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6. 已知命题：“如图，点 $ B $，$ F $，$ C $，$ E $ 在同一条直线上，则 $ AB // DE $.”判断这个命题是真命题还是假命题.如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请增加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明.
答案
6. 假命题.添加条件$∠ B=∠ E$（答案不唯一），证明略。
解析
【解析】
原命题是假命题，仅已知点$B$，$F$，$C$，$E$在同一条直线上，没有其他能判定$AB// DE$的条件，无法推出$AB// DE$。
添加条件：$∠ B=∠ E$（答案不唯一）。
证明：$\because ∠ B=∠ E$（已知），
$\therefore AB// DE$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
假命题；添加条件$\boldsymbol{∠ B=∠ E}$（答案不唯一），证明如上。
【知识点】
平行线的判定、命题真假判断
【点评】
判定两直线平行需满足平行线判定定理的相应条件，原命题缺少关键判定条件，故为假命题，添加符合判定定理的合理条件即可使其成为真命题，添加的条件不唯一。
原命题是假命题，仅已知点$B$，$F$，$C$，$E$在同一条直线上，没有其他能判定$AB// DE$的条件，无法推出$AB// DE$。
添加条件：$∠ B=∠ E$（答案不唯一）。
证明：$\because ∠ B=∠ E$（已知），
$\therefore AB// DE$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
假命题；添加条件$\boldsymbol{∠ B=∠ E}$（答案不唯一），证明如上。
【知识点】
平行线的判定、命题真假判断
【点评】
判定两直线平行需满足平行线判定定理的相应条件，原命题缺少关键判定条件，故为假命题，添加符合判定定理的合理条件即可使其成为真命题，添加的条件不唯一。
7. 如图，直线 $ AB $ 和直线 $ CD $，直线 $ BE $ 和直线 $ CF $ 都被直线 $ BC $ 所截.有以下三个条件：① $ AB ⊥ BC $，$ CD ⊥ BC $；② $ BE // CF $；③ $ ∠ 1 = ∠ 2 $.请你选择其中两个作为题设，另外一个作为结论，组成一个真命题并证明.
答案
7. 可以组合成真命题：①②$⇒$③；①③$⇒$②.证明略。
解析
【解析】
我们可以选取两个条件作为题设，剩余一个作为结论，组成如下两个真命题：
1. 题设：①$AB⊥BC$，$CD⊥BC$；②$BE// CF$，结论：③$∠1=∠2$。
证明：
$\because AB⊥BC$，$CD⊥BC$，
$\therefore ∠ABC=∠BCD=90°$，
$\because BE// CF$，
$\therefore ∠EBC=∠FCB$，
$\therefore ∠ABC - ∠EBC = ∠BCD - ∠FCB$，
即$∠1=∠2$。
2. 题设：①$AB⊥BC$，$CD⊥BC$；③$∠1=∠2$，结论：②$BE// CF$。
证明：
$\because AB⊥BC$，$CD⊥BC$，
$\therefore ∠ABC=∠BCD=90°$，
$\because ∠1=∠2$，
$\therefore ∠ABC - ∠1 = ∠BCD - ∠2$，
即$∠EBC=∠FCB$，
$\therefore BE// CF$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
真命题为：①②$⇒$③；①③$⇒$②。
【知识点】
平行线的判定与性质；垂直的定义
【点评】
本题主要考查命题的构造与几何证明，灵活运用平行线的判定与性质及垂直的定义是解题关键，通过条件的不同组合，可培养逻辑推理能力与几何思维。
我们可以选取两个条件作为题设，剩余一个作为结论，组成如下两个真命题：
1. 题设：①$AB⊥BC$，$CD⊥BC$；②$BE// CF$，结论：③$∠1=∠2$。
证明：
$\because AB⊥BC$，$CD⊥BC$，
$\therefore ∠ABC=∠BCD=90°$，
$\because BE// CF$，
$\therefore ∠EBC=∠FCB$，
$\therefore ∠ABC - ∠EBC = ∠BCD - ∠FCB$，
即$∠1=∠2$。
2. 题设：①$AB⊥BC$，$CD⊥BC$；③$∠1=∠2$，结论：②$BE// CF$。
证明：
$\because AB⊥BC$，$CD⊥BC$，
$\therefore ∠ABC=∠BCD=90°$，
$\because ∠1=∠2$，
$\therefore ∠ABC - ∠1 = ∠BCD - ∠2$，
即$∠EBC=∠FCB$，
$\therefore BE// CF$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
真命题为：①②$⇒$③；①③$⇒$②。
【知识点】
平行线的判定与性质；垂直的定义
【点评】
本题主要考查命题的构造与几何证明，灵活运用平行线的判定与性质及垂直的定义是解题关键，通过条件的不同组合，可培养逻辑推理能力与几何思维。
8. 如图，已知 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ} $，$ ∠ 3 = ∠ B $，试判断 $ ∠ AED $ 与 $ ∠ C $ 的大小关系，并对结论加以证明.
答案
8. $∠ AED=∠ C$，证明略。
解析
【解析】
要判断$∠AED$与$∠C$的大小关系，证明如下：
1. 因为$∠1+∠2=180^{\circ}$（已知），$∠1+∠4=180^{\circ}$（邻补角定义），所以$∠2=∠4$（同角的补角相等），进而$AB// EF$（内错角相等，两直线平行）；
2. 由$AB// EF$，可得$∠3=∠ADE$（两直线平行，内错角相等）；
3. 又因为$∠3=∠B$（已知），所以$∠ADE=∠B$（等量代换），从而$DE// BC$（同位角相等，两直线平行）；
4. 由$DE// BC$，可得$∠AED=∠C$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$∠AED=∠C$
【知识点】
平行线的判定与性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题关键是通过角的数量关系推导直线的平行关系，再利用平行关系得到角的等量关系，需熟练掌握平行线的判定定理和性质定理。
要判断$∠AED$与$∠C$的大小关系，证明如下：
1. 因为$∠1+∠2=180^{\circ}$（已知），$∠1+∠4=180^{\circ}$（邻补角定义），所以$∠2=∠4$（同角的补角相等），进而$AB// EF$（内错角相等，两直线平行）；
2. 由$AB// EF$，可得$∠3=∠ADE$（两直线平行，内错角相等）；
3. 又因为$∠3=∠B$（已知），所以$∠ADE=∠B$（等量代换），从而$DE// BC$（同位角相等，两直线平行）；
4. 由$DE// BC$，可得$∠AED=∠C$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$∠AED=∠C$
【知识点】
平行线的判定与性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题关键是通过角的数量关系推导直线的平行关系，再利用平行关系得到角的等量关系，需熟练掌握平行线的判定定理和性质定理。
9. 阅读以下两小题后，作出相应的解答.
(1) “同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”，这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对调，我们把其中一个命题叫作另一个命题的逆命题.请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题，并指出逆命题的题设和结论.
(2) 根据以下命题的题设画出图形，并将此命题用文字表述.判断命题是真命题还是假命题，并加以证明.
过直线 $ AB $ 上一点 $ O $ 任作射线 $ OC $，作 $ OM $，$ ON $ 分别平分 $ ∠ AOC $，$ ∠ BOC $，则 $ OM ⊥ ON $.
(1) “同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”，这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对调，我们把其中一个命题叫作另一个命题的逆命题.请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题，并指出逆命题的题设和结论.
(2) 根据以下命题的题设画出图形，并将此命题用文字表述.判断命题是真命题还是假命题，并加以证明.
过直线 $ AB $ 上一点 $ O $ 任作射线 $ OC $，作 $ OM $，$ ON $ 分别平分 $ ∠ AOC $，$ ∠ BOC $，则 $ OM ⊥ ON $.
答案
9. （1）逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.题设是点到角两边距离相等，结论是该点在这个角的平分线上.
（2）画图略，文字叙述为：邻补角的平分线互相垂直.为真命题，证明略。
（2）画图略，文字叙述为：邻补角的平分线互相垂直.为真命题，证明略。
