23.(9分)如图,在四边形ABCD中,$∠A=∠C$,点E,F分别在AB,CD的延长线上,且$∠1+∠2=180°$.
(1)求证:$AE// FC$;
(2)如果DA平分$∠BDF$,那么BC也一定平分$∠DBE$吗?为什么?

(1) 证明：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，∠1 = ∠ABD（对顶角相等），
∴ ∠ABD + ∠2 = 180°，
∴ AE // FC（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) BC一定平分∠DBE，理由如下：
∵ AE // FC，
∴ ∠A = ∠ADF（两直线平行，内错角相等），∠C = ∠EBC（两直线平行，同位角相等）。
又∵ ∠A = ∠C，
∴ ∠ADF = ∠EBC。
∵ DA平分∠BDF，
∴ ∠ADF = ∠ADB。
∵ AE // FC，
∴ ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EBC = ∠DBC，
∴ BC平分∠DBE。

24.(12分)已知三角板ABC中,$∠BAC=60°,∠B=30°,∠C=90°$,长方形DEFG中,$DE// GF$.
如图1,若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上,BC与DE相交于点M,$AB⊥DE$于点N.
(1)请你直接写出:$∠CAF=$$°$,$∠EMC=$$°$;
(2)若将三角板ABC按图2所示方式摆放(AB与DE不垂直),请你猜想$∠EMC$与$∠CAF$的数量关系,并说明理由;
(3)请你总结(1),(2)解决问题的思路,在图(2)中探究$∠BAG$与$∠BMD$的数量关系,并说明理由.

解：
(1) $\because AB⊥ DE$，$DE// GF$，$\therefore AB⊥ GF$，$∠ BAF=90°$，
$\because ∠ BAC=60°$，$\therefore ∠ CAF=∠ BAF - ∠ BAC=90°-60°=30°$；
在四边形$ANMC$中，$∠ ANM=90°$，$∠ BAC=60°$，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ EMC=360°-90°-60°-90°=120°$，
故答案为：$\boldsymbol{30}$，$\boldsymbol{120}$；
(2) $\boldsymbol{∠ EMC - ∠ CAF=90°}$，理由如下：
延长$AC$交$DE$于点$P$，
$\because DE// GF$，$\therefore ∠ CAF=∠ APC$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ C=90°$，在$\mathrm{Rt}△ PMC$中，$∠ EMC=∠ C + ∠ APC$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和），
$\therefore ∠ EMC=90°+∠ CAF$，
即$∠ EMC - ∠ CAF=90°$；
(3) $\boldsymbol{∠ BMD - ∠ BAG=30°}$，理由如下：
过点$B$作$BK// DE$，
$\because DE// GF$，$\therefore BK// GF$（平行于同一直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ BAG=∠ ABK$（两直线平行，内错角相等），
$∠ BMD=∠ MBK$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ MBK=∠ ABK + ∠ ABM$，$∠ ABM=30°$，
$\therefore ∠ BMD=∠ BAG +30°$，
即$∠ BMD - ∠ BAG=30°$。