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8.若$(m+2)^2x^2y^{n-2}$是关于$x,y$的五次单项式，则$m,n$满足的条件是（
A.$n=5,m=-1$
B.$n=5,m≠-2$
C.$n=3,m≠-2$
D.$n=5,m$为任意数
B
）.A.$n=5,m=-1$
B.$n=5,m≠-2$
C.$n=3,m≠-2$
D.$n=5,m$为任意数
答案
8.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式的两个核心要求：一是单项式的系数不能为0，否则整个式子的值为0，就不再是指定次数的单项式；二是单项式的次数是式子中所有字母的指数之和。我们只要分别根据这两个要求列等式和不等式求解，就能得到m、n满足的条件，再对应选项选出答案即可。
【解析】
已知$(m+2)^2x^2y^{n-2}$是关于$x,y$的五次单项式，需同时满足两个条件：
1. 系数不为0：
若系数为0，则原式等于0，不属于五次单项式，因此：
$(m+2)^2 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$。
2. 所有字母的指数和为5：
单项式的次数是所有字母的指数之和，x的指数为2，y的指数为$n-2$，因此：
$2 + (n-2) = 5$
计算得：$n = 5$。
综上，m、n满足的条件是$n=5,m≠-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是单项式相关概念的基础应用题，解题的易错点是容易遗漏“单项式系数不能为0”的隐含条件，只有同时满足次数要求和系数不为0两个条件，才能得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确单项式的两个核心要求：一是单项式的系数不能为0，否则整个式子的值为0，就不再是指定次数的单项式；二是单项式的次数是式子中所有字母的指数之和。我们只要分别根据这两个要求列等式和不等式求解，就能得到m、n满足的条件，再对应选项选出答案即可。
【解析】
已知$(m+2)^2x^2y^{n-2}$是关于$x,y$的五次单项式，需同时满足两个条件：
1. 系数不为0：
若系数为0，则原式等于0，不属于五次单项式，因此：
$(m+2)^2 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$。
2. 所有字母的指数和为5：
单项式的次数是所有字母的指数之和，x的指数为2，y的指数为$n-2$，因此：
$2 + (n-2) = 5$
计算得：$n = 5$。
综上，m、n满足的条件是$n=5,m≠-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是单项式相关概念的基础应用题，解题的易错点是容易遗漏“单项式系数不能为0”的隐含条件，只有同时满足次数要求和系数不为0两个条件，才能得到正确结果。
【难度系数】
0.7
9.若$(a+3)xy^{|a|}$是关于$x$，$y$的四次单项式，则$a$的值为（
A.$3$
B.$-3$
C.$\pm 3$
D.$\pm 4$
A
）.A.$3$
B.$-3$
C.$\pm 3$
D.$\pm 4$
答案
9.A
解析
【分析】
要解决这道题，需要牢记两个核心要求：一是单项式次数的定义，即单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数；二是单项式的系数不能为0，否则整个式子的值为0，不符合指定次数的单项式要求。解题时先根据四次单项式的次数要求列方程求出a的可能取值，再结合系数不为0的条件排除错误取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：已知$(a+3)xy^{|a|}$是关于$x$、$y$的四次单项式。
第一步：根据单项式次数的定义列方程
单项式中$x$的指数为1，$y$的指数为$|a|$，总次数为4，因此：
$1+|a|=4$
解得$|a|=3$，即$a=3$或$a=-3$。
第二步：根据单项式系数不为0的要求排除错误值
单项式的系数为$a+3$，若系数为0则原式不是四次单项式，因此：
$a+3≠0$，解得$a≠-3$。
综上，$a$的值只能为3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式的次数，单项式的系数，绝对值运算
【点评】
本题是基础易错题，解题时很容易只考虑次数要求直接选$\pm3$，忽略系数不为0的限制条件，求解这类单项式定义题要注意同时满足次数、系数两个限制条件。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需要牢记两个核心要求：一是单项式次数的定义，即单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数；二是单项式的系数不能为0，否则整个式子的值为0，不符合指定次数的单项式要求。解题时先根据四次单项式的次数要求列方程求出a的可能取值，再结合系数不为0的条件排除错误取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：已知$(a+3)xy^{|a|}$是关于$x$、$y$的四次单项式。
第一步：根据单项式次数的定义列方程
单项式中$x$的指数为1，$y$的指数为$|a|$，总次数为4，因此：
$1+|a|=4$
解得$|a|=3$，即$a=3$或$a=-3$。
第二步：根据单项式系数不为0的要求排除错误值
单项式的系数为$a+3$，若系数为0则原式不是四次单项式，因此：
$a+3≠0$，解得$a≠-3$。
综上，$a$的值只能为3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式的次数，单项式的系数，绝对值运算
【点评】
本题是基础易错题，解题时很容易只考虑次数要求直接选$\pm3$，忽略系数不为0的限制条件，求解这类单项式定义题要注意同时满足次数、系数两个限制条件。
【难度系数】
0.6
10.若单项式$\frac{1}{2}xy^{2m-1}$与单项式$-5^2x^2y^2$的次数相同，则$m=$
2
。答案
10.2
解析
【分析】
解题的核心是先明确单项式次数的定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和，常数项的指数不参与次数计算。我们先分别算出两个单项式的次数，再根据“两个单项式次数相同”这一条件列方程，最后解方程求出m的值即可。
【解析】
根据单项式次数的定义：
1. 计算单项式$-5^2x^2y^2$的次数：其中$-5^2$是常数系数，不参与次数计算，x的指数为2，y的指数为2，因此它的次数为$2+2=4$。
2. 计算单项式$\frac{1}{2}xy^{2m-1}$的次数：x的指数为1，y的指数为$2m-1$，因此它的次数为$1+(2m-1)=2m$。
3. 因为两个单项式的次数相同，所以可列方程：$2m=4$，解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
单项式的次数；一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查对单项式次数概念的掌握，解题时要注意区分单项式的系数和次数，不要将常数的指数计入次数，也不要遗漏单个字母默认的指数1，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确单项式次数的定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和，常数项的指数不参与次数计算。我们先分别算出两个单项式的次数，再根据“两个单项式次数相同”这一条件列方程，最后解方程求出m的值即可。
【解析】
根据单项式次数的定义：
1. 计算单项式$-5^2x^2y^2$的次数：其中$-5^2$是常数系数，不参与次数计算，x的指数为2，y的指数为2，因此它的次数为$2+2=4$。
2. 计算单项式$\frac{1}{2}xy^{2m-1}$的次数：x的指数为1，y的指数为$2m-1$，因此它的次数为$1+(2m-1)=2m$。
3. 因为两个单项式的次数相同，所以可列方程：$2m=4$，解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
单项式的次数；一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查对单项式次数概念的掌握，解题时要注意区分单项式的系数和次数，不要将常数的指数计入次数，也不要遗漏单个字母默认的指数1，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
11.代数式 $5a^{2}bc^{3}$ 和 $7a^{3}b^{2}x$ 的共同点是
都是单项式且次数相同
.答案
11.都是单项式且次数相同
解析
【分析】
要找两个代数式的共同点，我们可以分两步思考：第一步先回忆单项式的定义，判断两个代数式的类型；第二步回忆单项式次数的计算方法，分别计算两个代数式的次数，再对比特征即可。首先判断两个式子是否符合单项式“数与字母乘积组成”的特征，再计算所有字母的指数和得到次数，对比二者的相同点即可。
【解析】
1. 判定代数式类型：根据单项式的定义，由数和字母的乘积组成的代数式叫做单项式。
代数式$5a^{2}bc^{3}$是数字5与字母$a^2、b、c^3$的乘积，$7a^{3}b^{2}x$是数字7与字母$a^3、b^2、x$的乘积，二者都符合单项式的定义，均为单项式。
2. 计算单项式的次数：单项式的次数是式子中所有字母的指数之和（指数为1的字母省略不写，计算时不能遗漏）。
$5a^{2}bc^{3}$的次数：$a$的指数为2，$b$的指数为1，$c$的指数为3，总次数为$2+1+3=6$；
$7a^{3}b^{2}x$的次数：$a$的指数为3，$b$的指数为2，$x$的指数为1，总次数为$3+2+1=6$。
综上，两个代数式的共同点是都是单项式且次数相同。
【答案】
都是单项式且次数相同
【知识点】
单项式的定义；单项式的次数
【点评】
本题考查单项式的基础概念，解题核心是准确掌握单项式的判定方法和次数计算规则，计算次数时要注意不要遗漏指数为1的字母。
【难度系数】
0.8
要找两个代数式的共同点，我们可以分两步思考：第一步先回忆单项式的定义，判断两个代数式的类型；第二步回忆单项式次数的计算方法，分别计算两个代数式的次数，再对比特征即可。首先判断两个式子是否符合单项式“数与字母乘积组成”的特征，再计算所有字母的指数和得到次数，对比二者的相同点即可。
【解析】
1. 判定代数式类型：根据单项式的定义，由数和字母的乘积组成的代数式叫做单项式。
代数式$5a^{2}bc^{3}$是数字5与字母$a^2、b、c^3$的乘积，$7a^{3}b^{2}x$是数字7与字母$a^3、b^2、x$的乘积，二者都符合单项式的定义，均为单项式。
2. 计算单项式的次数：单项式的次数是式子中所有字母的指数之和（指数为1的字母省略不写，计算时不能遗漏）。
$5a^{2}bc^{3}$的次数：$a$的指数为2，$b$的指数为1，$c$的指数为3，总次数为$2+1+3=6$；
$7a^{3}b^{2}x$的次数：$a$的指数为3，$b$的指数为2，$x$的指数为1，总次数为$3+2+1=6$。
综上，两个代数式的共同点是都是单项式且次数相同。
【答案】
都是单项式且次数相同
【知识点】
单项式的定义；单项式的次数
【点评】
本题考查单项式的基础概念，解题核心是准确掌握单项式的判定方法和次数计算规则，计算次数时要注意不要遗漏指数为1的字母。
【难度系数】
0.8
12.同时含有字母$a,b,c$且系数为1的六次单项式按以下规则排序:先比较$a$的次数,$a$的次数高的单项式排在前面;若相同,再比较$b$的次数,$b$的次数高的单项式排在前面;若相同,最后比较$c$的次数,$c$的次数高的单项式排在前面.$a^2b^3c$排在第几位?
答案
12.按规则排序为:$a^4bc,a^3b^2c,a^3bc^2,a^2b^3c…$即$a^2b^3c$排在第4位.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确我们要找的单项式需满足3个条件：系数为1、同时含a、b、c（三个字母的次数都≥1）、所有字母次数和为6；排序规则是先按a的次数从高到低排，a次数相同再按b的次数从高到低排，b也相同再按c的次数从高到低排。解题时我们按a的次数从大到小有序枚举所有符合要求的单项式，数到目标单项式的位置即可。
【解析】
首先，设单项式中a的次数为x，b的次数为y，c的次数为z，根据题意得：x、y、z都是≥1的正整数，且x+y+z=6。
我们按a的次数从高到低枚举：
1. 当x=4时，y+z=6-4=2，满足y≥1、z≥1的解只有y=1，z=1，对应单项式为$a^4bc$，这是第1个；
2. 当x=3时，y+z=6-3=3，按y从大到小取正整数解：
y=2时z=1，对应单项式$a^3b^2c$，这是第2个；
y=1时z=2，对应单项式$a^3bc^2$，这是第3个；
3. 当x=2时，y+z=6-2=4，按y从大到小取的第一个正整数解是y=3，z=1，对应单项式$a^2b^3c$，这是第4个。
所以$a^2b^3c$排在第4位。
【答案】
第4位
【知识点】
1. 单项式的次数 2. 有序枚举法 3. 分类讨论
【点评】
本题重点考查对单项式次数概念的理解，以及有序思考的能力，解题时需严格按照给定的排序规则逐一列举，避免漏数或错序。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确我们要找的单项式需满足3个条件：系数为1、同时含a、b、c（三个字母的次数都≥1）、所有字母次数和为6；排序规则是先按a的次数从高到低排，a次数相同再按b的次数从高到低排，b也相同再按c的次数从高到低排。解题时我们按a的次数从大到小有序枚举所有符合要求的单项式，数到目标单项式的位置即可。
【解析】
首先，设单项式中a的次数为x，b的次数为y，c的次数为z，根据题意得：x、y、z都是≥1的正整数，且x+y+z=6。
我们按a的次数从高到低枚举：
1. 当x=4时，y+z=6-4=2，满足y≥1、z≥1的解只有y=1，z=1，对应单项式为$a^4bc$，这是第1个；
2. 当x=3时，y+z=6-3=3，按y从大到小取正整数解：
y=2时z=1，对应单项式$a^3b^2c$，这是第2个；
y=1时z=2，对应单项式$a^3bc^2$，这是第3个；
3. 当x=2时，y+z=6-2=4，按y从大到小取的第一个正整数解是y=3，z=1，对应单项式$a^2b^3c$，这是第4个。
所以$a^2b^3c$排在第4位。
【答案】
第4位
【知识点】
1. 单项式的次数 2. 有序枚举法 3. 分类讨论
【点评】
本题重点考查对单项式次数概念的理解，以及有序思考的能力，解题时需严格按照给定的排序规则逐一列举，避免漏数或错序。
【难度系数】
0.6
13.按要求解答问题.
(1)写出所有系数为1,次数为4,仅含有x,y,z三个字母的单项式.
(2)写出所有系数为1,次数为5,仅含有x,y,z三个字母的单项式.
(3)系数为1,次数为6,仅含有x,y,z三个字母的单项式有多少个?
(4)系数为1,次数为100,仅含有x,y,z三个字母的单项式有多少个?
(1)写出所有系数为1,次数为4,仅含有x,y,z三个字母的单项式.
(2)写出所有系数为1,次数为5,仅含有x,y,z三个字母的单项式.
(3)系数为1,次数为6,仅含有x,y,z三个字母的单项式有多少个?
(4)系数为1,次数为100,仅含有x,y,z三个字母的单项式有多少个?
答案
13.(1)$x^2yz,xy^2z,xyz^2$.
(2)$x^3yz,xy^3z,xyz^3,x^2y^2z,x^2yz^2,xy^2z^2$.
(3)$1+2+3+4=10$.
(4)$1+2+3+…+97+98=4\ 851$.
(2)$x^3yz,xy^3z,xyz^3,x^2y^2z,x^2yz^2,xy^2z^2$.
(3)$1+2+3+4=10$.
(4)$1+2+3+…+97+98=4\ 851$.
解析
【分析】
解决本题的核心是先明确单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，题目要求单项式仅含x、y、z三个字母，说明三个字母都必须出现，即每个字母的指数都是大于等于1的正整数，且系数固定为1，因此只需找到所有满足“三个正整数的和等于单项式次数”的指数组合即可。对于计数类问题，可固定其中一个字母的指数，依次枚举剩余两个字母的可能取值，累加总个数即可。
【解析】
(1) 要求单项式次数为4，设x、y、z的指数分别为a、b、c，则$a+b+c=4$，且a、b、c均为≥1的正整数。
将4拆分为3个正整数的和，只有2+1+1这一种拆分方式，对应指数分配为：其中一个字母指数为2，另外两个为1，因此可得到对应单项式。
(2) 要求单项式次数为5，即$a+b+c=5$，a、b、c均为≥1的正整数。
拆分方式有两种：①3+1+1：其中一个字母指数为3，另外两个为1；②2+2+1：其中一个字母指数为1，另外两个为2，分别对应不同的单项式。
(3) 要求单项式次数为6，即$a+b+c=6$，a、b、c均为≥1的正整数，按a的取值分类计数：
当a=1时，$b+c=5$，b可取1~4，共4种情况；
当a=2时，$b+c=4$，b可取1~3，共3种情况；
当a=3时，$b+c=3$，b可取1~2，共2种情况；
当a=4时，$b+c=2$，b只能取1，共1种情况；
a≥5时，$b+c≤1$，不存在符合要求的正整数b、c，总个数为4+3+2+1=10。
(4) 要求单项式次数为100，即$a+b+c=100$，a、b、c均为≥1的正整数，按a的取值分类计数：
当a=1时，$b+c=99$，b可取1~98，共98种情况；
当a=2时，$b+c=98$，b可取1~97，共97种情况；
……
当a=98时，$b+c=2$，b只能取1，共1种情况；
总个数为$1+2+3+\dots+98=\frac{(1+98)×98}{2}=4851$。
【答案】
(1)$x^2yz,xy^2z,xyz^2$
(2)$x^3yz,xy^3z,xyz^3,x^2y^2z,x^2yz^2,xy^2z^2$
(3)$10$
(4)$4851$
【知识点】
单项式的次数，分类枚举，等差数列求和
【点评】
本题结合单项式的基本概念考查有序枚举的计数方法，解题时需注意“仅含有x,y,z三个字母”的要求，即三个字母都必须出现，指数不能为0，通过固定变量有序枚举可避免计数时重复或遗漏，最后一问需掌握等差数列求和的计算方法。
【难度系数】
0.65
解决本题的核心是先明确单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，题目要求单项式仅含x、y、z三个字母，说明三个字母都必须出现，即每个字母的指数都是大于等于1的正整数，且系数固定为1，因此只需找到所有满足“三个正整数的和等于单项式次数”的指数组合即可。对于计数类问题，可固定其中一个字母的指数，依次枚举剩余两个字母的可能取值，累加总个数即可。
【解析】
(1) 要求单项式次数为4，设x、y、z的指数分别为a、b、c，则$a+b+c=4$，且a、b、c均为≥1的正整数。
将4拆分为3个正整数的和，只有2+1+1这一种拆分方式，对应指数分配为：其中一个字母指数为2，另外两个为1，因此可得到对应单项式。
(2) 要求单项式次数为5，即$a+b+c=5$，a、b、c均为≥1的正整数。
拆分方式有两种：①3+1+1：其中一个字母指数为3，另外两个为1；②2+2+1：其中一个字母指数为1，另外两个为2，分别对应不同的单项式。
(3) 要求单项式次数为6，即$a+b+c=6$，a、b、c均为≥1的正整数，按a的取值分类计数：
当a=1时，$b+c=5$，b可取1~4，共4种情况；
当a=2时，$b+c=4$，b可取1~3，共3种情况；
当a=3时，$b+c=3$，b可取1~2，共2种情况；
当a=4时，$b+c=2$，b只能取1，共1种情况；
a≥5时，$b+c≤1$，不存在符合要求的正整数b、c，总个数为4+3+2+1=10。
(4) 要求单项式次数为100，即$a+b+c=100$，a、b、c均为≥1的正整数，按a的取值分类计数：
当a=1时，$b+c=99$，b可取1~98，共98种情况；
当a=2时，$b+c=98$，b可取1~97，共97种情况；
……
当a=98时，$b+c=2$，b只能取1，共1种情况；
总个数为$1+2+3+\dots+98=\frac{(1+98)×98}{2}=4851$。
【答案】
(1)$x^2yz,xy^2z,xyz^2$
(2)$x^3yz,xy^3z,xyz^3,x^2y^2z,x^2yz^2,xy^2z^2$
(3)$10$
(4)$4851$
【知识点】
单项式的次数，分类枚举，等差数列求和
【点评】
本题结合单项式的基本概念考查有序枚举的计数方法，解题时需注意“仅含有x,y,z三个字母”的要求，即三个字母都必须出现，指数不能为0，通过固定变量有序枚举可避免计数时重复或遗漏，最后一问需掌握等差数列求和的计算方法。
【难度系数】
0.65
