\sqrt{3}.$
于是,可得方程组$\begin{cases}x+y=3\sqrt{3}, \\x-y=-\sqrt{3}.\end{cases}$ 解这个方程组,得$\begin{cases}x=\sqrt{3}, \\y=2\sqrt{3}.\end{cases}$
评析:解决本题应用了公式$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a≥0), \\-a(a＜0),\end{cases}$ 其关键是要注意公式成立的条件,并会根据条件进行分类讨论;当遇到此类问题的背景不同时,要学会借助转化灵活运用.
试用类似的方法解答:已知$a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2},ab=\sqrt{3}$,求$a$和$b$的值.
例4 已知$x+y=3\sqrt{3},xy=6$,先求$x-y$的值,再求$x$和$y$的值.
解:由二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$可知,
$|x-y|=\sqrt{(x-y)^2}=\sqrt{(x+y)^2 -4xy}$
$=\sqrt{27-24}=\sqrt{3}.$
当$x≥ y$时,$x-y≥0$,所以$|x-y|=x-y=\sqrt{3}.$
于是,可得方程组$\begin{cases}x+y=3\sqrt{3}, \\x-y=\sqrt{3}.\end{cases}$ 解这个方程组,得$\begin{cases}x=2\sqrt{3}, \\y=\sqrt{3}.\end{cases}$
当$x＜ y$时,$x-y＜0$,所以$|x-y|=-(x-y)=\sqrt{3}.$
于是,可得方程组$\begin{cases}x+y=3\sqrt{3}, \\x-y=-\sqrt{3}.\end{cases}$ 解这个方程组,得$\begin{cases}x=\sqrt{3}, \\y=2\sqrt{3}.\end{cases}$
评析:解决本题应用了公式$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a≥0), \\-a(a＜0),\end{cases}$ 其关键是要注意公式成立的条件,并会根据条件进行分类讨论;当遇到此类问题的背景不同时,要学会借助转化灵活运用.
试用类似的方法解答:已知$a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2},ab=\sqrt{3}$,求$a$和$b$的值.
答案
解：由二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$可知，
$|a-b|=\sqrt{(a-b)^2}=\sqrt{(a+b)^2 -4ab}$
$=\sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 -4×\sqrt{3}}$
$=\sqrt{8+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
当$a≥ b$时，$a-b≥0$，所以$|a-b|=a-b=2\sqrt{2}$。
于是可得方程组$\begin{cases}a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2},\\a-b=2\sqrt{2}.\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a=\dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2},\\b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\end{cases}$
当$a ＜ b$时，$a-b ＜ 0$，所以$|a-b|=-(a-b)=2\sqrt{2}$，即$a-b=-2\sqrt{2}$。
于是可得方程组$\begin{cases}a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2},\\a-b=-2\sqrt{2}.\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\\b=\dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}.\end{cases}$
$|a-b|=\sqrt{(a-b)^2}=\sqrt{(a+b)^2 -4ab}$
$=\sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 -4×\sqrt{3}}$
$=\sqrt{8+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
当$a≥ b$时，$a-b≥0$，所以$|a-b|=a-b=2\sqrt{2}$。
于是可得方程组$\begin{cases}a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2},\\a-b=2\sqrt{2}.\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a=\dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2},\\b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\end{cases}$
当$a ＜ b$时，$a-b ＜ 0$，所以$|a-b|=-(a-b)=2\sqrt{2}$，即$a-b=-2\sqrt{2}$。
于是可得方程组$\begin{cases}a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2},\\a-b=-2\sqrt{2}.\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\\b=\dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}.\end{cases}$
解析
【分析】
本题已知a+b与ab的值，要求a、b的取值，可参照例题思路逐步求解：首先，利用完全平方公式将$(a-b)^2$转化为$(a+b)^2-4ab$，代入已知数值即可算出$(a-b)^2$的结果；其次，结合二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，求出$|a-b|$的具体值；最后，分$a≥ b$和$a＜b$两种情况，得到a-b的对应取值，再联立$a+b$的等式组成二元一次方程组，解方程组即可得到不同情况下a、b的取值。
【解析】
由二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$可知：
$|a-b|=\sqrt{(a-b)^2}=\sqrt{(a+b)^2 -4ab}$
将$a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$ab=\sqrt{3}$代入得：
$\begin{aligned}&=\sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 -4×\sqrt{3}}\\&=\sqrt{6+2\sqrt{12}+2-4\sqrt{3}}\\&=\sqrt{8+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}}\\&=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\end{aligned}$
当$a≥ b$时，$a-b≥0$，所以$|a-b|=a-b=2\sqrt{2}$，可得方程组：
$\begin{cases}a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2},\\a-b=2\sqrt{2}.\end{cases}$
两式相加得$2a=\sqrt{6}+3\sqrt{2}$，解得$a=\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$，代入$a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2}$得$b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，即$\begin{cases}a=\dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2},\\b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\end{cases}$
当$a ＜ b$时，$a-b ＜ 0$，所以$|a-b|=-(a-b)=2\sqrt{2}$，即$a-b=-2\sqrt{2}$，可得方程组：
$\begin{cases}a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2},\\a-b=-2\sqrt{2}.\end{cases}$
两式相加得$2a=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，解得$a=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，代入$a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2}$得$b=\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$，即$\begin{cases}a=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\\b=\dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}.\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}a=\dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2},\\b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}a=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\\b=\dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}\end{cases}$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 完全平方公式
3. 二元一次方程组解法
【点评】
本题属于方法迁移类题型，解题核心是利用整体思想结合完全平方公式求出两数差的绝对值，再通过分类讨论列方程组求解，解题时要注意二次根式运算的准确性，不要遗漏任意一种分类情况。
【难度系数】
0.7
本题已知a+b与ab的值，要求a、b的取值，可参照例题思路逐步求解：首先，利用完全平方公式将$(a-b)^2$转化为$(a+b)^2-4ab$，代入已知数值即可算出$(a-b)^2$的结果；其次，结合二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，求出$|a-b|$的具体值；最后，分$a≥ b$和$a＜b$两种情况，得到a-b的对应取值，再联立$a+b$的等式组成二元一次方程组，解方程组即可得到不同情况下a、b的取值。
【解析】
由二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$可知：
$|a-b|=\sqrt{(a-b)^2}=\sqrt{(a+b)^2 -4ab}$
将$a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$ab=\sqrt{3}$代入得：
$\begin{aligned}&=\sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 -4×\sqrt{3}}\\&=\sqrt{6+2\sqrt{12}+2-4\sqrt{3}}\\&=\sqrt{8+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}}\\&=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\end{aligned}$
当$a≥ b$时，$a-b≥0$，所以$|a-b|=a-b=2\sqrt{2}$，可得方程组：
$\begin{cases}a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2},\\a-b=2\sqrt{2}.\end{cases}$
两式相加得$2a=\sqrt{6}+3\sqrt{2}$，解得$a=\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$，代入$a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2}$得$b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，即$\begin{cases}a=\dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2},\\b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\end{cases}$
当$a ＜ b$时，$a-b ＜ 0$，所以$|a-b|=-(a-b)=2\sqrt{2}$，即$a-b=-2\sqrt{2}$，可得方程组：
$\begin{cases}a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2},\\a-b=-2\sqrt{2}.\end{cases}$
两式相加得$2a=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，解得$a=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，代入$a+b=\sqrt{6}+\sqrt{2}$得$b=\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$，即$\begin{cases}a=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\\b=\dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}.\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}a=\dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2},\\b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}a=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\\b=\dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}\end{cases}$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 完全平方公式
3. 二元一次方程组解法
【点评】
本题属于方法迁移类题型，解题核心是利用整体思想结合完全平方公式求出两数差的绝对值，再通过分类讨论列方程组求解，解题时要注意二次根式运算的准确性，不要遗漏任意一种分类情况。
【难度系数】
0.7
