8. 如图，一次函数$y=(m-3)x - m + 1$的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴交于点A，B.
（1）求m的取值范围；
（2）若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象，试求这个正比例函数的表达式.

(1) $m＞3$ (2) $y=2x$

【分析】
（1）要确定m的取值范围，需结合一次函数图象经过的象限判断系数的符号：一次函数$y=kx+b$中，$k$的符号决定直线的倾斜方向，$b$的符号决定直线与y轴的交点位置。本题中直线交x轴正半轴、y轴负半轴，说明$k＞0$且$b＜0$，据此列不等式组求解即可。
（2）一次函数向上平移4个单位，遵循“上加下减”的平移规律，平移后解析式的常数项加4；正比例函数的特征是常数项为0，据此列方程求出m的值，再代入即可得到正比例函数表达式。
【解析】
（1）由题意可知，一次函数$y=(m-3)x - m + 1$的图象经过第一、三、四象限，
因此一次项系数和常数项满足：
$\begin{cases}m-3＞0 \\-m + 1＜0\end{cases}$
解不等式$m-3＞0$，得$m＞3$；
解不等式$-m + 1＜0$，得$m＞1$；
取两个解集的公共部分，得$m＞3$。
（2）根据一次函数平移规律，向上平移4个单位后，所得函数解析式为：
$y=(m-3)x - m + 1 + 4$
整理得$y=(m-3)x - m + 5$
∵平移后所得函数是正比例函数，正比例函数无常数项，
∴$-m + 5=0$，解得$m=5$
将$m=5$代入一次项系数，得$m-3=5-3=2$
∴这个正比例函数的表达式为$y=2x$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{m＞3}$；（2）$\boldsymbol{y=2x}$
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数的平移规律；正比例函数的定义
【点评】
本题围绕一次函数的性质、平移规律展开考查，解题的核心是熟练掌握一次函数系数与图象位置的对应关系，以及函数平移的变化规则，同时要明确正比例函数的结构特征，整体难度较低，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8

9. 如图，点B在直线$y=-x+8$上，且在第一象限，点A的坐标为$(6, 0)$，设三角形AOB的面积为S，点B的横坐标为x.
(1) 写出S与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
(2) 三角形AOB的面积能等于30吗？为什么？

(1) $S=-3x+24\ (0＜x＜8)$ (2) 三角形AOB的面积不能等于30，理由略

【分析】
(1) 求解△AOB的面积与x的函数关系，首先确定△AOB的底为OA，由A点坐标可得OA长度为6，三角形的高为点B的纵坐标；点B在直线y=-x+8上，横坐标为x，因此纵坐标可表示为-x+8，代入三角形面积公式即可得到S的表达式；再结合点B在第一象限，横、纵坐标均大于0，即可求出x的取值范围。
(2) 判断面积能否等于30，可将S=30代入(1)所得的函数表达式，求解对应的x值，若x在取值范围内则能，否则不能。
【解析】
(1)
∵点A的坐标为$(6, 0)$，
∴$OA=6$。
∵点B在直线$y=-x+8$上，且横坐标为x，
∴点B的纵坐标为$y=-x+8$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，其中底为$OA=6$，高为点B的纵坐标，因此：
$S=\frac{1}{2}×6×(-x+8)=-3x+24$
∵点B在第一象限，
∴$\begin{cases}x＞0 \\ -x+8＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜8$。
(2) 假设△AOB的面积能等于30，令$S=30$，代入$S=-3x+24$得：
$30=-3x+24$
移项计算得：$3x=24-30$，即$3x=-6$，解得$x=-2$。
∵$x=-2$不在$0＜x＜8$的取值范围内，不符合点B在第一象限的条件，因此假设不成立。
【答案】
(1) $S=-3x+24\ (0＜x＜8)$
(2) 三角形AOB的面积不能等于30，当S=30时x=-2，不符合点B在第一象限的要求。
【知识点】
一次函数的应用，三角形面积计算，自变量取值范围
【点评】
本题结合一次函数与几何图形的性质考查函数表达式的求解，解题时需注意结合图形的实际限制条件确定自变量的取值范围，判断实际问题的合理性时要验证所得结果是否符合取值要求。
【难度系数】
0.7