1. (2025 宜宾中考改编)如图，O 是坐标原点，双曲线 $ y = -\dfrac{4}{x}(x ＞ 0) $ 与直线 $ y = -2x $ 交于点 A，点 B 在 $ y = -\dfrac{4}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，直线 AB 与 y 轴交于点 C，连接 OB，若 $ AB = 3AC $，求 OB 的长.

$\dfrac{\sqrt{130}}{2}$

联立双曲线$ y = -\dfrac{4}{x}(x ＞ 0) $与直线$ y = -2x $，得$-2x = -\dfrac{4}{x}$，解得$ x = \sqrt{2}$（$ x ＞ 0 $），则$ y = -2\sqrt{2}$，故点$ A(\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$。
设点$ B(m, -\dfrac{4}{m})$，直线$ AB $与$ y $轴交于点$ C(0, c)$。过$ A $作$ AD ⊥ y $轴于$ D $，过$ B $作$ BE ⊥ y $轴于$ E $，则$ AD = \sqrt{2}$，$ BE = m $。
因为$ AD // BE $，所以$△ CAD ∼ △ CBE$。由$ AB = 3AC $，得$ CB = 4AC $，相似比$\dfrac{CA}{CB} = \dfrac{1}{4}$，故$\dfrac{AD}{BE} = \dfrac{1}{4}$，即$\dfrac{\sqrt{2}}{m} = \dfrac{1}{4}$，解得$ m = 4\sqrt{2}$。
则点$ B(4\sqrt{2}, -\dfrac{4}{4\sqrt{2}}) = (4\sqrt{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2})$。
$ OB = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (-\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{32 + \dfrac{1}{2}} = \sqrt{\dfrac{65}{2}} = \dfrac{\sqrt{130}}{2}$。

2. 如图，在矩形 AOBC 中，$ B(4,0) $，$ A(0,3) $，反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象分别与边 AC，BC 交于 E，F 两点，将 $ △ CEF $ 沿 EF 折叠，点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处，求此时反比例函数的解析式.

y=21/(8x)

∵ 矩形 AOBC 中，B(4,0)，A(0,3)，∴ C(4,3)，AC:y=3，BC:x=4。
反比例函数 y=k/x 与 AC 交于 E(k/3,3)，与 BC 交于 F(4,k/4)。
CE=4 - k/3，CF=3 - k/4。折叠后 G(g,0)在 OB 上，且 GE=CE，GF=CF。
由 GE²=(k/3 - g)² + 3²=(4 - k/3)²，GF²=(4 - g)² + (k/4)²=(3 - k/4)²。
化简 GF² 方程：(4 - g)²=9 - 3k/2，令 t=√(9 - 3k/2)，则 g=4 - t，k=6 - 2t²/3。
代入 GE² 方程，解得 t=9/4，进而 k=21/8。

3. 如图，已知点 $ A(8,1) $，$ B(0,-3) $，反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象经过点 A，动直线 $ x = t(0 ＜ t ＜ 8) $ 与反比例函数的图象交于点 M.
(1) 直接写出 k 的值；
(2) 若 $ MA ⊥ AB $，求 t 的值.

(1)8；(2)1/2

(1)将点A(8,1)代入y=k/x，得1=k/8，解得k=8；
(2)由k=8，反比例函数为y=8/x，点M(t,8/t)。点A(8,1)，B(0,-3)，直线AB斜率k_AB=(1 - (-3))/(8 - 0)=4/8=1/2。因MA⊥AB，故k_MA=-2。k_MA=(8/t - 1)/(t - 8)=-2，化简得(8 - t)/(t(t - 8))=-2，即-1/t=-2，解得t=1/2。