1. 如图，BD，AC相交于点O，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，则还需要的条件是（）


A.$AB=DC$
B.$OB=OC$
C.$∠BAO=∠CDO$
D.$∠ABO=∠DCO$

1. B

【分析】
要解决这道题，首先明确“SAS”全等判定的要求：两个三角形有两组对应边相等，且这两组边的夹角也对应相等，即可判定全等。首先整理已知条件：①已知OA=OD；②BD和AC交于O，可得对顶角∠AOB=∠DOC。现在已有一组边相等、一组夹角相等，要满足SAS，还需要缺的另一组夹这个角的边相等，也就是OB=OC，同时逐一排除不符合SAS要求的选项即可。
【解析】
已知要使用“SAS”证明△AOB≌△DOC，先梳理现有条件：
1. 题设给出OA=OD；
2. ∠AOB与∠DOC是对顶角，根据对顶角性质，可得∠AOB=∠DOC。
“SAS”要求两边及其夹角对应相等，现在∠AOB是OA和OB的夹角，∠DOC是OD和OC的夹角，已有OA=OD、∠AOB=∠DOC，因此还需要OB=OC。
对各选项分析：
选项A：若AB=DC，此时条件为OA=OD、∠AOB=∠DOC、AB=DC，属于“SSA”，不能判定三角形全等，不符合要求；
选项B：若OB=OC，满足OA=OD、∠AOB=∠DOC、OB=OC，符合“SAS”判定条件，正确；
选项C：若∠BAO=∠CDO，此时条件为OA=OD、∠AOB=∠DOC、∠BAO=∠CDO，属于“ASA”判定，不符合题目要求的“SAS”；
选项D：若∠ABO=∠DCO，此时条件为OA=OD、∠AOB=∠DOC、∠ABO=∠DCO，属于“AAS”判定，不符合题目要求的“SAS”。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形SAS判定、对顶角相等
【点评】
本题考查全等三角形SAS判定定理的应用，解题时要注意“SAS”中的角必须是两组对应边的夹角，避免混淆全等判定的条件，同时要牢记“SSA”不能判定一般三角形全等。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，若$∠ BEC = 60°$，则$∠ EFD$的度数为。

2. $15°$

【分析】
解题时先利用正方形的性质得到边和角的相等关系，首先观察△BCE和△DCF，已知CE=CF，结合正方形边相等、邻角为直角的特点，可通过SAS判定两个三角形全等，得到∠DFC的度数；再由CE=CF和∠DCF=90°，得出△ECF是等腰直角三角形，得到∠EFC的度数，最后作差即可求出∠EFD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$BC=DC$，$∠ BCD=∠ DCF=90°$，
在$△ BCE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}BC=DC \\∠ BCE=∠ DCF \\CE=CF\end{cases}$
∴$△ BCE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ DFC=∠ BEC=60°$，
又
∵$CE=CF$，$∠ DCF=90°$，
∴$△ ECF$是等腰直角三角形，
∴$∠ EFC=45°$，
∴$∠ EFD=∠ DFC-∠ EFC=60°-45°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了正方形、全等三角形、等腰直角三角形的相关性质，解题的关键是准确找到全等三角形，通过角的和差关系计算所求角度，是典型的几何基础综合题。
【难度系数】
0.7

3. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB//DE，BF＝EC.求证：△ABC≌△DEF.

3. 证明 因为 $BF=EC$，
所以 $BF+FC=EC+FC$. 所以 $BC=EF$.
因为 $AB// DE$，所以 $∠ B=∠ E$.
在$△ ABC$ 和$△ DEF$ 中，$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ B=∠ E, \\ BC=EF, \end{cases}$
所以 $△ ABC≌△ DEF$（SAS）.

【分析】
要证明△ABC≌△DEF，首先回忆三角形全等的SAS判定定理，需要找到两组对应边相等以及它们的夹角对应相等。已知条件给出AB=DE，首先找这组边的夹角：AB与BC的夹角是∠B，DE与EF的夹角是∠E，由AB//DE，根据平行线的性质可得∠B=∠E；接下来需要证明另一组对应边BC=EF，已知BF=EC，在两个相等线段上同时加上公共线段FC，根据等式的性质即可得到BC=EF。此时凑齐SAS判定的三个条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
证明：
$\because BF=EC$，
$\therefore BF+FC=EC+FC$，即$BC=EF$。
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠B=∠E$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE（已知）, \\∠B=∠E（已证）, \\BC=EF（已证）,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF（SAS）$。
【答案】
证明过程如上，可证得$△ ABC≌△ DEF$。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的SAS判定、等式的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础典型题，解题核心是结合已知条件推导全等判定所需的对应边、对应角相等，能帮助学生巩固SAS判定定理的运用，理清几何证明的基本逻辑。
【难度系数】
0.8

4. 如图，C是线段AB的中点，在AB的同侧有两点E，D，使得∠DCB = ∠ECA，CD = CE. 求证：△ACD ≌ △BCE.

4. 证明 因为 C 是线段 AB 的中点，
所以 $AC=BC$.
因为 $∠ DCB=∠ ECA$，
所以 $∠ DCB+∠ ECD=∠ ECA+∠ ECD$.
所以 $∠ ECB=∠ DCA$.
在$△ ACD$ 和$△ BCE$ 中，$\begin{cases} CD=CE, \\ ∠ DCA=∠ ECB, \\ AC=BC, \end{cases}$
所以 $△ ACD≌△ BCE$（SAS）.

【分析】
要证明△ACD≌△BCE，首先结合已知条件选择合适的全等判定方法：已知CD=CE，由C是AB中点可推出AC=BC，已经得到两组对应边相等，只需再证明这两组边的夹角相等即可。已知∠DCB=∠ECA，给这两个相等的角同时加上公共角∠ECD，根据等式的性质就能得到两个三角形的对应夹角∠ACD=∠BCE，满足SAS的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ C是线段AB的中点，
∴ $AC=BC$.
∵ $∠DCB=∠ECA$，
∴ $∠DCB+∠ECD=∠ECA+∠ECD$，即$∠DCA=∠ECB$.
在$△ACD$ 和$△BCE$ 中：
$\begin{cases} CD=CE, \\ ∠DCA=∠ECB, \\ AC=BC, \end{cases}$
∴ $△ACD≌△BCE$（SAS）.
【答案】
证明 因为 C 是线段 AB 的中点，
所以 $AC=BC$.
因为 $∠ DCB=∠ ECA$，
所以 $∠ DCB+∠ ECD=∠ ECA+∠ ECD$.
所以 $∠ ECB=∠ DCA$.
在$△ ACD$ 和$△ BCE$ 中，$\begin{cases} CD=CE, \\ ∠ DCA=∠ ECB, \\ AC=BC, \end{cases}$
所以 $△ ACD≌△ BCE$（SAS）.
【知识点】
线段中点的性质；角的和差关系；全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形SAS判定的基础典型题，解题核心是通过角的和差转化得到两组对应边的夹角相等，掌握这类基础证明方法是解决复杂几何证明题的基础。
【难度系数】
0.8