6. (教材 $ P_{66}T_2 $ 变式)如图,在平面直角坐标系中,若 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 关于点 $ E $ 成中心对称,则对称中心点 $ E $ 的坐标是______.

中档题运用
6. $(3,-1)$

7. (2024 广州中考)如图,在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $.
(1)尺规作图：作 $ AC $ 边上的中线 $ BO $(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)在(1)所作的图中,将中线 $ BO $ 绕点 $ O $ 逆时针旋转 $ 180^{\circ} $ 得到 $ DO $,连接 $ AD,CD $. 求证：四边形 $ ABCD $ 是矩形.

中档题运用
7. 解：(1)如图所示，线段 BO 为 AC 边上的中线；

(2)$\because$ O 是 AC 的中点，
$\therefore AO = CO$，由旋转得 $BO = DO$，
$\therefore$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\because \angle ABC = 90^{\circ}$，
$\therefore$ 四边形 ABCD 是矩形.

8. (原创题)如图,在平面直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 的三个顶点分别是 $ A(-3,2) $,$ B(0,4) $,$ C(0,2) $.
(1)【操作与实践】①步骤一：将 $ \triangle ABC $ 以点 $ C $ 为旋转中心旋转 $ 180^{\circ} $,画出旋转后对应的 $ \triangle A_1B_1C $；②步骤二：平移 $ \triangle ABC $,点 $ A $ 的对应点 $ A_2 $ 的坐标为 $ (1,-4) $,画出平移后对应的 $ \triangle A_2B_2C_2 $；
(2)【应用与求解】将 $ \triangle A_1B_1C $ 绕某一点 $ M $ 旋转 $ 180^{\circ} $ 可以得到 $ \triangle A_2B_2C_2 $,则旋转中心 $ M $ 的坐标为______.

中档题运用
8. 解：(1)如图所示；

(2)$M(2,-1)$.

9. (原创题)如图,在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 和 $ \text{Rt} \triangle ADE $ 中,$ \angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ} $,$ AB = AC $,$ AD = AE $,连接 $ CD $,$ P $ 为 $ CD $ 的中点,连接 $ AP $.
(1)画出 $ \triangle ADP $ 关于点 $ P $ 成中心对称的 $ \triangle FCP $；
(2)连接 $ BE $,求 $ \frac{AP}{BE} $ 的值.

综合题探究
9. 解：(1)$\triangle FCP$ 如图所示；

(2)$\because \triangle ADP$ 与 $\triangle FCP$ 关于点 P 成中心对称，
$\therefore \triangle ADP \cong \triangle FCP$，
$\therefore CF = AD = AE$，
$AP = PF = \frac{1}{2}AF$，
$\because \angle DAP = \angle CFP$，
$\therefore CF // AD$，
$\therefore \angle ACF + \angle DAC = 180^{\circ}$，
$\because \angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC + \angle BAE = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle ACF = \angle BAE$.
$\because AB = AC$，
$\therefore \triangle ACF \cong \triangle BAE(SAS)$，
$\therefore BE = AF = 2AP$，
$\therefore \frac{AP}{BE} = \frac{1}{2}$.