变式：解方程组$\begin{cases}3x - y + z = 4,\\2x + 3y - z = 12,\\x + y + z = 6.\end{cases}$

解：$\{\begin{array}{l} 3x-y+z=4,①\\ 2x+3y-z=12,②\\ x+y+z=6,③\end{array} $
①+②,得$5x+2y=16$,④
③+②,得$3x+4y=18$,⑤
由④和⑤,得$\{\begin{array}{l} 5x+2y=16,\\ 3x+4y=18,\end{array} $
解得$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=3.\end{array} $
把$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=3\end{array} $代入①,解得$z=1.$
所以原方程组的解是$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=3,\\ z=1.\end{array} $

例 2 甲、乙两人在某环形跑道上跑步，假设他们在跑步过程中各自保持一定的速度不变. 如果他们同时从同一地点反向而行，那么他们每$10$min 会相遇一次；如果他们同时从同一地点同向而行，那么$5$min 后，甲在乙的前方$200$m，并且他们每$100$min 会相遇一次. 求甲的速度和环形跑道的长度.
分析：环形跑道上的相遇、追及问题，可类比直线型的相遇、追及问题. 这里有三个未知量，即甲的速度、乙的速度及环形跑道的长度，列三元一次方程组可解决问题.
解：设甲的速度为$x$m/min，乙的速度为$y$m/min，环形跑道的长度为$s$m.
依题意，得$\begin{cases}10x + 10y = s,\\5x - 5y = 200,\\100x - 100y = s.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 220,\\y = 180,\\s = 4000.\end{cases}$

答：甲的速度为$220$m/min，环形跑道的长度为$4000$m.

解：设甲的速度为$x$m/min，乙的速度为$y$m/min，环形跑道的长度为$s$m。
依题意，得$\begin{cases}10x + 10y = s,\\5x - 5y = 200,\\100x - 100y = s.\end{cases}$
解方程组：
由$5x - 5y = 200$，两边同时除以5得$x - y = 40$，即$x = y + 40$。
将$x = y + 40$代入$100x - 100y = s$，得$100(y + 40) - 100y = s$，化简得$s = 4000$。
将$s = 4000$，$x = y + 40$代入$10x + 10y = s$，得$10(y + 40) + 10y = 4000$，解得$y = 180$。
则$x = 180 + 40 = 220$。
所以$\begin{cases}x = 220,\\y = 180,\\s = 4000.\end{cases}$
答：甲的速度为$220$m/min，环形跑道的长度为$4000$m。

变式：甲地到乙地全程是$3.3$km，一段上坡路，一段平路，一段下坡路. 如果保持上坡路每小时走$3$km，平路每小时走$4$km，下坡路每小时走$5$km，那么从甲地到乙地需$51$min，从乙地到甲地需$53.4$min. 从甲地到乙地时，上坡路、平路、下坡路各是多少千米？

解:设甲地到乙地,上坡路、平路、下坡路各是x km,y km,z km.
根据题意,得$\{\begin{array}{l} x+y+z=3.3,\\ \frac {x}{3}+\frac {y}{4}+\frac {z}{5}=0.85,\\ \frac {z}{3}+\frac {y}{4}+\frac {x}{5}=0.89.\end{array} $
解得$\{\begin{array}{l} x=1.2,\\ y=0.6,\\ z=1.5.\end{array} $
答:从甲地到乙地时,上坡路1.2 km,平路0.6 km,下坡路1.5 km.