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21. (8分)已知命题：全等三角形对应边上的高相等.
(1)将该命题写成“如果……那么……”的形式：
(2)如图，写出已知、求证和证明过程.
(1)将该命题写成“如果……那么……”的形式：
如果两个三角形全等，那么对应边上的高相等。
；(2)如图，写出已知、求证和证明过程.
答案
(1)如果两个三角形全等，那么对应边上的高相等。
(2)
已知：$\triangle ABC \cong \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，$AD$，$A_{1}D_{1}$分别是对应边$BC$，$B_{1}C_{1}$上的高。
求证：$AD = A_{1}D_{1}$。
证明：
因为$\triangle ABC\cong\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，
所以$AB = A_{1}B_{1}$，$\angle B=\angle B_{1}$。
因为$AD$，$A_{1}D_{1}$分别是对应边$BC$，$B_{1}C_{1}$上的高，
所以$\angle ADB=\angle A_{1}D_{1}B_{1} = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A_{1}B_{1}D_{1}$中，
$\begin{cases}\angle B=\angle B_{1}\\\angle ADB=\angle A_{1}D_{1}B_{1}\\AB = A_{1}B_{1}\end{cases}$
根据$AAS$（角角边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle A_{1}B_{1}D_{1}$。
所以$AD = A_{1}D_{1}$。
(2)
已知：$\triangle ABC \cong \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，$AD$，$A_{1}D_{1}$分别是对应边$BC$，$B_{1}C_{1}$上的高。
求证：$AD = A_{1}D_{1}$。
证明：
因为$\triangle ABC\cong\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，
所以$AB = A_{1}B_{1}$，$\angle B=\angle B_{1}$。
因为$AD$，$A_{1}D_{1}$分别是对应边$BC$，$B_{1}C_{1}$上的高，
所以$\angle ADB=\angle A_{1}D_{1}B_{1} = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A_{1}B_{1}D_{1}$中，
$\begin{cases}\angle B=\angle B_{1}\\\angle ADB=\angle A_{1}D_{1}B_{1}\\AB = A_{1}B_{1}\end{cases}$
根据$AAS$（角角边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle A_{1}B_{1}D_{1}$。
所以$AD = A_{1}D_{1}$。
解析
(1)如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高相等；
(2)已知：$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$，$AD$是$\triangle ABC$中$BC$边上的高，$A_1D_1$是$\triangle A_1B_1C_1$中$B_1C_1$边上的高。
求证：$AD = A_1D_1$。
证明：$\because \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$，
$\therefore AB = A_1B_1$，$\angle B = \angle B_1$。
$\because AD$是$\triangle ABC$中$BC$边上的高，$A_1D_1$是$\triangle A_1B_1C_1$中$B_1C_1$边上的高，
$\therefore \angle ADB = \angle A_1D_1B_1 = 90°$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A_1B_1D_1$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle ADB = \angle A_1D_1B_1 \\\angle B = \angle B_1 \\AB = A_1B_1\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1(AAS)$，
$\therefore AD = A_1D_1$。
(2)已知：$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$，$AD$是$\triangle ABC$中$BC$边上的高，$A_1D_1$是$\triangle A_1B_1C_1$中$B_1C_1$边上的高。
求证：$AD = A_1D_1$。
证明：$\because \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$，
$\therefore AB = A_1B_1$，$\angle B = \angle B_1$。
$\because AD$是$\triangle ABC$中$BC$边上的高，$A_1D_1$是$\triangle A_1B_1C_1$中$B_1C_1$边上的高，
$\therefore \angle ADB = \angle A_1D_1B_1 = 90°$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A_1B_1D_1$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle ADB = \angle A_1D_1B_1 \\\angle B = \angle B_1 \\AB = A_1B_1\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1(AAS)$，
$\therefore AD = A_1D_1$。
22. (10分)如图，点$P$是$\angle AOB$外的一点，点$E$与点$P$关于$OA$对称，点$F$与点$P$关于$OB$对称，直线$FE$分别交$OA$，$OB$于$C$，$D$两点，连接$PC$，$PD$，$PE$，$PF$.
(1)若$\angle OCP = \angle F = 20°$，求$\angle CPD$的度数；
(2)若$CP = DP$，$CF = 13$，$DE = 3$，求$CP$的长.
(1)若$\angle OCP = \angle F = 20°$，求$\angle CPD$的度数；
(2)若$CP = DP$，$CF = 13$，$DE = 3$，求$CP$的长.
答案
(1)
∵点E与P关于OA对称，∴OA垂直平分EP，∴CE=CP，∠OCP=∠OCE=20°，∠CEP=∠CPE。
在△CEP中，∠PCE=∠OCP+∠OCE=40°，∴∠CEP=∠CPE=(180°-40°)/2=70°。
∵点F与P关于OB对称，∴OB垂直平分FP，∴DF=DP，∠DFP=∠DPF=20°。
在△CFP中，∠F=20°，∠FCP=180°-∠PCE=140°，∴∠CPF=180°-20°-140°=20°。
∵∠DPF=20°，∴∠CPD=∠CPF+∠DPF=20°+20°=40°。
(2)
设CP=DP=x。
∵E与P关于OA对称，∴CE=CP=x。
∵F与P关于OB对称，∴DF=DP=x。
设CD=y，∵CF=13，DE=3，由图形位置知CF=DF+CD，CE=CD+DE，
即13=x+y，x=y+3。
联立解得x=8，y=5。
∴CP=8。
(1) 40°
(2) 8
∵点E与P关于OA对称，∴OA垂直平分EP，∴CE=CP，∠OCP=∠OCE=20°，∠CEP=∠CPE。
在△CEP中，∠PCE=∠OCP+∠OCE=40°，∴∠CEP=∠CPE=(180°-40°)/2=70°。
∵点F与P关于OB对称，∴OB垂直平分FP，∴DF=DP，∠DFP=∠DPF=20°。
在△CFP中，∠F=20°，∠FCP=180°-∠PCE=140°，∴∠CPF=180°-20°-140°=20°。
∵∠DPF=20°，∴∠CPD=∠CPF+∠DPF=20°+20°=40°。
(2)
设CP=DP=x。
∵E与P关于OA对称，∴CE=CP=x。
∵F与P关于OB对称，∴DF=DP=x。
设CD=y，∵CF=13，DE=3，由图形位置知CF=DF+CD，CE=CD+DE，
即13=x+y，x=y+3。
联立解得x=8，y=5。
∴CP=8。
(1) 40°
(2) 8
