11.(7分)如图,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,点$A,B,C$的坐标分别为$A(1,2)$,$B(3,1)$,$C(2,3)$,先以原点$O$为位似中心在第三象限内画一个$\bigtriangleup A_1B_1C_1$,使它与$\bigtriangleup ABC$位似,且相似比为$2:1$,然后把$\bigtriangleup ABC$绕原点$O$逆时针旋转$90°$得到$\bigtriangleup A_2B_2C_2$.
(1)画出$\bigtriangleup A_1B_1C_1$,并直接写出点$A_1$的坐标.
(2)画出$\bigtriangleup A_2B_2C_2$,在旋转过程中,求点$A$到点$A_2$所经过的路径长.

(1) 因为以原点$O$为位似中心，相似比为$2:1$，且在第三象限，所以位似变换后点的坐标为原坐标乘以$-2$。点$A(1,2)$变换后$A_1$的坐标为$(1×(-2),2×(-2))=(-2,-4)$。

(2) 点$A(1,2)$绕原点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$，根据旋转规律$(x,y)\to(-y,x)$，得$A_2(-2,1)$。点$A$到$A_2$的路径为以$OA$为半径的圆弧，$OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，旋转角为$90^{\circ}$，路径长$l=\frac{90\pi×\sqrt{5}}{180}=\frac{\sqrt{5}}{2}\pi$。
(1) $A_1$的坐标为$(-2,-4)$；
(2) 路径长为$\frac{\sqrt{5}}{2}\pi$。

12.(7分)如图,小明同学用自制的直角三角形纸板$DEF$测量树的高度$AB$.他调整自己的位置,设法使斜边$DF$保持水平,并且边$DE$与点$B$在同一直线上.已知纸板的两条直角边$DE=40$cm,$EF=20$cm,测得边$DF$离地面的高度$AC=1.5$m,$CD=8$m.求树高$AB$.

解：由题意得，$\angle DEF = \angle BCD = 90°$，$\angle EDF = \angle CDB$，
$\therefore \triangle DEF \sim \triangle DCB$（两角对应相等的两个三角形相似）。
$\because DE = 40\ cm = 0.4\ m$，$EF = 20\ cm = 0.2\ m$，$CD = 8\ m$，
$\therefore \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{DE}{DC}$，即$\dfrac{0.2}{BC} = \dfrac{0.4}{8}$，
解得$BC = 4\ m$。
$\because AC = 1.5\ m$，
$\therefore AB = AC + BC = 1.5 + 4 = 5.5\ m$。
答：树高$AB$为$5.5\ m$。