1. 当$x$为任意实数时,下列分式一定有意义的是 ()

A.$\frac{x + 1}{\vert x\vert+ 1}$
B.$\frac{x + 1}{x^{2}}$
C.$\frac{x - 1}{x^{2}}$
D.$\frac{x + 1}{x^{2}-4}$

A

分式有意义的条件是分母不为0。
A选项：分母为$|x| + 1$，因为$|x| \geq 0$，所以$|x| + 1 \geq 1 ＞ 0$，分母恒不为0，分式一定有意义。
B选项：分母为$x^2$，当$x = 0$时，$x^2 = 0$，分式无意义。
C选项：分母为$x^2$，当$x = 0$时，$x^2 = 0$，分式无意义。
D选项：分母为$x^2 - 4$，当$x = \pm 2$时，$x^2 - 4 = 0$，分式无意义。
综上，一定有意义的是A选项。

2. 用科学记数法表示为$3.36×10^{-6}$的数是 ()

A.0.000 336
B.0.000 036
C.0.000 003 36
D.0.000 000 36

C

科学记数法$a×10^{-n}(1\leq\vert a\vert＜10)$，当要还原为原数时，对于$3.36×10^{-6}$，因为指数$ - 6$表示把$3.36$的小数点向左移动$6$位，得到$0.00000336$。

3. 对分式$\frac{y}{2x},\frac{x}{3y^{2}},\frac{1}{4xy}$通分时,最简公分母是 ()

A.$24x^{2}y^{3}$
B.$12x^{2}y^{2}$
C.$24xy$
D.$12xy^{2}$

D

分式$\frac{y}{2x},\frac{x}{3y^{2}},\frac{1}{4xy}$的分母分别为$2x$，$3y^{2}$，$4xy$。
系数的最小公倍数为$[2,3,4] = 12$；
$x$的最高次幂为$x^{1}$；
$y$的最高次幂为$y^{2}$。
所以最简公分母为$12xy^{2}$。

4. 下列计算错误的是 ()

A.$1÷a^{-6}=a^{6}$
B.$a^{-5}· a^{7}=a^{2}$
C.$(-3a^{-3})^{2}=-9a^{-6}$
D.$(-a)^{-2}=\frac{1}{a^{2}}$

C

A. $1 ÷ a^{-6} = 1 × a^{6} = a^{6}$，与选项一致，正确。
B. $a^{-5} · a^{7} = a^{-5+7} = a^{2}$，与选项一致，正确。
C. $(-3a^{-3})^{2} = (-3)^{2} × (a^{-3})^{2} = 9 × a^{-6} = 9a^{-6}$，与选项给出的 $-9a^{-6}$ 不一致，错误。
D. $(-a)^{-2} = \frac{1}{(-a)^{2}} = \frac{1}{a^{2}}$，与选项一致，正确。

5. 下列运算中,正确的是 ()

A.$\frac{3xy}{5a}÷6xy = \frac{18xy}{5a}$
B.$\frac{a^{2}}{b^{3}}·\frac{2b^{2}}{3a^{2}}=\frac{2}{3}b$
C.$(\frac{y^{3}}{x^{2}})^{3}=\frac{y^{9}}{x^{6}}$
D.$\frac{2}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a - b}$

C

A. 对于 $\frac{3xy}{5a} ÷ 6xy$，
根据除法的定义，除以一个数等于乘以这个数的倒数，所以：
$\frac{3xy}{5a} ÷ 6xy = \frac{3xy}{5a} × \frac{1}{6xy} = \frac{1}{10a}$，
与选项A给出的 $\frac{18xy}{5a}$ 不符，故A错误。
B. 对于 $\frac{a^{2}}{b^{3}} · \frac{2b^{2}}{3a^{2}}$，
根据分式的乘法法则，分子乘分子，分母乘分母，得：
$\frac{a^{2}}{b^{3}} · \frac{2b^{2}}{3a^{2}} = \frac{2a^{2}b^{2}}{3a^{2}b^{3}} = \frac{2}{3b}$，
与选项B给出的 $\frac{2}{3}b$ 不符，故B错误。
C. 对于 $(\frac{y^{3}}{x^{2}})^{3}$，
根据幂的乘方法则，得：
$(\frac{y^{3}}{x^{2}})^{3} = \frac{(y^{3})^{3}}{(x^{2})^{3}} = \frac{y^{9}}{x^{6}}$，
与选项C给出的 $\frac{y^{9}}{x^{6}}$ 相符，故C正确。
D. 对于 $\frac{2}{a} - \frac{1}{b}$，
首先找公共分母，得：
$\frac{2}{a} - \frac{1}{b} = \frac{2b - a}{ab}$，
与选项D给出的 $\frac{1}{a - b}$ 不符，故D错误。

6. 化简$(-\frac{b^{2}}{6a})^{2}÷(\frac{b}{2a})^{3}$的结果是 ()

A.$\frac{ab}{6}$
B.$\frac{2ab}{9}$
C.$\frac{2}{9ab}$
D.$\frac{b}{3}$

B

首先计算$(-\frac{b^{2}}{6a})^{2}$，
$(-\frac{b^{2}}{6a})^{2} = \frac{b^{4}}{36a^{2}}$
然后计算$(\frac{b}{2a})^{3}$，
$(\frac{b}{2a})^{3} = \frac{b^{3}}{8a^{3}}$
接下来进行除法运算，即$\frac{b^{4}}{36a^{2}} ÷ \frac{b^{3}}{8a^{3}}$，
将除法转化为乘法，并求倒数，得到：
$\frac{b^{4}}{36a^{2}} × \frac{8a^{3}}{b^{3}} = \frac{2ab}{9}$

7. 解分式方程$\frac{x}{x - 2}-2=\frac{x - 1}{2 - x}$时,去分母正确的是 ()

A.$x - 2 = x - 1$
B.$x - 2(x - 2)=x - 1$
C.$x - 2(x - 2)=-x - 1$
D.$x - 2(x - 2)=-x + 1$

D

原方程为 $\frac{x}{x - 2} - 2 = \frac{x - 1}{2 - x}$。
注意到 $2 - x = -(x - 2)$，原方程可变形为：
$\frac{x}{x - 2} - 2 = \frac{x - 1}{-(x - 2)} = -\frac{x - 1}{x - 2}$。
两边同乘 $(x - 2)$（$x \neq 2$）去分母：
$x - 2(x - 2) = -(x - 1)$。
化简右边：$-(x - 1) = -x + 1$，即：
$x - 2(x - 2) = -x + 1$。

8. 已知$a^{2}=a + 3$,则$a^{2}+\frac{9}{a^{2}}=$ ()

A.4
B.5
C.7
D.-4

C

由$a^2 = a + 3$，且$a \neq 0$（若$a = 0$，则$0 = 0 + 3$不成立），等式两边同除以$a$得$a = 1 + \frac{3}{a}$，移项得$a - \frac{3}{a} = 1$。
两边平方：$(a - \frac{3}{a})^2 = 1^2$，即$a^2 - 2 · a · \frac{3}{a} + \frac{9}{a^2} = 1$，化简得$a^2 - 6 + \frac{9}{a^2} = 1$，故$a^2 + \frac{9}{a^2} = 1 + 6 = 7$。