24. 如图,正方形$ABCD$的边长为4cm,点$A'从点D$出发,以每秒1cm的速度沿射线$DC$向右运动(点$A'与点C$不重合),连结$AA'$.线段$AA'的中垂线分别与直线DC$、$AA'$、$AB交于点E$、$P$、$F$,连结$AE$、$A'F$.设点$A'的运动时间为t s(t＞0)$.
(1)求证：$EP= FP$；
(2)四边形$A'EAF$是否为菱形？请说明理由；
(3)直接写出四边形$A'EAF与正方形ABCD$重叠部分图形的形状分别为三角形、四边形、五边形时,所对应的$t$的取值范围.

(1) 在正方形 $ ABCD $ 中，$ DC // AB $，
$ \therefore \angle EA'A = \angle FAA' $。
$ \because EF $ 是线段 $ AA' $ 的中垂线，
$ \therefore \angle A'PE = \angle APF = 90^\circ $，$ A'P = AP $。
$ \therefore \triangle A'EP \cong \triangle AFP $。$ \therefore EP = FP $。
(2) 四边形 $ AEA'F $ 为菱形。
$ \because A'P = AP $，$ EP = FP $，
$ \therefore $ 四边形 $ AEA'F $ 为平行四边形。
$ \because EF $ 是线段 $ AA' $ 的中垂线，
$ \therefore AE = A'E $。$ \therefore $ 四边形 $ AEA'F $ 为菱形。
(3) 当 $ t \geq 4 + 4\sqrt{2} $ 时，重叠部分图形的形状为三角形。
当 $ 4 ＜ t ＜ 4 + 4\sqrt{2} $ 时，重叠部分图形的形状为四边形。
当 $ 0 ＜ t ＜ 4 $ 时，重叠部分图形的形状为五边形。