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1.一个等腰三角形的一个角是30°，它的一腰上的高与底边的夹角是(
A.15°
B.60°
C.15°或60°
D.不确定.
C
).A.15°
B.60°
C.15°或60°
D.不确定.
答案
C
解析
分两种情况讨论：
1. 若30°为顶角，则底角为(180°-30°)/2=75°。腰上的高与底边的夹角=90°-底角=90°-75°=15°；
2. 若30°为底角，则顶角为180°-2×30°=120°。此时腰上的高在三角形外部，与底边的夹角=90°-底角=90°-30°=60°。
综上，夹角为15°或60°。
1. 若30°为顶角，则底角为(180°-30°)/2=75°。腰上的高与底边的夹角=90°-底角=90°-75°=15°；
2. 若30°为底角，则顶角为180°-2×30°=120°。此时腰上的高在三角形外部，与底边的夹角=90°-底角=90°-30°=60°。
综上，夹角为15°或60°。
2.如图,把一个等边三角形纸片剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是
(
A.300°
B.180°
C.240°
D.120°
(
C
).A.300°
B.180°
C.240°
D.120°
答案
C
解析
由题意可知，原等边三角形每个内角为$60°$。剪去一个角后形成的四边形有两个新角$\angle \alpha$和$\angle \beta$，以及两个原三角形的内角，每个为$60°$。
四边形的内角和为$360°$，
所以$\angle \alpha + \angle \beta + 60° + 60° = 360°$，
即$\angle \alpha + \angle \beta = 240°$。
四边形的内角和为$360°$，
所以$\angle \alpha + \angle \beta + 60° + 60° = 360°$，
即$\angle \alpha + \angle \beta = 240°$。
3.已知三角形三边的长a,b,c满足式子(a−b)²+(b−c)²+lc−al=0,那么这个三角形是
(
A.钝角三角形
B.等边三角形
C.等腰非等边三角形
D.以上都不对
(
B
).A.钝角三角形
B.等边三角形
C.等腰非等边三角形
D.以上都不对
答案
B
解析
由于$(a - b) ^ 2 \geq 0$，$(b - c) ^ 2 \geq 0$，$|c - a| \geq 0$（绝对值非负），
而$(a - b) ^ 2 + (b - c) ^ 2 + |c - a| = 0$，
根据非负数性质，若几个非负数之和为$0$，则这几个非负数都为$0$，可得：
$\begin{cases}a - b = 0, \\b - c = 0, \\c - a = 0.\end{cases}$
解得$a = b = c$，所以这个三角形是等边三角形。
而$(a - b) ^ 2 + (b - c) ^ 2 + |c - a| = 0$，
根据非负数性质，若几个非负数之和为$0$，则这几个非负数都为$0$，可得：
$\begin{cases}a - b = 0, \\b - c = 0, \\c - a = 0.\end{cases}$
解得$a = b = c$，所以这个三角形是等边三角形。
4.在△ABC中,AB=AC,下列推理错误的是(
A.如果AD是中线,那么AD⊥BC,∠BAD=∠DAC
B.如果BD是高,那么BD是角平分线
C.如果AD是高,那么∠BAD=∠DAC、BD=DC
D.如果AD是角平分线,那么AD也是BC边的垂直平分线
B
).A.如果AD是中线,那么AD⊥BC,∠BAD=∠DAC
B.如果BD是高,那么BD是角平分线
C.如果AD是高,那么∠BAD=∠DAC、BD=DC
D.如果AD是角平分线,那么AD也是BC边的垂直平分线
答案
B
解析
在△ABC中，AB=AC，故△ABC为等腰三角形，底边为BC，顶角为∠BAC，底角为∠ABC和∠ACB。
选项A：AD是中线，根据等腰三角形“三线合一”性质，中线AD同时也是高和角平分线，所以AD⊥BC，∠BAD=∠DAC，推理正确。
选项B：BD是高，高不一定是角平分线。只有当△ABC是等边三角形时，高才同时是角平分线，而题目仅给出AB=AC，为等腰三角形，底角的高不一定平分顶角，推理错误。
选项C：AD是高，根据“三线合一”，高AD同时也是中线和角平分线，所以∠BAD=∠DAC、BD=DC，推理正确。
选项D：AD是角平分线，根据“三线合一”，角平分线AD同时也是中线和高，即AD垂直平分BC，推理正确。
选项A：AD是中线，根据等腰三角形“三线合一”性质，中线AD同时也是高和角平分线，所以AD⊥BC，∠BAD=∠DAC，推理正确。
选项B：BD是高，高不一定是角平分线。只有当△ABC是等边三角形时，高才同时是角平分线，而题目仅给出AB=AC，为等腰三角形，底角的高不一定平分顶角，推理错误。
选项C：AD是高，根据“三线合一”，高AD同时也是中线和角平分线，所以∠BAD=∠DAC、BD=DC，推理正确。
选项D：AD是角平分线，根据“三线合一”，角平分线AD同时也是中线和高，即AD垂直平分BC，推理正确。
5.如图,点C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC,BC为边在AB的同一侧作等
边△ACD和等边△BCE,连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,有3个结论:①AE=BD;
②CN=CM;③MN//AB.其中,正确结论的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
边△ACD和等边△BCE,连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,有3个结论:①AE=BD;
②CN=CM;③MN//AB.其中,正确结论的个数是(
D
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案
D
解析
①证△ACE≌△DCB：
∵△ACD和△BCE为等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB。由SAS得△ACE≌△DCB，
∴AE=BD，①正确。
②证△CMA≌△CND：由①知∠CAE=∠CDB，∠ACM=∠DCN=60°（∠DCE=180°-60°-60°=60°），AC=DC，由ASA得△CMA≌△CND，
∴CM=CN，②正确。
③证MN//AB：
∵CM=CN，∠DCE=60°，
∴△CMN为等边三角形，∠CMN=60°=∠ACD，
∴MN//AB（内错角相等），③正确。
∵△ACD和△BCE为等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB。由SAS得△ACE≌△DCB，
∴AE=BD，①正确。
②证△CMA≌△CND：由①知∠CAE=∠CDB，∠ACM=∠DCN=60°（∠DCE=180°-60°-60°=60°），AC=DC，由ASA得△CMA≌△CND，
∴CM=CN，②正确。
③证MN//AB：
∵CM=CN，∠DCE=60°，
∴△CMN为等边三角形，∠CMN=60°=∠ACD，
∴MN//AB（内错角相等），③正确。
6.已知等腰三角形的一边长为5cm,另一边长为6cm,则它的周长为
16cm或17cm
.答案
当$5cm$是腰长时：
另一腰长也为$5cm$，底边长为$6cm$。
验证是否能构成三角形：根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，这里$5 + 5 ＞ 6$，$5 + 6 ＞ 5$，$6 + 5 ＞ 5$，满足条件。
计算周长：周长为$5cm + 5cm + 6cm = 16cm$。
当$5cm$是底边长时：
腰长为$6cm$，另一腰长也为$6cm$。
验证是否能构成三角形：同样根据三角形的三边关系，$6 + 6 ＞ 5$，$6 + 5 ＞ 6$，$5 + 6 ＞ 6$，满足条件。
计算周长：周长为$5cm + 6cm + 6cm = 17cm$。
故答案为：$16cm$或$17cm$。
另一腰长也为$5cm$，底边长为$6cm$。
验证是否能构成三角形：根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，这里$5 + 5 ＞ 6$，$5 + 6 ＞ 5$，$6 + 5 ＞ 5$，满足条件。
计算周长：周长为$5cm + 5cm + 6cm = 16cm$。
当$5cm$是底边长时：
腰长为$6cm$，另一腰长也为$6cm$。
验证是否能构成三角形：同样根据三角形的三边关系，$6 + 6 ＞ 5$，$6 + 5 ＞ 6$，$5 + 6 ＞ 6$，满足条件。
计算周长：周长为$5cm + 6cm + 6cm = 17cm$。
故答案为：$16cm$或$17cm$。
7.若一个等腰三角形的一内角等于50°,则其他两个内角为
50°，80°或65°，65°
.答案
7. 当50°为顶角时，底角为(180°-50°)÷2=65°，其他两角为65°，65°；当50°为底角时，顶角为180°-50°×2=80°，其他两角为50°，80°。
答案：50°，80°或65°，65°
答案：50°，80°或65°，65°
8.如图，△ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD.若AB=2,则点C到AD的
距离为
1
答案
8.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=120°。
∵CD=AC=2，
∴△ACD为等腰三角形，∠CAD=∠CDA=(180°-120°)÷2=30°。
过C作CE⊥AD于E，在Rt△ACE中，∠CAE=30°，AC=2，
∴CE=AC·sin30°=2×1/2=1。
答案：1
9.在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$AB$的垂直平分线与$AC$所在的直线相交得到的锐角为50°,则底角的
大小为
大小为
①当∠A为锐角时，AB的垂直平分线与AC边相交。设交点为E，AB中点为D，则∠ADE=90°，∠AED=50°，∠A=90°-50°=40°，底角=(180°-40°)/2=70°。
②当∠A为钝角时，AB的垂直平分线与AC延长线相交。同理∠DAE=40°，∠A=180°-40°=140°，底角=(180°-140°)/2=20°。
底角大小为70°或20°。
.②当∠A为钝角时，AB的垂直平分线与AC延长线相交。同理∠DAE=40°，∠A=180°-40°=140°，底角=(180°-140°)/2=20°。
底角大小为70°或20°。
答案
①当∠A为锐角时，AB的垂直平分线与AC边相交。设交点为E，AB中点为D，则∠ADE=90°，∠AED=50°，∠A=90°-50°=40°，底角=(180°-40°)/2=70°。
②当∠A为钝角时，AB的垂直平分线与AC延长线相交。同理∠DAE=40°，∠A=180°-40°=140°，底角=(180°-140°)/2=20°。
底角大小为70°或20°。
②当∠A为钝角时，AB的垂直平分线与AC延长线相交。同理∠DAE=40°，∠A=180°-40°=140°，底角=(180°-140°)/2=20°。
底角大小为70°或20°。
10.如图,若∠A= 15° ,AB= BC= CD=DE =EF,则2.MEF=_
答案
∵AB=BC，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°（等边对等角）。
∠CBD=∠A+∠BCA=15°+15°=30°（三角形外角等于不相邻两内角和）。
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD=30°（等边对等角）。
∠DCE=∠CBD+∠CDB=30°+30°=60°（三角形外角等于不相邻两内角和）。
∵CD=DE，
∴∠DEC=∠DCE=60°（等边对等角）。
∠EDF=∠DCE+∠DEC=60°+60°=120°（三角形外角等于不相邻两内角和）。
∵DE=EF，
∴∠DEF=∠EFD（等边对等角）。
∠DEF=(180°-∠EDF)/2=(180°-120°)/2=30°。
∠MEF=∠DEF=30°。
30°
