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4.方程$ax^2 - bx - 1 = 0(a ＞ 0)$的根为
$\frac{b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$
答案
4. $\frac{b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$
5.若关于$x$的方程$x^2 + 3x + c = 0$没有实数根，则$c$的值可以是
3(答案不唯一)
(写出一个即可).答案
5. 3(答案不唯一)
6. 用公式法解下列方程：
(1)$x^2 - 2x - 3 = 0$；
(2)$3x^2 + 6x = 4$；
(3)$4x^2 = 20x - 25$；
(4)$(2x + 1)(x - 1) = x(x - 5)$。
(1)$x^2 - 2x - 3 = 0$；
(2)$3x^2 + 6x = 4$；
(3)$4x^2 = 20x - 25$；
(4)$(2x + 1)(x - 1) = x(x - 5)$。
答案
6. 解 (1)因为$a=1,b=-2,c=-3$，
所以 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-3)=16＞0.$
方程有两个不相等的实数根 $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{16}}{2×1}=1\pm2.$
即 $x_1=3,x_2=-1.$
(2)方程化为 $3x^2 + 6x - 4 = 0$,此时 $a=3$，$b=6,c=-4$,所以 $\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4×3×(-4)=84＞0.$ 方程有两个不相等的实数根 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-6\pm2\sqrt{21}}{2×3}=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{3}.$
即 $x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}.$
(3)方程化为 $4x^2 - 20x + 25 = 0$，此时 $a=4,b=-20,c=25$，
所以 $\Delta=b^2-4ac=(-20)^2-4×4×25=0.$
方程有两个相等的实数根 $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-20)}{2×4}=\frac{5}{2}.$
(4)方程化为 $x^2 + 4x - 1 = 0$,此时 $a=1$，$b=4,c=-1$,所以 $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×1×(-1)=20＞0.$
方程有两个不相等的实数根,所以 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{20}}{2×1}=-2\pm\sqrt{5},$
即 $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}.$
所以 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-3)=16＞0.$
方程有两个不相等的实数根 $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{16}}{2×1}=1\pm2.$
即 $x_1=3,x_2=-1.$
(2)方程化为 $3x^2 + 6x - 4 = 0$,此时 $a=3$，$b=6,c=-4$,所以 $\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4×3×(-4)=84＞0.$ 方程有两个不相等的实数根 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-6\pm2\sqrt{21}}{2×3}=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{3}.$
即 $x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}.$
(3)方程化为 $4x^2 - 20x + 25 = 0$，此时 $a=4,b=-20,c=25$，
所以 $\Delta=b^2-4ac=(-20)^2-4×4×25=0.$
方程有两个相等的实数根 $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-20)}{2×4}=\frac{5}{2}.$
(4)方程化为 $x^2 + 4x - 1 = 0$,此时 $a=1$，$b=4,c=-1$,所以 $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×1×(-1)=20＞0.$
方程有两个不相等的实数根,所以 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{20}}{2×1}=-2\pm\sqrt{5},$
即 $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}.$
7.对于两个不相等的实数$a,b$,用$\max(a,b)$表示其中较大的数,则方程$x · \max(x, -x)=2x+1$的根是(
A.$1,1+\sqrt{2}$
B.$1,1-\sqrt{2}$
C.$-1,1+\sqrt{2}$
D.$-1,1-\sqrt{2}$
C
).A.$1,1+\sqrt{2}$
B.$1,1-\sqrt{2}$
C.$-1,1+\sqrt{2}$
D.$-1,1-\sqrt{2}$
答案
7. C 解析
∵max(a,b)表示其中较大的数,
∴当 $x＞0$ 时,max(x,-x)=x，
此时方程为 $x^2=2x+1$，
即 $x^2-2x-1=0. \Delta = (-2)^2 - 4×1×(-1)=8＞0,\therefore x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2},$
即 $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}.$
又 $x＞0,\therefore x=1+\sqrt{2}.$
当 $x＜0$ 时,max(x,-x)=-x,此时方程为 $-x^2=2x+1$,即 $x^2+2x+1=0$，
$\therefore (x+1)^2=0. \therefore x=-1.$
∴方程 $x · \max(x, -x) = 2x + 1$ 的根为$-1$ 或 $1+\sqrt{2}$.故选 C.
∵max(a,b)表示其中较大的数,
∴当 $x＞0$ 时,max(x,-x)=x，
此时方程为 $x^2=2x+1$，
即 $x^2-2x-1=0. \Delta = (-2)^2 - 4×1×(-1)=8＞0,\therefore x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2},$
即 $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}.$
又 $x＞0,\therefore x=1+\sqrt{2}.$
当 $x＜0$ 时,max(x,-x)=-x,此时方程为 $-x^2=2x+1$,即 $x^2+2x+1=0$，
$\therefore (x+1)^2=0. \therefore x=-1.$
∴方程 $x · \max(x, -x) = 2x + 1$ 的根为$-1$ 或 $1+\sqrt{2}$.故选 C.
8.已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长.若关于$x$的一元二次方程$\frac{1}{2}(a - c)x^2 + \sqrt{2}(a - b)x - b + a = 0$有两个相等的实数根,则$△ ABC$的形状为(
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.无法判断
A
).A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.无法判断
答案
8. A 解析
∵关于 $x$ 的一元二次方程 $\frac{1}{2}(a - c)x^2+\sqrt{2}(a - b)x - b + a = 0$ 有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=[\sqrt{2}(a - b)]^2 - 4×\frac{1}{2}(a - c)(-b + a)=0$,整理,得 $2(a - b)^2-2(a - c)(a - b)=0$，
$2(a - b)[(a - b)-(a - c)]=0$，
即 $2(a - b)(c - b)=0$，
可得 $a - b=0$,或 $c - b=0$，
所以 $a=b$,或 $c=b$，
所以$△ ABC$ 为等腰三角形.
又由二次项系数不为 0 知 $a≠ c$，
$\therefore△ ABC$ 不能为等边三角形.故选 A.
∵关于 $x$ 的一元二次方程 $\frac{1}{2}(a - c)x^2+\sqrt{2}(a - b)x - b + a = 0$ 有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=[\sqrt{2}(a - b)]^2 - 4×\frac{1}{2}(a - c)(-b + a)=0$,整理,得 $2(a - b)^2-2(a - c)(a - b)=0$，
$2(a - b)[(a - b)-(a - c)]=0$，
即 $2(a - b)(c - b)=0$，
可得 $a - b=0$,或 $c - b=0$，
所以 $a=b$,或 $c=b$，
所以$△ ABC$ 为等腰三角形.
又由二次项系数不为 0 知 $a≠ c$，
$\therefore△ ABC$ 不能为等边三角形.故选 A.
9. 若关于x的一元二次方程$x^2 - 2x - a = 0$没有实数根，则直线$y=(a+1)x + a -1$一定不经过的象限是
第一象限
.答案
9. 第一象限 解析
∵关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2x-a=0$ 没有实数根,
∴$\Delta=4+4a＜0$，解得 $a＜-1$,故 $a+1＜0,a-1＜0$,故直线 $y=(a+1)x+a-1$ 一定不经过第一象限.
∵关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2x-a=0$ 没有实数根,
∴$\Delta=4+4a＜0$，解得 $a＜-1$,故 $a+1＜0,a-1＜0$,故直线 $y=(a+1)x+a-1$ 一定不经过第一象限.
10.已知关于$x$的方程$x^2 - (m+1)x + 2(m-1)=0$.
(1)求证:无论$m$取何值,这个方程总有实数根;
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长为6,另两边长恰好是这个方程的两个根,求$△ ABC$的周长.
(1)求证:无论$m$取何值,这个方程总有实数根;
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长为6,另两边长恰好是这个方程的两个根,求$△ ABC$的周长.
答案
10. (1)证明 $\because \Delta=[-(m+1)]^2-4×1×2(m-1)=m^2-6m+9=(m-3)^2≥0,$
$\therefore$ 无论 $m$ 取何值,这个方程总有实数根.
(2)解 当 6 是腰长时,方程的一个根为 6，将 $x=6$ 代入原方程,得 $36-6(m+1)+2(m-1)=0$,解得 $m=7$,$\therefore$ 原方程为 $x^2-8x+12=0$,解得 $x_1=2,x_2=6.$
$\because 2+6＞6$,$\therefore$ 能组成三角形,此时三角形的周长为 $2+6+6=14.$
当 6 是底边长时,易知关于 $x$ 的方程 $x^2-(m+1)x+2(m-1)=0$ 有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=(m-3)^2=0$,解得 $m=3$,$\therefore$ 原方程为 $x^2-4x+4=0$,解得 $x_1=x_2=2.$
$\because 2+2＜6$,$\therefore$ 不能组成三角形.
综上,$△ ABC$ 的周长为 14.
$\therefore$ 无论 $m$ 取何值,这个方程总有实数根.
(2)解 当 6 是腰长时,方程的一个根为 6，将 $x=6$ 代入原方程,得 $36-6(m+1)+2(m-1)=0$,解得 $m=7$,$\therefore$ 原方程为 $x^2-8x+12=0$,解得 $x_1=2,x_2=6.$
$\because 2+6＞6$,$\therefore$ 能组成三角形,此时三角形的周长为 $2+6+6=14.$
当 6 是底边长时,易知关于 $x$ 的方程 $x^2-(m+1)x+2(m-1)=0$ 有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=(m-3)^2=0$,解得 $m=3$,$\therefore$ 原方程为 $x^2-4x+4=0$,解得 $x_1=x_2=2.$
$\because 2+2＜6$,$\therefore$ 不能组成三角形.
综上,$△ ABC$ 的周长为 14.
