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3. 如图，已知直线 $ l_1 // l_2 // l_3 $。若 $ \frac{AB}{BC} = \frac{2}{3} $，$ DE = 4 $，求 $ EF $ 的长。
答案
解：$\because l_1//l_2//l_3$，
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
$\because \frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，$DE=4$，
$\therefore \frac{2}{3}=\frac{4}{EF}$。
$\therefore EF=6$。
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
$\because \frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，$DE=4$，
$\therefore \frac{2}{3}=\frac{4}{EF}$。
$\therefore EF=6$。
4. 如图，在$△ ABC$中，点D，E分别在边BC，AC上，连接DE. 若$DE// AB$，$CE=2AE$，$CD=6$，求BD的长.
答案
解：$\because DE//AB$，
$\therefore \frac{CE}{AE}=\frac{CD}{BD}$。
又$\because CE=2AE$，$CD=6$，
$\therefore \frac{2AE}{AE}=\frac{6}{BD}=2$。
$\therefore BD=3$。
$\therefore \frac{CE}{AE}=\frac{CD}{BD}$。
又$\because CE=2AE$，$CD=6$，
$\therefore \frac{2AE}{AE}=\frac{6}{BD}=2$。
$\therefore BD=3$。
5. 如图，已知直线 $ l_1 $，$ l_2 $，$ l_3 $ 分别截直线 $ l_4 $ 于点 A，B，C，截直线 $ l_5 $ 于点 D，E，F，且 $ l_1 // l_2 // l_3 $。
(1)若 $ AB = 4 $，$ BC = 8 $，$ EF = 12 $，求 DE 的长。
(2)若 $ \frac{DE}{EF} = \frac{2}{3} $，$ AB = 6 $，求 AC 的长。
(1)若 $ AB = 4 $，$ BC = 8 $，$ EF = 12 $，求 DE 的长。
(2)若 $ \frac{DE}{EF} = \frac{2}{3} $，$ AB = 6 $，求 AC 的长。
答案
解：(1)$\because l_1//l_2//l_3$，$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
又$\because AB=4$，$BC=8$，$EF=12$，
$\therefore DE=\frac{4×12}{8}=6$。
(2)$\because l_1//l_2//l_3$，$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
又$\because \frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$，$AB=6$，
$\therefore BC=6×\frac{3}{2}=9$。
$\therefore AC=AB+BC=6+9=15$。
又$\because AB=4$，$BC=8$，$EF=12$，
$\therefore DE=\frac{4×12}{8}=6$。
(2)$\because l_1//l_2//l_3$，$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
又$\because \frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$，$AB=6$，
$\therefore BC=6×\frac{3}{2}=9$。
$\therefore AC=AB+BC=6+9=15$。
6. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$，$F$分别是$AB$，$BC$上的点，且$DE// AC$，$AE// DF$，$\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$，$BF=36$. 求$EF$和$CF$的长. 
7. 先阅读下面的材料，再解答问题.
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边成比例.
已知：如图①，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线. 求证：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$.
分析：在比例式$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$中，$AC$恰是$BD$，$DC$，$AB$的第四比例项，所以考虑过点$C$作$CE// AD$，交$BA$的延长线于点$E$，从而得到$BD$，$DC$，$AB$的第四比例项$AE$，如图②. 这样，证明$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$就可以转化成证明$AE=AC$.
证明：如图②，过点$C$作$CE// AD$，交$BA$的延长线于点$E$，则$∠ 1=∠ E$，$∠ 2=∠ 3$.
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$.
$\therefore ∠ E=∠ 3$.
$\therefore AE=AC$.
$\because CE// AD$，
$\therefore \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AE}$.
$\therefore \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$.
（1）在上述证明过程中，用到了哪些定理？（写出两个定理即可）
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到的数学思想是 （
A. 数形结合思想
B. 转化思想
C. 分类讨论思想
（3）用三角形内角平分线性质定理解答下面的问题.
已知：如图①，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线. 若$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，求$BD$的长.
7. 先阅读下面的材料，再解答问题.
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边成比例.
已知：如图①，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线. 求证：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$.
分析：在比例式$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$中，$AC$恰是$BD$，$DC$，$AB$的第四比例项，所以考虑过点$C$作$CE// AD$，交$BA$的延长线于点$E$，从而得到$BD$，$DC$，$AB$的第四比例项$AE$，如图②. 这样，证明$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$就可以转化成证明$AE=AC$.
证明：如图②，过点$C$作$CE// AD$，交$BA$的延长线于点$E$，则$∠ 1=∠ E$，$∠ 2=∠ 3$.
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$.
$\therefore ∠ E=∠ 3$.
$\therefore AE=AC$.
$\because CE// AD$，
$\therefore \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AE}$.
$\therefore \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$.
（1）在上述证明过程中，用到了哪些定理？（写出两个定理即可）
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到的数学思想是 （
B
）A. 数形结合思想
B. 转化思想
C. 分类讨论思想
（3）用三角形内角平分线性质定理解答下面的问题.
已知：如图①，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线. 若$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，求$BD$的长.
答案
6. 解：$\because AE//DF$，
$\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{BF}{EF}$，即$\frac{36}{EF}=\frac{3}{2}$。
$\therefore EF=24$。
$\therefore BE=BF+EF=36+24=60$。
$\because DE//AC$，
$\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{BE}{CE}$，即$\frac{60}{CE}=\frac{3}{2}$。
$\therefore CE=40$。
$\therefore CF=CE+EF=64$。
7. 解：(1)证明过程中用到的定理：
①平行线的性质定理；
②等腰三角形的判定定理。
(2) B
(3)$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$。
又$\because AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{BD}{7-BD}=\frac{5}{4}$。
解得 $BD=\frac{35}{9}(\mathrm{cm})$。
$\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{BF}{EF}$，即$\frac{36}{EF}=\frac{3}{2}$。
$\therefore EF=24$。
$\therefore BE=BF+EF=36+24=60$。
$\because DE//AC$，
$\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{BE}{CE}$，即$\frac{60}{CE}=\frac{3}{2}$。
$\therefore CE=40$。
$\therefore CF=CE+EF=64$。
7. 解：(1)证明过程中用到的定理：
①平行线的性质定理；
②等腰三角形的判定定理。
(2) B
(3)$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$。
又$\because AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{BD}{7-BD}=\frac{5}{4}$。
解得 $BD=\frac{35}{9}(\mathrm{cm})$。
