解 (1) $60°$
(2) 如图, 过点 $O$ 作 $OP ⊥ AB$ 于点 $P$, 则 $OP=2\sqrt{3}$.
$\because OA = OB$, $∠ AOB=60°$,
$\therefore △ OAB$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ AOP=30°$,
$\therefore OA=2AP$.
在 $\mathrm{Rt}△ OAP$ 中, 由勾股定理, 得 $OA^2=AP^2+OP^2$, 即 $(2AP)^2=AP^2+(2\sqrt{3})^2$,
解得 $AP=2$(负值舍去),
$\therefore OA=2AP=4$,
$\therefore AB=4$.
$\because \overset{\frown}{AB}$ 的长为 $\frac{60 · π · 4}{180}=\frac{4π}{3}$,
$\therefore$ 阴影部分的周长为 $\frac{4π}{3}+4$.

解：(1)
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ $∠ AOB = \frac{360°}{6} = 60°$。
(2)
过点 $O$ 作 $OP ⊥ AB$ 于点 $P$，则 $OP=2\sqrt{3}$。
$\because OA = OB$，$∠ AOB=60°$，
$\therefore △ OAB$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ AOP=30°$，
$\therefore OA=2AP$。
在 $\mathrm{Rt}△ OAP$ 中，由勾股定理，得 $OA^2=AP^2+OP^2$，
即 $(2AP)^2=AP^2+(2\sqrt{3})^2$，
解得 $AP=2$（负值舍去），
$\therefore OA=2AP=4$，
$\therefore AB=4$。
$\because \overset{\frown}{AB}$ 的长为 $\frac{60 · π · 4}{180}=\frac{4π}{3}$，
$\therefore$ 阴影部分的周长为 $\frac{4π}{3}+4$。