加权平均数
加权平均数与算术平均数类似,不同点在于,数据中的每个点对于平均数的贡献并不是相等的,有些点要比其他的点更加重要.
如果所有的权重相同,那么加权平均数与算术平均数相同. 如:某活动班分成三个小组,每组 5 人,在一次测验中,平均每组得分为 4 分,5 分,3 分,求全班平均每人得多少分? 解法一: $ (4 × 5 + 5 × 5 + 3 × 5) ÷ (5 + 5 + 5) = 4 $(分);解法二: $ (4 + 5 + 3) ÷ 3 = 4 $(分);
两种计算结果答案是一样的,那下面这道题,你用这两种解法,也行吗?
某活动班,分成三个小组,各组人数分别是 5 人,6 人,3 人,在一次测验中,平均每组得分为 4 分,5 分,3 分,求全班平均每人得多少分.
解：
- **解法一（加权平均数）：
根据加权平均数公式$\bar{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{n}f_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}}$（其中$x_{i}$为数据，$f_{i}$为权重）。
已知三个小组人数（权重）分别为$f_{1} = 5$，$f_{2}=6$，$f_{3}=3$，平均每组得分（数据）分别为$x_{1}=4$，$x_{2}=5$，$x_{3}=3$。
则全班平均每人得分$\bar{x}=\frac{4×5 + 5×6 + 3×3}{5 + 6 + 3}$
$=\frac{20+30 + 9}{14}$
$=\frac{59}{14}\approx$（分）。
- **解法二（算术平均数不可行）：
因为三个小组人数不同（权重不同），不能直接用算术平均数公式$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{n}$（这里$n = 3$）计算，即$\frac{4 + 5 + 3}{3}=\frac{12}{3}=4$（分），这种算法是的，因为它没有考虑到各小组人数（权重）对平均数的影响。
综上，只能用加权平均数的解法一计算，全班平均每人约得分。

解：
- **解法一（加权平均数）：
根据加权平均数公式$\bar{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{n}f_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}}$（其中$x_{i}$为数据，$f_{i}$为权重）。
已知三个小组人数（权重）分别为$f_{1} = 5$，$f_{2}=6$，$f_{3}=3$，平均每组得分（数据）分别为$x_{1}=4$，$x_{2}=5$，$x_{3}=3$。
则全班平均每人得分$\bar{x}=\frac{4×5 + 5×6 + 3×3}{5 + 6 + 3}$
$=\frac{20+30 + 9}{14}$
$=\frac{59}{14}\approx 4.21$（分）。
- **解法二（算术平均数不可行）：
因为三个小组人数不同（权重不同），不能直接用算术平均数公式$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{n}$（这里$n = 3$）计算，即$\frac{4 + 5 + 3}{3}=\frac{12}{3}=4$（分），这种算法是错误的，因为它没有考虑到各小组人数（权重）对平均数的影响。
综上，只能用加权平均数的解法一计算，全班平均每人约得$4.21$分。