6.已知抛物线$y = ax^{2}+k$与$y = 3x^{2}$的形状相同,且其顶点坐标是$(0,1)$,则其函数解析式为.

$y = 3x^{2}+1$或$y = -3x^{2}+1$

因为抛物线$y = ax^{2}+k$与$y = 3x^{2}$的形状相同，所以$|a| = 3$，即$a = \pm 3$。又因为其顶点坐标是$(0,1)$，所以$k = 1$。因此函数解析式为$y = 3x^{2}+1$或$y = -3x^{2}+1$。

7.汽车刹车后行驶的距离$s( m)$关于行驶时间$t( s)$的函数关系式是$s = 15t - 6t^{2}$,则汽车的制动距离为 $ m$.

（题目为填空题，直接填写数字结果，此处按格式要求仅输出答案数值的盒子形式，实际答案为 9.375 或其分数形式）
$\boxed{\dfrac{75}{8}} $
或
$\boxed{9.375}$

首先，制动距离即汽车刹车后到停止时所行驶的距离，此时最终速度为0，对应的时间点为速度为0的时刻。
已知位移函数为$ s(t) = 15t - 6t^2 ，$速度函数为位移函数的导数，即：
$ v(t) = \frac{ds}{dt} = 15 - 12t $令 v(t) = 0 ，解得： 15 - 12t = 0
$ t = \frac{15}{12} = 1.25 \, s $将 t = 1.25 \, s 代入位移函数 s(t) ，得：$ s(1.25) = 15 × 1.25 - 6 × (1.25)^2 $
= 18.75 - 6 × 1.5625 = 18.75 - 9.375
= 9.375 \, m 故汽车的制动距离为 9.375 \, m ，即$ \frac{75}{8} \, m 。$

8.设$A,B,C$三点分别是抛物线$y = x^{2}-4x - 5$与坐标轴的 3 个交点,则$\bigtriangleup ABC$的面积是.

（此处应填面积为15对应的选项符号，由于原题未给出选项符号，故模拟为）S（或对应实际选项如A/B/C/D等，根据实际情况填写，此处以S代指）

首先，求抛物线与$x$轴的交点，即令$y = 0$，得到方程$x^{2} - 4x - 5 = 0$。
解此方程，得到$x$的值即为交点$A$和$B$的横坐标。
解得$x_1 = -1$，$x_2 = 5$，所以，交点$A$和$B$的坐标分别为$A(-1, 0)$和$B(5, 0)$。
接着，求抛物线与$y$轴的交点，即令$x = 0$，得到$y = -5$。
所以，交点$C$的坐标为$C(0, -5)$。
根据三角形面积的计算公式，$\bigtriangleup ABC$的面积$S_{\bigtriangleup ABC}$可以表示为：
$S_{\bigtriangleup ABC} = \frac{1}{2} × AB × |y_C|$，
其中，$AB$是底，长度为$5 - (-1) = 6$，$y_C$是高，长度为$5$（取绝对值）。
代入公式，得到：
$S_{\bigtriangleup ABC} = \frac{1}{2} × 6 × 5 = 15$。

9.已知实数$x,y$满足$x^{2}+3x + y - 3 = 0$,则$x + y$的最大值为.

4（的（对应选项符号如题目原卷，此处略））

由题意，已知$x^{2} + 3x + y - 3 = 0$，可以解出$y$：
$y = -x^{2} - 3x + 3$，
将上式代入$x + y$中，得到：
$x + y = x - x^{2} - 3x + 3$，
整理得：
$x + y = -x^{2} - 2x + 3$，
为了求$x + y$的最大值，可以将上式转化为顶点式。
通过配方，有：
$x + y = -(x + 1)^{2} + 4$，
由于二次项系数为负，所以这是一个开口向下的抛物线，其最大值出现在顶点处。
因此，当$x = -1$时，$x + y$取得最大值4。

10.对称轴为直线$x = 1$的抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a,b,c$为常数,且$a \neq 0)$如图所示,小明同学得出了以下结论:①$abc ＜ 0$;②$b^{2} ＞ 4ac$;③$4a + 2b + c ＞ 0$;④$3a + c ＞ 0$;⑤$a + b \leq m(am + b)$($m$为任意实数);⑥当$x ＜ -1$时,$y$随$x$的增大而增大.其中,正确的结论有(填序号).

①②③⑥

由抛物线对称轴为$x=1$，得$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$。抛物线开口向下，则$a＜0$，故$b=-2a＞0$；与$y$轴交于正半轴，$c＞0$。
① $a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，则$abc＜0$，正确。
② 抛物线与$x$轴有两个交点，$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$b^2＞4ac$，正确。
③ $x=2$与$x=0$关于$x=1$对称，$f(2)=f(0)=c＞0$，即$4a+2b+c＞0$，正确。
④ 抛物线过$(3,0)$，$9a+3b+c=0$，$b=-2a$代入得$3a+c=0$，故$3a+c＞0$错误。
⑤ $a+b=-a$，$m(am+b)=a(m^2-2m)$，不等式$-a\leq a(m^2-2m)$，$a＜0$时化简为$(m-1)^2\leq0$，仅$m=1$成立，故错误。
⑥ 对称轴$x=1$，开口向下，$x＜1$时$y$随$x$增大而增大，$x＜-1$满足，正确。
正确结论：①②③⑥。

11.(7 分)已知抛物线$y = -x^{2}+4x - 3$与$x$轴相交于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左侧),顶点为$P$.
(1)求点$A,B,P$的坐标.
(2)在直角坐标系中画出此抛物线的简图,并根据简图写出当$x$取何值时,函数值$y$大于0.
(3)确定此抛物线与直线$y = -2x + 6$公共点的个数,并说明理由.

(1)
求点$A$，$B$的坐标：
令$y = 0$，则$-x^{2}+4x - 3 = 0$，即$x^{2}-4x + 3 = 0$。
因式分解得$(x - 1)(x - 3) = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
因为点$A$在点$B$的左侧，所以$A(1,0)$，$B(3,0)$。
求顶点$P$的坐标：
对于抛物线$y=ax^{2}+bx + c$，其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。
在抛物线$y = -x^{2}+4x - 3$中，$a=-1$，$b = 4$，$c = -3$。
$-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)} = 2$，$\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4×(-1)×(-3)-4^{2}}{4×(-1)}=\frac{12 - 16}{-4}=1$。
所以顶点$P$的坐标为$(2,1)$。
(2)
抛物线开口向下，与$x$轴交于$A(1,0)$，$B(3,0)$两点，顶点为$P(2,1)$，据此可画出抛物线简图。
由抛物线图象可知，当$1\lt x\lt3$时，函数值$y$大于$0$。
(3)
联立抛物线与直线的方程$\begin{cases}y=-x^{2}+4x - 3\\y = - 2x+6\end{cases}$，
则$-x^{2}+4x - 3=-2x + 6$，
移项得$x^{2}-6x + 9 = 0$，
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(x - 3)^{2}=0$，
解得$x_1=x_2 = 3$，
把$x = 3$代入$y=-2x + 6$得$y=-2×3 + 6 = 0$。
所以抛物线与直线$y = -2x + 6$有$1$个公共点，坐标为$(3,0)$。