7. 在矩形 $ ABCD $ 中，$ BC = 4 $，$ BG $ 与对角线 $ AC $ 垂直且分别交 $ AC $，$ AD $ 及射线 $ CD $ 于点 $ E $，$ F $，$ G $，$ AB = x $.
(1)当点 $ G $ 与点 $ D $ 重合时，求 $ x $ 的值；
(2)当点 $ F $ 为 $ AD $ 的中点时，求 $ x $ 的值及 $ ∠ ECF $ 的正弦值.

7. (1)$x = 4$ (2)$x = 2\sqrt{2}$，$\sin∠ ECF = \dfrac{1}{3}$

8. 如图，在等腰 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，点 $ D $ 是 $ BC $ 上一点，以 $ BD $ 为直径的 $ \odot O $ 过点 $ A $，连接 $ AD $，$ ∠ CAD = ∠ C $.
(1)求证：$ AC $ 是 $ \odot O $ 的切线；
(2)若 $ AC = 4 $，求 $ \odot O $ 的半径.

8. (1)略 (2)$\odot O$的半径为$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

(1)证明：连接 $OA$。
因为 $AB = AC$，所以 $∠ B = ∠ C$。
因为 $∠ CAD = ∠ C$，所以 $∠ CAD = ∠ B$。
因为 $BD$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $∠ BAD = 90°$，即 $∠ BAO + ∠ OAD = 90°$。
因为 $OA = OB$，所以 $∠ BAO = ∠ B$，则 $∠ BAO = ∠ CAD$。
所以 $∠ CAD + ∠ OAD = 90°$，即 $∠ OAC = 90°$。
因为 $OA$ 是 $\odot O$ 的半径，所以 $AC$ 是 $\odot O$ 的切线。
(2)设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $BD = 2r$，$OA = OB = r$。
因为 $AB = AC = 4$，$∠ CAD = ∠ C$，所以 $CD = AD$。
设 $CD = AD = x$，则 $BC = BD + CD = 2r + x$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，$AD^2 = BD^2 - AB^2$，即 $x^2 = (2r)^2 - 4^2 = 4r^2 - 16$。
在 $△ ABC$ 中，由余弦定理得 $\cos C = \dfrac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 · AC · BC} = \dfrac{BC}{2AC}$。
因为 $∠ CAD = ∠ C$，在 $△ ACD$ 中，$\cos C = \dfrac{AC^2 + CD^2 - AD^2}{2 · AC · CD} = \dfrac{AC}{2CD}$。
所以 $\dfrac{BC}{2AC} = \dfrac{AC}{2CD}$，即 $BC · CD = AC^2$，则 $(2r + x)x = 16$。
联立 $x^2 = 4r^2 - 16$ 和 $(2r + x)x = 16$，解得 $r = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$。
$\odot O$ 的半径为 $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$。

9. 如图，折叠矩形 $ ABCD $ 的一边 $ AD $，使点 $ D $ 落在 $ BC $ 边的点 $ F $ 处.
(1)如图①，若折痕 $ AE = 5\sqrt{5} $，且 $ \tan ∠ EFC = \dfrac{3}{4} $，求矩形 $ ABCD $ 的周长；
(2)如图②，在 $ AD $ 边上截取 $ DG = CF $，连接 $ GE $，$ BD $ 相交于点 $ H $，求证：$ BD ⊥ GE $.

$(1)$ 求矩形$ABCD$的周长
解：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ B=∠ C=∠ D = 90^{\circ}$，$AB = CD$，$AD = BC$。
由折叠可知$AF = AD$，$DE = EF$，$∠ AFE=∠ D = 90^{\circ}$。
因为$\tan∠ EFC=\dfrac{3}{4}=\dfrac{EC}{FC}$，设$EC = 3x$，则$FC = 4x$。
根据勾股定理$EF=\sqrt{EC^{2}+FC^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}+(4x)^{2}} = 5x$，所以$DE = EF = 5x$，$DC=AB = 8x$。
因为$∠ AFB+∠ BAF = 90^{\circ}$，$∠ AFB+∠ EFC = 90^{\circ}$，所以$∠ BAF=∠ EFC$。
则$\tan∠ BAF=\tan∠ EFC=\dfrac{3}{4}=\dfrac{BF}{AB}$，所以$BF = 6x$，$AF=AD=BC = 10x$。
在$Rt△ AFE$中，$AE = 5\sqrt{5}$，$AF = 10x$，$EF = 5x$，由勾股定理$AF^{2}+EF^{2}=AE^{2}$，即$(10x)^{2}+(5x)^{2}=(5\sqrt{5})^{2}$。
$\begin{aligned}100x^{2}+25x^{2}&=125\\125x^{2}&=125\\x^{2}&=1\\x& = 1(x＞0)\end{aligned}$
所以$AB = 8$，$AD = 10$，矩形$ABCD$的周长为$2(AB + AD)=2×(8 + 10)=36$。
$(2)$ 证明$BD⊥ GE$
证明：
连接$DF$。
因为$DG = CF$，$DG// CF$，所以四边形$DGFC$是平行四边形，所以$DF// GE$。
由折叠可知$AF = AD$，$DE = EF$，$∠ AFE=∠ ADE = 90^{\circ}$。
因为四边形$ABCD$是矩形，$AD = BC$，$AB = CD$，$∠ BAD = 90^{\circ}$。
在$Rt△ ABF$和$Rt△ DCF$中，$AB = CD$，$AF = AD = BC$，$BF=BC - FC$，$DC = AB$，$FC = DG$，$AD = BC$，所以$Rt△ ABF≌ Rt△ DCF(HL)$，则$∠ ADB=∠ BDF$。
因为$AF = AD$，所以$BD⊥ DF$（等腰三角形三线合一）。
又因为$DF// GE$，所以$BD⊥ GE$。
综上，$(1)$ 矩形$ABCD$的周长为$\boldsymbol{36}$；$(2)$ 证明如上。