2. 如图,四边形$ABCD$是平行四边形,$P是CD$上一点,且$AP和BP分别平分\angle DAB和\angle CBA$。
(1)求$\angle APB$的度数；
(2)如果$AD = 5cm$,$AP = 8cm$,求$\triangle APB$的周长。

$(1)$$\angle APB = 90^{\circ}$；
$(2)$$\triangle APB$的周长为$24cm$。

3. 已知正方形$ABCD$,点$P是对角线AC$所在直线上的动点,点$E在DC$边所在直线上,且随着点$P$的运动而运动,$PE = PD$总成立。
(1)如图(1),当点$P在对角线AC$上时,请你通过测量、观察,猜想$PE与PB$有怎样的关系。(直接写出结论,不必证明)
(2)如图(2),当点$P运动到CA$的延长线上时,(1)中猜想的结论是否成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由。
(3)如图(3),当点$P运动到CA$的反向延长线上时,请你利用图(3)画出满足条件的图形,并判断此时$PE与PB$有怎样的关系。(直接写出结论,不必证明)

1. （1）$PE = PB$且$PE\perp PB$。
2. （2）成立。证明：连接$PD$，因为四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB = AD$，$\angle BAP=\angle DAP = 180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$，又$AP = AP$，$\therefore\triangle ABP\cong\triangle ADP(SAS)$，$\therefore PB = PD$，$\angle ABP=\angle ADP$，$\because PE = PD$，$\therefore PB = PE$。设$AB$与$PE$相交于点$F$，$\because\angle ABP+\angle PFB=\angle ADP+\angle DFE$（$\angle PFB$与$\angle DFE$是对顶角），$\angle ADP+\angle PDC = 90^{\circ}$（$\angle ADC = 90^{\circ}$），$\angle PDC=\angle PED$（$PE = PD$），$\therefore\angle BPE=\angle BAD = 90^{\circ}$，即$PE\perp PB$。所以$PE = PB$且$PE\perp PB$成立。
3. （3）画出图形（略），$PE = PB$且$PE\perp PB$。