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9. 在平面直角坐标系中,下列各点关于 y 轴对称的点在第一象限的是(
A.$(3,2)$
B.$(3,-2)$
C.$(-3,2)$
D.$(-3,-2)$
C
)。A.$(3,2)$
B.$(3,-2)$
C.$(-3,2)$
D.$(-3,-2)$
答案
9. C
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确两个核心知识点：①关于y轴对称的点的坐标变化规律；②第一象限内点的坐标符号特征。我们可以通过两种思路解题：思路一：逐一计算每个选项中点关于y轴的对称点，再判断哪个对称点落在第一象限；思路二：反向推导，若某点的对称点在第一象限，则对称点横、纵坐标均为正，结合对称规律反推原点点的横坐标为负、纵坐标为正，直接匹配选项即可。
【解析】
首先回忆相关规律：
1. 关于y轴对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于y轴对称的点的坐标为$(-x,y)$，即纵坐标不变，横坐标变为相反数；
2. 第一象限内点的坐标特征：横坐标＞0，纵坐标＞0。
我们逐一计算各选项点的对称点并判断：
A. 点$(3,2)$关于y轴对称的点为$(-3,2)$，在第二象限，不符合要求；
B. 点$(3,-2)$关于y轴对称的点为$(-3,-2)$，在第三象限，不符合要求；
C. 点$(-3,2)$关于y轴对称的点为$(3,2)$，在第一象限，符合要求；
D. 点$(-3,-2)$关于y轴对称的点为$(3,-2)$，在第四象限，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是坐标与轴对称变化的基础考题，核心考查对基础规律的记忆和应用，只要熟练掌握对称点的坐标变化规律和各象限点的符号特点，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先明确两个核心知识点：①关于y轴对称的点的坐标变化规律；②第一象限内点的坐标符号特征。我们可以通过两种思路解题：思路一：逐一计算每个选项中点关于y轴的对称点，再判断哪个对称点落在第一象限；思路二：反向推导，若某点的对称点在第一象限，则对称点横、纵坐标均为正，结合对称规律反推原点点的横坐标为负、纵坐标为正，直接匹配选项即可。
【解析】
首先回忆相关规律：
1. 关于y轴对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于y轴对称的点的坐标为$(-x,y)$，即纵坐标不变，横坐标变为相反数；
2. 第一象限内点的坐标特征：横坐标＞0，纵坐标＞0。
我们逐一计算各选项点的对称点并判断：
A. 点$(3,2)$关于y轴对称的点为$(-3,2)$，在第二象限，不符合要求；
B. 点$(3,-2)$关于y轴对称的点为$(-3,-2)$，在第三象限，不符合要求；
C. 点$(-3,2)$关于y轴对称的点为$(3,2)$，在第一象限，符合要求；
D. 点$(-3,-2)$关于y轴对称的点为$(3,-2)$，在第四象限，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是坐标与轴对称变化的基础考题，核心考查对基础规律的记忆和应用，只要熟练掌握对称点的坐标变化规律和各象限点的符号特点，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
10. 小红同学误将点A的横、纵坐标次序颠倒，写成了$(a,b)$，另一学生误将点B的坐标写成了其关于y轴对称的点的坐标$(-b,-a)$，则A，B两点原来的位置关系是(
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.A和B重合
D.以上都不对
A
)。A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.A和B重合
D.以上都不对
答案
10. A
解析
【分析】
解题时首先需要还原出A、B两点的正确原始坐标，再根据坐标特征判断两点的位置关系：第一步，根据“点A横纵坐标次序颠倒得到$(a,b)$”，交换横纵坐标即可得到A的正确坐标；第二步，根据“点B关于y轴对称的点是$(-b,-a)$”，结合关于y轴对称的点的坐标变化规律反向推导得到B的正确坐标；最后对比A、B的坐标，结合轴对称的坐标特征判断对称关系即可。
【解析】
1. 求点A的正确坐标：
已知点A的横、纵坐标次序颠倒后为$(a,b)$，因此将横、纵坐标交换，可得A的原始坐标为$\boldsymbol{(b,a)}$。
2. 求点B的正确坐标：
设点B的原始坐标为$(x,y)$，关于y轴对称的点的坐标特征是“纵坐标不变，横坐标变为相反数”，因此点B关于y轴对称的点坐标为$(-x,y)$。
由题可知该对称点为$(-b,-a)$，因此可得：
$-x=-b$，解得$x=b$；$y=-a$，即B的原始坐标为$\boldsymbol{(b,-a)}$。
3. 判断A、B的位置关系：
对比A$(b,a)$和B$(b,-a)$，两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，符合“关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数”的特征，因此A、B两点关于x轴对称。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题解题核心是先根据错误表述反向推导得到两点的原始坐标，再结合轴对称的坐标变化规律判断位置关系，只要熟练掌握坐标轴对称的坐标特征就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要还原出A、B两点的正确原始坐标，再根据坐标特征判断两点的位置关系：第一步，根据“点A横纵坐标次序颠倒得到$(a,b)$”，交换横纵坐标即可得到A的正确坐标；第二步，根据“点B关于y轴对称的点是$(-b,-a)$”，结合关于y轴对称的点的坐标变化规律反向推导得到B的正确坐标；最后对比A、B的坐标，结合轴对称的坐标特征判断对称关系即可。
【解析】
1. 求点A的正确坐标：
已知点A的横、纵坐标次序颠倒后为$(a,b)$，因此将横、纵坐标交换，可得A的原始坐标为$\boldsymbol{(b,a)}$。
2. 求点B的正确坐标：
设点B的原始坐标为$(x,y)$，关于y轴对称的点的坐标特征是“纵坐标不变，横坐标变为相反数”，因此点B关于y轴对称的点坐标为$(-x,y)$。
由题可知该对称点为$(-b,-a)$，因此可得：
$-x=-b$，解得$x=b$；$y=-a$，即B的原始坐标为$\boldsymbol{(b,-a)}$。
3. 判断A、B的位置关系：
对比A$(b,a)$和B$(b,-a)$，两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，符合“关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数”的特征，因此A、B两点关于x轴对称。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题解题核心是先根据错误表述反向推导得到两点的原始坐标，再结合轴对称的坐标变化规律判断位置关系，只要熟练掌握坐标轴对称的坐标特征就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在平面直角坐标系中,△OBC的顶点O,B的坐标分别为(0,0),(-6,0),且∠OCB=90°,OC=BC,则点C关于y轴对称的点的坐标是(
A.(3,3)
B.(-3,3)
C.(-3,-3)
$D.(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$
A
)。A.(3,3)
B.(-3,3)
C.(-3,-3)
$D.(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$
答案
11. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由∠OCB=90°且OC=BC，可知△OBC是等腰直角三角形，OB为斜边。第一步先求OB的长度，根据O、B两点坐标可得OB长为6；第二步利用等腰直角三角形“三线合一”和“斜边上的高等于斜边的一半”的性质，过C作x轴的垂线，可确定垂足是OB的中点，同时得到C点的纵坐标，进而求出C点坐标；第三步根据关于y轴对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标互为相反数），即可求出对称点坐标。
【解析】
过点C作CD⊥x轴于点D：
1. 求OB长度：已知O(0,0)，B(-6,0)，因此OB=|0 - (-6)|=6。
2. 分析△OBC的性质：
∵∠OCB=90°，OC=BC，
∴△OBC是等腰直角三角形。
又
∵CD⊥OB，根据等腰三角形三线合一，D为OB中点，且等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，因此CD=1/2 OB=3，OD=1/2 OB=3。
3. 求点C坐标：D点在x轴负半轴，坐标为(-3,0)，CD垂直x轴向上，因此C点坐标为(-3,3)。
4. 求对称点坐标：关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此C(-3,3)关于y轴对称的点坐标为(3,3)。
【答案】
A
【知识点】
等腰直角三角形的性质；关于y轴对称的坐标变化
【点评】
本题将等腰直角三角形的性质和平面直角坐标系的坐标变化结合考查，难度较低，解题的核心是准确求出点C的坐标，只要熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先由∠OCB=90°且OC=BC，可知△OBC是等腰直角三角形，OB为斜边。第一步先求OB的长度，根据O、B两点坐标可得OB长为6；第二步利用等腰直角三角形“三线合一”和“斜边上的高等于斜边的一半”的性质，过C作x轴的垂线，可确定垂足是OB的中点，同时得到C点的纵坐标，进而求出C点坐标；第三步根据关于y轴对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标互为相反数），即可求出对称点坐标。
【解析】
过点C作CD⊥x轴于点D：
1. 求OB长度：已知O(0,0)，B(-6,0)，因此OB=|0 - (-6)|=6。
2. 分析△OBC的性质：
∵∠OCB=90°，OC=BC，
∴△OBC是等腰直角三角形。
又
∵CD⊥OB，根据等腰三角形三线合一，D为OB中点，且等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，因此CD=1/2 OB=3，OD=1/2 OB=3。
3. 求点C坐标：D点在x轴负半轴，坐标为(-3,0)，CD垂直x轴向上，因此C点坐标为(-3,3)。
4. 求对称点坐标：关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此C(-3,3)关于y轴对称的点坐标为(3,3)。
【答案】
A
【知识点】
等腰直角三角形的性质；关于y轴对称的坐标变化
【点评】
本题将等腰直角三角形的性质和平面直角坐标系的坐标变化结合考查，难度较低，解题的核心是准确求出点C的坐标，只要熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线$l$过点$M(3,0)$，且平行于$y$轴。如果$△ ABC$的三个顶点分别是$A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ ABC$关于$y$轴对称的图形是$△ A_1B_1C_1$，其中$A,B,C$的对应点分别是$A_1,B_1,C_1$，$△ A_1B_1C_1$关于直线$l$对称的图形是$△ A_2B_2C_2$，其中$A_1,B_1,C_1$的对应点分别是$A_2,B_2,C_2$，求$△ A_2B_2C_2$三个顶点的坐标。
答案
12. 解:$△A_2B_2C_2$三个顶点分别为$A_2(4,0),B_2(5,0),C_2(5,2)$。
解析
【分析】
解题分两步推进：第一步，依据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，先算出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁的三个顶点坐标；第二步，先明确直线l是x=3（过(3,0)且平行于y轴的直线上所有点横坐标均为3），再根据“关于直线x=a对称的点，纵坐标不变，两点横坐标的平均数等于a”的规律，计算出△A₁B₁C₁关于直线l对称的△A₂B₂C₂的顶点坐标即可。
【解析】
1. 计算△A₁B₁C₁的顶点坐标
关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，已知A(-2,0)、B(-1,0)、C(-1,2)，因此可得：
$A_1(2,0)$，$B_1(1,0)$，$C_1(1,2)$。
2. 确定直线l的表达式
直线l过点M(3,0)且平行于y轴，因此直线l的表达式为$x=3$。
3. 计算△A₂B₂C₂的顶点坐标
关于直线$x=3$对称的点纵坐标不变，对称点的横坐标为$6-x$（由$\frac{x+x'}{2}=3$推导得$x'=6-x$）：
点$A_1(2,0)$的对称点$A_2$横坐标为$6-2=4$，纵坐标为0，即$A_2(4,0)$；
点$B_1(1,0)$的对称点$B_2$横坐标为$6-1=5$，纵坐标为0，即$B_2(5,0)$；
点$C_1(1,2)$的对称点$C_2$横坐标为$6-1=5$，纵坐标为2，即$C_2(5,2)$。
【答案】
$A_2(4,0)$，$B_2(5,0)$，$C_2(5,2)$
【知识点】
关于y轴对称的坐标规律；关于平行y轴的直线对称的坐标规律
【点评】
本题属于轴对称坐标变换的基础题型，需要分步完成两次对称变换，牢记不同对称形式下的坐标变化规则、细心计算即可得出正确结果，解题时需注意横坐标变换时不要混淆符号。
【难度系数】
0.8
解题分两步推进：第一步，依据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，先算出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁的三个顶点坐标；第二步，先明确直线l是x=3（过(3,0)且平行于y轴的直线上所有点横坐标均为3），再根据“关于直线x=a对称的点，纵坐标不变，两点横坐标的平均数等于a”的规律，计算出△A₁B₁C₁关于直线l对称的△A₂B₂C₂的顶点坐标即可。
【解析】
1. 计算△A₁B₁C₁的顶点坐标
关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，已知A(-2,0)、B(-1,0)、C(-1,2)，因此可得：
$A_1(2,0)$，$B_1(1,0)$，$C_1(1,2)$。
2. 确定直线l的表达式
直线l过点M(3,0)且平行于y轴，因此直线l的表达式为$x=3$。
3. 计算△A₂B₂C₂的顶点坐标
关于直线$x=3$对称的点纵坐标不变，对称点的横坐标为$6-x$（由$\frac{x+x'}{2}=3$推导得$x'=6-x$）：
点$A_1(2,0)$的对称点$A_2$横坐标为$6-2=4$，纵坐标为0，即$A_2(4,0)$；
点$B_1(1,0)$的对称点$B_2$横坐标为$6-1=5$，纵坐标为0，即$B_2(5,0)$；
点$C_1(1,2)$的对称点$C_2$横坐标为$6-1=5$，纵坐标为2，即$C_2(5,2)$。
【答案】
$A_2(4,0)$，$B_2(5,0)$，$C_2(5,2)$
【知识点】
关于y轴对称的坐标规律；关于平行y轴的直线对称的坐标规律
【点评】
本题属于轴对称坐标变换的基础题型，需要分步完成两次对称变换，牢记不同对称形式下的坐标变化规则、细心计算即可得出正确结果，解题时需注意横坐标变换时不要混淆符号。
【难度系数】
0.8
13.【综合与实践】如图，已知A，B两村庄的坐标分别为(2,2)，(7,4)，一辆汽车从原点O出发在x轴上行驶。
(1)汽车行驶到什么位置时离A村最近？写出这点的坐标；
(2)汽车行驶到什么位置时离B村最近？写出这点的坐标；
(3)汽车行驶到什么位置时，到两村距离的和最短？请在图中画出这个位置，并求此时汽车到两村距离的和。
(1)汽车行驶到什么位置时离A村最近？写出这点的坐标；
(2)汽车行驶到什么位置时离B村最近？写出这点的坐标；
(3)汽车行驶到什么位置时，到两村距离的和最短？请在图中画出这个位置，并求此时汽车到两村距离的和。
答案
13. 解:(1)在x轴上离A村最近的点是过点A所作的x轴的垂线的垂足，即点(2,0)。
(2)同理，离B村最近的点是(7,0)。
(3)如图，作点A关于x轴对称的点C，连接BC，交x轴于点D。汽车行驶到点D时，到两村距离的和最短。最短距离就是线段BC的长
。点A关于x轴对称的点C的坐标是(2,-2)，过点B作y轴的平行线BF，过点C作x轴的平行线CF，与BF相交于点F，则$△BCF$为直角三角形，其中$BF=4+2=6,CF=7-2=5$，所以$BC=\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{61}$，所以此时汽车到两村距离的和为$\sqrt{61}$。
解析
【分析】
(1) 要找x轴上离A村最近的点，根据“垂线段最短”的性质，点到直线的所有连线中垂线段最短，所以过A向x轴作垂线，垂足就是所求点，该点横坐标与A点相同，纵坐标为0。
(2) 和第(1)问思路一致，过B向x轴作垂线，垂足就是离B村最近的点，横坐标与B点相同，纵坐标为0。
(3) 这是典型的直线同侧两定点到直线上动点距离和最短的问题，可利用轴对称的性质，作其中一个定点关于x轴的对称点，将同侧点转化为异侧点，再根据“两点之间线段最短”，连接对称点和另一个定点，与x轴的交点就是所求位置，此时距离和等于两点连线的长度，最后用勾股定理计算该线段长度即可。
【解析】
(1) 根据垂线段最短的性质，过点A(2,2)向x轴作垂线，垂足横坐标和A点横坐标一致，纵坐标为0，因此所求点坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$。
(2) 同理，过点B(7,4)向x轴作垂线，垂足横坐标和B点横坐标一致，纵坐标为0，因此所求点坐标为$\boldsymbol{(7,0)}$。
(3) ① 作点A关于x轴的对称点C，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得C点坐标为$(2,-2)$；
② 连接BC交x轴于点D，由轴对称性质可得$AD=CD$，因此$AD+BD=CD+BD=BC$，根据两点之间线段最短，此时$AD+BD$的和最小，即点D为所求位置；
③ 计算BC的长度：过B作y轴的平行线BF，过C作x轴的平行线CF，两线交于F点，$△ BCF$为直角三角形，其中水平边长$CF=7-2=5$，竖直边长$BF=4-(-2)=6$，由勾股定理可得$BC=\sqrt{CF^2+BF^2}=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$，即汽车到两村距离的和为$\sqrt{61}$。
【答案】
(1)在x轴上离A村最近的点是过点A所作的x轴的垂线的垂足，即点(2,0)。
(2)同理，离B村最近的点是(7,0)。
(3)如图，作点A关于x轴对称的点C，连接BC，交x轴于点D。汽车行驶到点D时，到两村距离的和最短。最短距离就是线段BC的长。
点A关于x轴对称的点C的坐标是(2,-2)，过点B作y轴的平行线BF，过点C作x轴的平行线CF，与BF相交于点F，则$△BCF$为直角三角形，其中$BF=4+2=6,CF=7-2=5$，所以$BC=\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{61}$，所以此时汽车到两村距离的和为$\sqrt{61}$。
【知识点】
垂线段最短；轴对称最短路径；勾股定理
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查几何性质的应用，前两问基础直观，第三问是轴对称最短路径的典型题型，既需要学生掌握相关几何性质，又需要具备一定的作图和计算能力，是坐标系与几何结合的常规考查题。
【难度系数】
0.7
(1) 要找x轴上离A村最近的点，根据“垂线段最短”的性质，点到直线的所有连线中垂线段最短，所以过A向x轴作垂线，垂足就是所求点，该点横坐标与A点相同，纵坐标为0。
(2) 和第(1)问思路一致，过B向x轴作垂线，垂足就是离B村最近的点，横坐标与B点相同，纵坐标为0。
(3) 这是典型的直线同侧两定点到直线上动点距离和最短的问题，可利用轴对称的性质，作其中一个定点关于x轴的对称点，将同侧点转化为异侧点，再根据“两点之间线段最短”，连接对称点和另一个定点，与x轴的交点就是所求位置，此时距离和等于两点连线的长度，最后用勾股定理计算该线段长度即可。
【解析】
(1) 根据垂线段最短的性质，过点A(2,2)向x轴作垂线，垂足横坐标和A点横坐标一致，纵坐标为0，因此所求点坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$。
(2) 同理，过点B(7,4)向x轴作垂线，垂足横坐标和B点横坐标一致，纵坐标为0，因此所求点坐标为$\boldsymbol{(7,0)}$。
(3) ① 作点A关于x轴的对称点C，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得C点坐标为$(2,-2)$；
② 连接BC交x轴于点D，由轴对称性质可得$AD=CD$，因此$AD+BD=CD+BD=BC$，根据两点之间线段最短，此时$AD+BD$的和最小，即点D为所求位置；
③ 计算BC的长度：过B作y轴的平行线BF，过C作x轴的平行线CF，两线交于F点，$△ BCF$为直角三角形，其中水平边长$CF=7-2=5$，竖直边长$BF=4-(-2)=6$，由勾股定理可得$BC=\sqrt{CF^2+BF^2}=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$，即汽车到两村距离的和为$\sqrt{61}$。
【答案】
(1)在x轴上离A村最近的点是过点A所作的x轴的垂线的垂足，即点(2,0)。
(2)同理，离B村最近的点是(7,0)。
(3)如图，作点A关于x轴对称的点C，连接BC，交x轴于点D。汽车行驶到点D时，到两村距离的和最短。最短距离就是线段BC的长
。点A关于x轴对称的点C的坐标是(2,-2)，过点B作y轴的平行线BF，过点C作x轴的平行线CF，与BF相交于点F，则$△BCF$为直角三角形，其中$BF=4+2=6,CF=7-2=5$，所以$BC=\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{61}$，所以此时汽车到两村距离的和为$\sqrt{61}$。
【知识点】
垂线段最短；轴对称最短路径；勾股定理
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查几何性质的应用，前两问基础直观，第三问是轴对称最短路径的典型题型，既需要学生掌握相关几何性质，又需要具备一定的作图和计算能力，是坐标系与几何结合的常规考查题。
【难度系数】
0.7
