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1. 如图，AB 与 CD 相交于点 O，若∠A = ∠B，∠C = 50°，则∠D 的度数是
$ 50^{\circ} $
.答案
1. $ 50^{\circ} $
解析
【解析】
因为∠A = ∠B，根据内错角相等，两直线平行，可推出AC//BD；
根据两直线平行，内错角相等，可得∠D = ∠C，又因为∠C = 50°，所以∠D = 50°。
【答案】
$50^{\circ}$
【知识点】
内错角相等判平行；平行线内错角相等
【点评】
本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键。
因为∠A = ∠B，根据内错角相等，两直线平行，可推出AC//BD；
根据两直线平行，内错角相等，可得∠D = ∠C，又因为∠C = 50°，所以∠D = 50°。
【答案】
$50^{\circ}$
【知识点】
内错角相等判平行；平行线内错角相等
【点评】
本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键。
2. 如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截，若∠1 = ∠2，∠3 = 120°，则∠4 的度数是
$ 60^{\circ} $
.答案
2. $ 60^{\circ} $
解析
【解析】
1. 由$∠ 1 = ∠ 2$，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定直线$a // b$；
2. 已知$∠ 3 = 120^{\circ}$，则$∠ 3$的邻补角为$180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$；
3. 因为$a // b$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 4 = 60^{\circ}$。
【答案】
$\boldsymbol{60^{\circ}}$
【知识点】
同位角相等两直线平行；两直线平行内错角相等
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键。
1. 由$∠ 1 = ∠ 2$，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定直线$a // b$；
2. 已知$∠ 3 = 120^{\circ}$，则$∠ 3$的邻补角为$180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$；
3. 因为$a // b$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 4 = 60^{\circ}$。
【答案】
$\boldsymbol{60^{\circ}}$
【知识点】
同位角相等两直线平行；两直线平行内错角相等
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键。
3. 如图，点 D，E 分别在 AB，BC 上，DE // AC，AF // BC，若∠1 = 65°，则∠2 的度数是
$ 65^{\circ} $
.答案
3. $ 65^{\circ} $
解析
【解析】
因为$DE// AC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ 1=∠ C$；
又因为$AF// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 2=∠ C$；
所以$∠ 2=∠ 1=65^{\circ}$。
【答案】
$\boldsymbol{65^{\circ}}$
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题考查平行线性质的综合应用，通过中间角$∠ C$进行角的等量转化，关键是熟练掌握平行线的同位角、内错角相等的性质。
因为$DE// AC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ 1=∠ C$；
又因为$AF// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 2=∠ C$；
所以$∠ 2=∠ 1=65^{\circ}$。
【答案】
$\boldsymbol{65^{\circ}}$
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题考查平行线性质的综合应用，通过中间角$∠ C$进行角的等量转化，关键是熟练掌握平行线的同位角、内错角相等的性质。
4. 如图，DA ⊥ AB，CD ⊥ DA，∠B = 56°，则∠C 的度数是
$ 124^{\circ} $
.答案
4. $ 124^{\circ} $
解析
【解析】
因为$DA ⊥ AB$，$CD ⊥ DA$，所以$∠ A = ∠ D = 90°$。
根据四边形内角和为$360°$，可得：
$∠ C = 360° - ∠ A - ∠ D - ∠ B = 360° - 90° - 90° - 56° = 124°$。
【答案】
$\boldsymbol{124^{\circ}}$
【知识点】
1. 垂直的定义
2. 四边形内角和定理
【点评】
本题主要考查垂直的定义和四边形内角和定理的应用，通过垂直得到直角，再结合四边形内角和计算未知角，属于基础题型，难度较小。
因为$DA ⊥ AB$，$CD ⊥ DA$，所以$∠ A = ∠ D = 90°$。
根据四边形内角和为$360°$，可得：
$∠ C = 360° - ∠ A - ∠ D - ∠ B = 360° - 90° - 90° - 56° = 124°$。
【答案】
$\boldsymbol{124^{\circ}}$
【知识点】
1. 垂直的定义
2. 四边形内角和定理
【点评】
本题主要考查垂直的定义和四边形内角和定理的应用，通过垂直得到直角，再结合四边形内角和计算未知角，属于基础题型，难度较小。
5. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50°方向，在 B 岛的北偏西 35°方向，则∠ACB 的度数是
$ 85^{\circ} $
.答案
5. $ 85^{\circ} $
解析
【解析】
过点C作CF//AD（AD为A岛的正北方向线），由题意知AD//BE（BE为B岛的正北方向线），故CF//AD//BE。
根据平行线的内错角相等的性质，可得∠ACF=∠DAC=50°，∠BCF=∠EBC=35°。
因此∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+35°=85°。
【答案】
$\boldsymbol{85^{\circ}}$
【知识点】
平行线的性质；方向角
【点评】
本题通过作辅助平行线，将方向角转化为易计算的内错角，进而求出∠ACB的度数，考查了方向角的理解与平行线性质的应用，体现了几何转化思想的运用。
过点C作CF//AD（AD为A岛的正北方向线），由题意知AD//BE（BE为B岛的正北方向线），故CF//AD//BE。
根据平行线的内错角相等的性质，可得∠ACF=∠DAC=50°，∠BCF=∠EBC=35°。
因此∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+35°=85°。
【答案】
$\boldsymbol{85^{\circ}}$
【知识点】
平行线的性质；方向角
【点评】
本题通过作辅助平行线，将方向角转化为易计算的内错角，进而求出∠ACB的度数，考查了方向角的理解与平行线性质的应用，体现了几何转化思想的运用。
6. 如图，AB // CD，直线 EF 与 AB，CD 分别相交于点 E，F，G 为 AB 上一点，FG 平分∠EFD，∠FGB = 152°，则∠1 的度数是
$ 56^{\circ} $
.答案
6. $ 56^{\circ} $
解析
【解析】
1. 因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 $ ∠ FGB + ∠ GFD = 180° $。
已知 $ ∠ FGB = 152° $，所以 $ ∠ GFD = 180° - 152° = 28° $。
2. 因为FG平分$ ∠ EFD $，根据角平分线的定义，可得 $ ∠ EFD = 2∠ GFD = 2 × 28° = 56° $。
3. 又因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，同位角相等”，可得 $ ∠ 1 = ∠ EFD = 56° $。
【答案】
$ 56^{\circ} $
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题考查平行线的性质与角平分线定义的综合运用，熟练掌握平行线的性质是解题的核心。
1. 因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 $ ∠ FGB + ∠ GFD = 180° $。
已知 $ ∠ FGB = 152° $，所以 $ ∠ GFD = 180° - 152° = 28° $。
2. 因为FG平分$ ∠ EFD $，根据角平分线的定义，可得 $ ∠ EFD = 2∠ GFD = 2 × 28° = 56° $。
3. 又因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，同位角相等”，可得 $ ∠ 1 = ∠ EFD = 56° $。
【答案】
$ 56^{\circ} $
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题考查平行线的性质与角平分线定义的综合运用，熟练掌握平行线的性质是解题的核心。
7. 如图，将长方形 ABCD 折叠，折痕为 EF，折叠后点 B，C 分别落在点 B'，C'的位置上，且 B'C'与 CD 相交于点 M.若∠B'MD = 50°，则∠BEF 的度数是
$ 70^{\circ} $
.答案
7. $ 70^{\circ} $
解析
【解析】
1. 因为四边形ABCD是长方形，所以AB//CD，∠D=∠C=90°，根据平行线的性质，∠BEF=∠DFE（内错角相等），且∠DFE + ∠EFC=180°（同旁内角互补）。
2. 由折叠的性质可得：∠C'=∠C=90°，∠EFC'=∠EFC，∠B'=∠B=90°。
3. 已知∠B'MD=50°，根据对顶角相等，∠C'MF=∠B'MD=50°。在Rt△C'MF中，∠C'=90°，所以∠C'FM=90°-50°=40°。
4. 设∠BEF=x，则∠DFE=x，∠EFC=180°-x，由折叠性质得∠EFC'=∠EFC=180°-x。
5. 由图形可知∠EFC'=∠DFE + ∠C'FM，代入得180°-x = x + 40°，解得x=70°，即∠BEF=70°。
【答案】
$70^{\circ}$
【知识点】
长方形的性质；折叠的性质；平行线的性质
【点评】
本题考查长方形、折叠及平行线的性质的综合应用，解题关键是利用折叠前后对应角相等，结合平行线的性质建立角度间的等量关系求解。
1. 因为四边形ABCD是长方形，所以AB//CD，∠D=∠C=90°，根据平行线的性质，∠BEF=∠DFE（内错角相等），且∠DFE + ∠EFC=180°（同旁内角互补）。
2. 由折叠的性质可得：∠C'=∠C=90°，∠EFC'=∠EFC，∠B'=∠B=90°。
3. 已知∠B'MD=50°，根据对顶角相等，∠C'MF=∠B'MD=50°。在Rt△C'MF中，∠C'=90°，所以∠C'FM=90°-50°=40°。
4. 设∠BEF=x，则∠DFE=x，∠EFC=180°-x，由折叠性质得∠EFC'=∠EFC=180°-x。
5. 由图形可知∠EFC'=∠DFE + ∠C'FM，代入得180°-x = x + 40°，解得x=70°，即∠BEF=70°。
【答案】
$70^{\circ}$
【知识点】
长方形的性质；折叠的性质；平行线的性质
【点评】
本题考查长方形、折叠及平行线的性质的综合应用，解题关键是利用折叠前后对应角相等，结合平行线的性质建立角度间的等量关系求解。
8. 如图，AB // CD // EF，则∠1，∠2，∠3 之间满足的数量关系是
$ ∠ 3 - ∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ} $
.答案
8. $ ∠ 3 - ∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ} $
解析
【解析】
因为$AB// CD$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠2 + ∠BDC = 180^{\circ}$，即$∠BDC = 180^{\circ} - ∠2$。
又因为$CD// EF$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠3 = ∠1 + ∠BDC$。
将$∠BDC = 180^{\circ} - ∠2$代入$∠3 = ∠1 + ∠BDC$中，得$∠3 = ∠1 + 180^{\circ} - ∠2$，整理可得$∠3 - ∠1 + ∠2 = 180^{\circ}$。
【答案】
$\boldsymbol{∠3 - ∠1 + ∠2 = 180^{\circ}}$
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题考查平行线性质的综合运用，通过利用平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质转化角的关系，推导三个角的数量关系，需熟练掌握平行线的相关性质。
因为$AB// CD$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠2 + ∠BDC = 180^{\circ}$，即$∠BDC = 180^{\circ} - ∠2$。
又因为$CD// EF$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠3 = ∠1 + ∠BDC$。
将$∠BDC = 180^{\circ} - ∠2$代入$∠3 = ∠1 + ∠BDC$中，得$∠3 = ∠1 + 180^{\circ} - ∠2$，整理可得$∠3 - ∠1 + ∠2 = 180^{\circ}$。
【答案】
$\boldsymbol{∠3 - ∠1 + ∠2 = 180^{\circ}}$
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题考查平行线性质的综合运用，通过利用平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质转化角的关系，推导三个角的数量关系，需熟练掌握平行线的相关性质。
