1. 已知:如图 1-ZT-1,在△ABC 中,AB=AC，AD⊥BC 于点 D,点 E 在 CA 的延长线上，EF//AD,交 AB 于点 F.求证:AE=AF.

证明：
∵ AB=AC，AD⊥BC（已知），
∴ ∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一）。
∵ EF//AD（已知），
∴ ∠AFE=∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∠E=∠CAD（两直线平行，同位角相等）。
∴ ∠E=∠AFE（等量代换）。
∴ AE=AF（等角对等边）。

2. 如图 1-ZT-2 所示,在五边形 ABCDE 中,AB=AE,BC=ED,∠ABC=∠AED,F 是 CD 的中点.求证:AF⊥CD.

证明：
连接AC，AD。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE\\∠ ABC=∠ AED\\BC=ED\end{array} $
$\therefore △ ABC≌△ AED$（SAS）。
$\therefore AC=AD$，即$△ ACD$是等腰三角形。
$\because F$是$CD$的中点，
$\therefore AF⊥ CD$（等腰三角形三线合一）。

3. 如图 1-ZT-3,∠A=∠D=90°,AB=DC,AC 与 BD 相交于点 F,E 是 BC 的中点.求证：∠BFE=∠CFE.

证明：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DCB$中，
$\begin{cases}AB = DC \\BC = CB\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DCB$（HL）
$\therefore ∠ FBC = ∠ FCB$
$\therefore FB = FC$
$\because E$是$BC$的中点，
$\therefore FE$平分$∠ BFC$（等腰三角形三线合一）
$\therefore ∠ BFE = ∠ CFE$

4. 如图 1-ZT-4,在△ABC 中,AB=AC,BE⊥AC 于点 E.求证:∠BAC=2∠EBC.

4. 证明:过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠BAC=2∠DAC.
∵BE⊥AC,
∴∠EBC+∠C=90°.
又
∵∠DAC+∠C=90°,
∴∠EBC=∠DAC,
∴∠BAC=2∠EBC.