(1) 方程$\frac{x^2 -4}{x-2}=1$的根是（）

A.$x_1=-2,\ x_2=1$；
B.$x_1=2,\ x_2=-1$；
C.$x=-1$；
D.$x=1$。

1. (1) C.

【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路分为三步：第一步先明确分式方程的隐含条件：分母不为0，即x≠2，否则原方程无意义；第二步通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程得到候选根；第三步必须对候选根进行检验，排除使分母为0的增根，最终得到原方程的根。
【解析】
解：原方程为$\frac{x^2 -4}{x-2}=1$，
首先确定隐含条件：分母$x-2≠0$，即$x≠2$。
方程两边同时乘以$(x-2)$（此时$x≠2$，等式成立），得：
$x^2 - 4 = x - 2$
移项整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x+1)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-1$。
接下来检验根：
① 当$x=2$时，原方程分母$x-2=0$，分式无意义，故$x=2$是增根，舍去；
② 当$x=-1$时，原方程分母$x-2=-3≠0$，代入左边得$\frac{(-1)^2 -4}{-1-2}=\frac{1-4}{-3}=1$，等于右边，是原方程的根。
因此原方程的根为$x=-1$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程求解，增根的检验，一元二次方程求解
【点评】
本题是分式方程的基础常考题，解题的关键是牢记分式方程求解后必须验根，避免把增根当成原方程的根，易错点是忽略分母不为0的条件，误选包含增根的选项。
【难度系数】
0.6

（2）下面去分母后所得方程正确的是 （）

A.$\dfrac{4}{x+1} - 1 = \dfrac{4 - 2x}{x^2 + x}$，去分母，得 $4x - 1 = 4 - 2x$；
B.$\dfrac{4}{x+1} - 1 = \dfrac{4 - 2x}{x^2 + x}$，去分母，得 $4 - (x^2 + x) = 4 - 2x$；
C.$\dfrac{4}{x+1} - 1 = \dfrac{4 - 2x}{x^2 + x}$，去分母，得 $4x - (x^2 + x) = 4 - 2x$；
D.$\dfrac{4}{x+1} - 1 = \dfrac{4 - 2x}{x^2 + x}$，去分母，得 $4x - (x + 1) = x(4 - 2x)$。

1. (2) C.

【分析】
要判断去分母后的方程是否正确，需按步骤思考：第一步先确定分式方程的最简公分母，先对分母因式分解，$x^2+x$可分解为$x(x+1)$，因此最简公分母是$x(x+1)$；第二步牢记去分母的规则：方程两边每一项都要乘最简公分母，不能漏乘不含分母的项，分子是整体时注意运算符号。接下来逐项计算乘公分母后的结果，再和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
首先对分母因式分解：$x^2+x=x(x+1)$，因此该方程的最简公分母为$x(x+1)$。
方程两边每一项同时乘以最简公分母$x(x+1)$：
左边第一项$\dfrac{4}{x+1} × x(x+1) = 4x$
左边第二项$-1 × x(x+1) = -(x^2+x)$
右边$\dfrac{4-2x}{x(x+1)} × x(x+1) = 4-2x$
综上，去分母后所得方程为$4x - (x^2+x) = 4-2x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程去分母
2. 最简公分母确定
3. 因式分解
【点评】
本题是分式方程去分母的基础典型题，易错点为去分母时漏乘不含分母的常数项，或计算含分母项时漏乘对应因式，解题时需先准确找到最简公分母，再确保每一项都乘公分母，避免漏乘、错乘。
【难度系数】
0.7

2. 解下列方程：
(1) $\frac{1}{x}=\frac{2x}{x+1}$；
(2) $\frac{1}{y+$$}+\frac{2}{y+2}=1$。

2. (1) 去分母得 $x+1=2x^2$.
解得 $x_1=1,\ x_2=-\frac{1}{2}$.
检验：将 $x_1=1,\ x_2=-\frac{1}{2}$代入原方程，等式成立.
所以，原方程的根为 $x_1=1,\ x_2=-\frac{1}{2}$.
(2) 去分母得 $y+2+2(y+1)=(y+1)(y+2)$.
解得 $y_1=\sqrt{2},\ y_2=-\sqrt{2}$.
检验：将 $y_1=\sqrt{2},\ y_2=-\sqrt{2}$代入原方程，等式成立.
所以，原方程的根为 $y_1=\sqrt{2},\ y_2=-\sqrt{2}$.

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解：①先找各分式分母的最简公分母，明确分母不为0的隐含条件；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解所得的整式方程；④将求得的解代入原方程（或最简公分母）检验，排除使分母为0的增根，最终得到原方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$\frac{1}{x}=\frac{2x}{x+1}$：
第一步，确定最简公分母为$x(x+1)$，隐含条件$x≠0$且$x≠-1$；
第二步，去分母：方程两边同时乘$x(x+1)$，得$x+1=2x^2$；
第三步，整理为标准一元二次方程：$2x^2 -x -1=0$，因式分解得$(2x+1)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$；
第四步，检验：将$x_1=1$、$x_2=-\frac{1}{2}$分别代入原方程，分母均不为0，且等式左右两边相等，均为原方程的根。
(2) 对于方程$\frac{1}{y+1}+\frac{2}{y+2}=1$：
第一步，确定最简公分母为$(y+1)(y+2)$，隐含条件$y≠-1$且$y≠-2$；
第二步，去分母：方程两边同时乘$(y+1)(y+2)$，得$y+2+2(y+1)=(y+1)(y+2)$；
第三步，展开整理：左边合并得$3y+4$，右边展开得$y^2+3y+2$，移项化简得$y^2=2$，解得$y_1=\sqrt{2}$，$y_2=-\sqrt{2}$；
第四步，检验：将$y_1=\sqrt{2}$、$y_2=-\sqrt{2}$分别代入原方程，分母均不为0，且等式左右两边相等，均为原方程的根。
【答案】
(1) 原方程的根为 $x_1=1,\ x_2=-\frac{1}{2}$；
(2) 原方程的根为 $y_1=\sqrt{2},\ y_2=-\sqrt{2}$。
【知识点】
分式方程的解法；一元二次方程求解；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考查去分母转化为整式方程的思路，需要注意解分式方程必须验根，避免增根导致结果错误，计算过程中去分母时不要漏乘不含分母的项。
【难度系数】
0.7

3. 解下列方程：
(1) $\frac{16}{x^2 -4}=$$\frac{x+2}{x-2}-\frac{1}{x+2};$
(2) $\frac{s}{s-2}+\frac{1}{s-3}$$\frac{1}{s^2 -5s +6}=0.$

3. (1) 去分母得 $16=(x+2)^2-(x-2)$.
整理，得 $x^2+3x-10=0$.
解得 $x_1=-5,\ x_2=2$.
检验：将 $x_1=-5$代入原方程，等式成立；将 $x_2=2$代入原方程，左端分母为0，无意义，即 $x_2=2$ 是增根，应舍去.
所以，原方程的根为 $x=-5$.
(2) 去分母得 $s(s-3)+(s-2)-1=0$.
整理，得 $s^2-2s-3=0$.
解得 $s_1=-1,\ s_2=3$.
检验：将 $s_1=-1$代入原方程，等式成立；将 $s_2=3$代入原方程，左端第2、3个式子分母为0，无意义，即 $s_2=3$ 是增根，应舍去.
所以，原方程的根为 $s=-1$.

【分析】
这两道均为分式方程求解问题，解题遵循分式方程的常规思路：①先对各分母因式分解，确定最简公分母；②方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；③解所得的整式方程；④检验：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母为0则该解是增根，需舍去，若公分母不为0才是原方程的根。
【解析】
(1) 先对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，得最简公分母为$(x+2)(x-2)$。
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$去分母得：$16=(x+2)^2-(x-2)$
整理得：$x^2+3x-10=0$
解得：$x_1=-5,\ x_2=2$
检验：将$x=-5$代入原方程，等式成立；将$x=2$代入原方程，左端分母为0，无意义，是增根，舍去。
(2) 先对分母因式分解：$s^2-5s+6=(s-2)(s-3)$，得最简公分母为$(s-2)(s-3)$。
方程两边同乘$(s-2)(s-3)$去分母得：$s(s-3)+(s-2)-1=0$
整理得：$s^2-2s-3=0$
解得：$s_1=-1,\ s_2=3$
检验：将$s=-1$代入原方程，等式成立；将$s=3$代入原方程，左端部分分母为0，无意义，是增根，舍去。
【答案】
(1) $x=-5$；(2) $s=-1$
【知识点】
1.分式方程的解法 2.因式分解 3.增根的检验
【点评】
本题属于分式方程的基础考察题型，重点考查分式方程的标准化解题流程，需注意去分母时不要漏乘常数项，且解分式方程必须进行检验，排除增根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7