19. (本题满分8分)
(1) 计算：$\frac{a^{2} - 2a + 1}{a^{2} - 1} ÷ \left( a - \frac{2a}{a + 1} \right)$；
(2) 先化简，再求值：$\frac{x - 2y}{x^{2} + 2xy + y^{2}} ÷ \left( \frac{2xy - y^{2}}{x + y} - x + y \right)$，其中$y = -4$，$\vert x \vert = 8$。

(1) $\frac{a^{2} - 2a + 1}{a^{2} - 1} ÷ \left( a - \frac{2a}{a + 1} \right)$
$\begin{aligned}&=\frac{(a - 1)^2}{(a - 1)(a + 1)} ÷ \left( \frac{a(a + 1)}{a + 1} - \frac{2a}{a + 1} \right)\\&=\frac{a - 1}{a + 1} ÷ \frac{a^2 + a - 2a}{a + 1}\\&=\frac{a - 1}{a + 1} ÷ \frac{a(a - 1)}{a + 1}\\&=\frac{a - 1}{a + 1} × \frac{a + 1}{a(a - 1)}\\&=\frac{1}{a}\end{aligned}$
(2) $\frac{x - 2y}{x^2 + 2xy + y^2} ÷ \left( \frac{2xy - y^2}{x + y} - x + y \right)$
$\begin{aligned}&=\frac{x - 2y}{(x + y)^2} ÷ \left( \frac{2xy - y^2}{x + y} - \frac{(x - y)(x + y)}{x + y} \right)\\&=\frac{x - 2y}{(x + y)^2} ÷ \frac{2xy - y^2 - x^2 + y^2}{x + y}\\&=\frac{x - 2y}{(x + y)^2} ÷ \frac{-x(x - 2y)}{x + y}\\&=\frac{x - 2y}{(x + y)^2} × \frac{x + y}{-x(x - 2y)}\\&=-\frac{1}{x(x + y)}\end{aligned}$
$\because |x| = 8$，$\therefore x = 8$或$x = -8$，$y = -4$。
当$x = -8$时，括号内$\frac{2xy - y^2}{x + y} - x + y = 0$，原式无意义，故$x = 8$。
当$x = 8$，$y = -4$时，$-\frac{1}{8×(8 - 4)} = -\frac{1}{32}$。
(1) $\frac{1}{a}$；(2) $-\frac{1}{32}$

20. (本题满分8分)
如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$BD = CD$，$E$为$CA$的延长线上一点，过点$E$作$EF // AD$，分别交$AB$，$BC$于点$P$，$F$。
(1) 求证：$\triangle AEP$是等腰三角形；
(2) 若$AD = BD$，求$\angle E$的度数。

(1) 证明：
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），即∠BAD=∠CAD。
∵EF//AD，
∴∠EPA=∠BAD（同位角相等），∠E=∠CAD（内错角相等）。
∴∠EPA=∠E，
∴AE=AP，
∴△AEP是等腰三角形。
(2) 解：
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD（等边对等角）。设∠B=∠BAD=x。
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2x。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
即2x+x+x=180°，解得x=45°。
∴∠CAD=∠BAD=45°。
∵EF//AD，
∴∠E=∠CAD=45°。
故∠E=45°。