登录
1. 一元二次方程的特点:(1)是
整
式方程;(2)只含有一
个未知数;(3)未知数的最高次数是2
。答案
1. (1) 整 (2) 一 (3) 2
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的基本概念，解题时需回忆一元二次方程的定义，拆分定义的核心要素对应填空即可：首先一元二次方程属于整式方程，分母不含未知数；其次“一元”对应只含有1个未知数；最后“二次”对应未知数的最高次数是2，据此就能填出三个空的内容。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得三个空依次填写对应内容。
【答案】
(1) 整 (2) 一 (3) 2
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对核心概念的掌握情况，熟练记住一元二次方程的三个核心特征即可轻松作答，这类概念题是后续学习一元二次方程相关知识的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的基本概念，解题时需回忆一元二次方程的定义，拆分定义的核心要素对应填空即可：首先一元二次方程属于整式方程，分母不含未知数；其次“一元”对应只含有1个未知数；最后“二次”对应未知数的最高次数是2，据此就能填出三个空的内容。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得三个空依次填写对应内容。
【答案】
(1) 整 (2) 一 (3) 2
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对核心概念的掌握情况，熟练记住一元二次方程的三个核心特征即可轻松作答，这类概念题是后续学习一元二次方程相关知识的基础。
【难度系数】
0.9
2. 把$ax^2 + bx + c = 0(a,b,c$为常数，$a≠0)$称为一元二次方程的一般形式，其中$ax^2,bx,c$分别称为
二次项
、一次项
和常数项
，$a,b$分别称为二次项系数
和一次项系数
。答案
2. 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数
解析
【分析】
本题考查一元二次方程一般形式的基础概念，解题思路如下：首先回忆一元二次方程一般形式的定义，我们可以根据各项所含未知数的次数对各项进行命名，再根据“项的系数是对应项的数字因数”的规则，确定a、b对应的名称，逐空对应填写即可。
【解析】
根据一元二次方程一般形式的相关规定：
1. $ax^2$中未知数的次数是2，因此叫做二次项；
2. $bx$中未知数的次数是1，因此叫做一次项；
3. $c$不含未知数，因此叫做常数项；
4. $a$是二次项$ax^2$的数字因数，因此叫做二次项系数；
5. $b$是一次项$bx$的数字因数，因此叫做一次项系数。
【答案】
二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念考查题，主要检验对一元二次方程一般形式各组成部分名称的识记情况，是后续学习一元二次方程解法、实际应用的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程一般形式的基础概念，解题思路如下：首先回忆一元二次方程一般形式的定义，我们可以根据各项所含未知数的次数对各项进行命名，再根据“项的系数是对应项的数字因数”的规则，确定a、b对应的名称，逐空对应填写即可。
【解析】
根据一元二次方程一般形式的相关规定：
1. $ax^2$中未知数的次数是2，因此叫做二次项；
2. $bx$中未知数的次数是1，因此叫做一次项；
3. $c$不含未知数，因此叫做常数项；
4. $a$是二次项$ax^2$的数字因数，因此叫做二次项系数；
5. $b$是一次项$bx$的数字因数，因此叫做一次项系数。
【答案】
二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念考查题，主要检验对一元二次方程一般形式各组成部分名称的识记情况，是后续学习一元二次方程解法、实际应用的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
1. 给出下列方程:① $x^2 - 2x - 1 = 0$;② $ax^2 + bx + c = 0$;③ $\frac{1}{x^2} + 3x - 5 = 0$;④ $-x^2 = 0$;⑤ $(x - 1)^2 + y^2 = 2$;⑥ $(x - 1)(x - 3) = x^2$。其中,是一元二次方程的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B
解析
【分析】
要判断题目中的方程是否为一元二次方程，首先需要明确一元二次方程的三个判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程（分母不含未知数）。我们只需按照这三个标准逐个验证每个方程，统计符合条件的数量即可选出正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。我们逐个分析各方程：
1. 方程①$x^2 - 2x - 1 = 0$：仅含未知数x，最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义；
2. 方程②$ax^2 + bx + c = 0$：未说明二次项系数$a≠0$，若$a=0$则方程最高次数小于2，因此不属于一元二次方程；
3. 方程③$\frac{1}{x^2} + 3x - 5 = 0$：分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
4. 方程④$-x^2 = 0$：仅含未知数x，最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义；
5. 方程⑤$(x - 1)^2 + y^2 = 2$：含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
6. 方程⑥$(x - 1)(x - 3) = x^2$：展开左边得$x^2-4x+3=x^2$，移项化简后为$-4x+3=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求。
综上，符合一元二次方程定义的是①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程识别、多项式化简
【点评】
本题考查一元二次方程的基础判定，解题的核心是严格紧扣定义的三个条件，需要特别注意的易错点有：含参数的二次方程要确认二次项系数不为0、分式方程不属于整式方程、方程需要化简后再判断最高次数。
【难度系数】
0.7
要判断题目中的方程是否为一元二次方程，首先需要明确一元二次方程的三个判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程（分母不含未知数）。我们只需按照这三个标准逐个验证每个方程，统计符合条件的数量即可选出正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。我们逐个分析各方程：
1. 方程①$x^2 - 2x - 1 = 0$：仅含未知数x，最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义；
2. 方程②$ax^2 + bx + c = 0$：未说明二次项系数$a≠0$，若$a=0$则方程最高次数小于2，因此不属于一元二次方程；
3. 方程③$\frac{1}{x^2} + 3x - 5 = 0$：分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
4. 方程④$-x^2 = 0$：仅含未知数x，最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义；
5. 方程⑤$(x - 1)^2 + y^2 = 2$：含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
6. 方程⑥$(x - 1)(x - 3) = x^2$：展开左边得$x^2-4x+3=x^2$，移项化简后为$-4x+3=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求。
综上，符合一元二次方程定义的是①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程识别、多项式化简
【点评】
本题考查一元二次方程的基础判定，解题的核心是严格紧扣定义的三个条件，需要特别注意的易错点有：含参数的二次方程要确认二次项系数不为0、分式方程不属于整式方程、方程需要化简后再判断最高次数。
【难度系数】
0.7
2. 下列方程,无论a取何值,总是关于x的一元二次方程的是(
A.$(2a - 1)(x^2 + 3) = 2x^2 - 2$
B.$ax^2 - 2x - 9 = 0$
C.$ax^2 + 1 = x^2 - 1$
D.$(a^2 + 1)x^2 = 1$
D
)。A.$(2a - 1)(x^2 + 3) = 2x^2 - 2$
B.$ax^2 - 2x - 9 = 0$
C.$ax^2 + 1 = x^2 - 1$
D.$(a^2 + 1)x^2 = 1$
答案
2. D
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记一元二次方程的判定标准：①是整式方程；②只含有1个未知数x；③未知数x的最高次数为2；④二次项系数不为0。本题要求无论a取何值方程都是关于x的一元二次方程，即需要保证化简后的方程二次项系数恒不为0。解题时先将每个选项的方程整理为一元二次方程的一般形式$Ax^2+Bx+C=0$，再判断各选项的二次项系数A是否存在等于0的情况，若不存在则符合要求。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0的整式方程。我们逐个分析选项：
A. 整理原方程：
展开得$(2a-1)x^2 + 6a - 3 = 2x^2 - 2$
移项合并同类项得$(2a - 3)x^2 + 6a - 1 = 0$
当$2a-3=0$即$a=\frac{3}{2}$时，二次项系数为0，方程不是一元二次方程，不符合要求；
B. 方程$ax^2 -2x -9=0$，当$a=0$时，方程变为$-2x-9=0$，是一元一次方程，不符合要求；
C. 整理原方程：
移项合并同类项得$(a-1)x^2 + 2 = 0$
当$a=1$时，二次项系数为0，此时等式不成立，不是一元二次方程，不符合要求；
D. 方程$(a^2+1)x^2=1$，由于任意实数的平方非负，即$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1$，二次项系数恒不为0，无论a取何值，该方程都是关于x的一元二次方程，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的判定；偶次幂的非负性
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题型，解题关键是不要忽略二次项系数不能为0的条件，对于含参数的一元二次方程判定，要结合参数的取值范围验证二次项系数是否恒不为0。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是牢记一元二次方程的判定标准：①是整式方程；②只含有1个未知数x；③未知数x的最高次数为2；④二次项系数不为0。本题要求无论a取何值方程都是关于x的一元二次方程，即需要保证化简后的方程二次项系数恒不为0。解题时先将每个选项的方程整理为一元二次方程的一般形式$Ax^2+Bx+C=0$，再判断各选项的二次项系数A是否存在等于0的情况，若不存在则符合要求。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0的整式方程。我们逐个分析选项：
A. 整理原方程：
展开得$(2a-1)x^2 + 6a - 3 = 2x^2 - 2$
移项合并同类项得$(2a - 3)x^2 + 6a - 1 = 0$
当$2a-3=0$即$a=\frac{3}{2}$时，二次项系数为0，方程不是一元二次方程，不符合要求；
B. 方程$ax^2 -2x -9=0$，当$a=0$时，方程变为$-2x-9=0$，是一元一次方程，不符合要求；
C. 整理原方程：
移项合并同类项得$(a-1)x^2 + 2 = 0$
当$a=1$时，二次项系数为0，此时等式不成立，不是一元二次方程，不符合要求；
D. 方程$(a^2+1)x^2=1$，由于任意实数的平方非负，即$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1$，二次项系数恒不为0，无论a取何值，该方程都是关于x的一元二次方程，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的判定；偶次幂的非负性
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题型，解题关键是不要忽略二次项系数不能为0的条件，对于含参数的一元二次方程判定，要结合参数的取值范围验证二次项系数是否恒不为0。
【难度系数】
0.8
3.若方程$(a+3)x^{|a|-1}-5x+1=0$是关于x的一元二次方程，则a=
3
。答案
3. 3
解析
【分析】
要判断一个方程是一元二次方程，需满足三个核心要求：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。本题已知方程是关于x的一元二次方程，我们可以先根据“未知数最高次数为2”列出关于a的方程，求出a的可能取值，再根据“二次项系数不为0”排除不符合要求的a值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵方程$(a+3)x^{|a|-1}-5x+1=0$是关于x的一元二次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即$\vert a\vert -1=2$
化简得$\vert a\vert=3$，解得$a=3$或$a=-3$
2. 二次项系数不为0，即$a+3≠0$
解得$a≠-3$
结合两个条件排除$a=-3$，最终得$a=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于一元二次方程定义的基础应用题，解题的关键是牢记一元二次方程需同时满足最高次数为2、二次项系数不为0两个核心条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，误得出$a=\pm3$的错误结果。
【难度系数】
0.7
要判断一个方程是一元二次方程，需满足三个核心要求：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。本题已知方程是关于x的一元二次方程，我们可以先根据“未知数最高次数为2”列出关于a的方程，求出a的可能取值，再根据“二次项系数不为0”排除不符合要求的a值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵方程$(a+3)x^{|a|-1}-5x+1=0$是关于x的一元二次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即$\vert a\vert -1=2$
化简得$\vert a\vert=3$，解得$a=3$或$a=-3$
2. 二次项系数不为0，即$a+3≠0$
解得$a≠-3$
结合两个条件排除$a=-3$，最终得$a=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于一元二次方程定义的基础应用题，解题的关键是牢记一元二次方程需同时满足最高次数为2、二次项系数不为0两个核心条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，误得出$a=\pm3$的错误结果。
【难度系数】
0.7
4. 将一元二次方程$(x+2)(x+1)=3$化为一般形式为
$x^2 + 3x - 1 = 0$
。答案
4. $x^2 + 3x - 1 = 0$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$），核心是将方程整理为等号右侧为0、左侧按$x$的降幂排列的整式形式。解题步骤可分为三步：第一步利用多项式乘多项式的法则计算等号左侧的乘积，去掉括号；第二步将等号右侧的常数项移到等号左侧，注意移项要变号；第三步合并同类项，整理得到符合要求的一般形式。
【解析】
1. 展开等号左侧的多项式乘积：
根据多项式乘多项式法则，$(x+2)(x+1)=x· x + x·1 + 2· x + 2×1 = x^2 + 3x + 2$，原方程可化为：
$x^2 + 3x + 2 = 3$
2. 移项：将右侧的3移到左侧，移项变号得：
$x^2 + 3x + 2 - 3 = 0$
3. 合并同类项：计算常数项$2-3=-1$，最终得到：
$x^2 + 3x - 1 = 0$
【答案】
$x^2 + 3x - 1 = 0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式、多项式乘多项式运算、整式化简
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，主要考查方程转化为一般形式的能力，解题时需注意移项要变号，最终结果要满足等号右侧为0、左侧按降幂排列的要求，是学习一元二次方程解法的必备基础。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$），核心是将方程整理为等号右侧为0、左侧按$x$的降幂排列的整式形式。解题步骤可分为三步：第一步利用多项式乘多项式的法则计算等号左侧的乘积，去掉括号；第二步将等号右侧的常数项移到等号左侧，注意移项要变号；第三步合并同类项，整理得到符合要求的一般形式。
【解析】
1. 展开等号左侧的多项式乘积：
根据多项式乘多项式法则，$(x+2)(x+1)=x· x + x·1 + 2· x + 2×1 = x^2 + 3x + 2$，原方程可化为：
$x^2 + 3x + 2 = 3$
2. 移项：将右侧的3移到左侧，移项变号得：
$x^2 + 3x + 2 - 3 = 0$
3. 合并同类项：计算常数项$2-3=-1$，最终得到：
$x^2 + 3x - 1 = 0$
【答案】
$x^2 + 3x - 1 = 0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式、多项式乘多项式运算、整式化简
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，主要考查方程转化为一般形式的能力，解题时需注意移项要变号，最终结果要满足等号右侧为0、左侧按降幂排列的要求，是学习一元二次方程解法的必备基础。
【难度系数】
0.9
5.若关于x的一元二次方程$8x^2 - (m + 1)x + 1 = x$的一次项系数为$-3$，则m的值为
1
。答案
5. 1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$b$是一次项系数。解题时先将给定的方程整理为一般形式，合并同类项后得到一次项系数的表达式，再结合题目给出的一次项系数为$-3$的条件，列关于$m$的一元一次方程求解即可。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
原方程为$8x^2 - (m + 1)x + 1 = x$，
移项，将右侧的$x$移到左侧，得：
$8x^2 - (m + 1)x - x + 1 = 0$，
合并同类项，一次项合并为：$[-(m+1)-1]x=-(m+2)x$，
因此方程整理为：$8x^2 - (m+2)x + 1 = 0$。
第二步：根据一次项系数为$-3$列方程求解：
由题意得一次项系数$-(m+2) = -3$，
解方程：
两边同时乘$-1$，得$m+2=3$，
移项得$m=3-2=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查对一元二次方程各项系数定义的理解，解题的关键是先将方程化为一般形式，注意移项要变号，合并同类项时计算不要出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$b$是一次项系数。解题时先将给定的方程整理为一般形式，合并同类项后得到一次项系数的表达式，再结合题目给出的一次项系数为$-3$的条件，列关于$m$的一元一次方程求解即可。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
原方程为$8x^2 - (m + 1)x + 1 = x$，
移项，将右侧的$x$移到左侧，得：
$8x^2 - (m + 1)x - x + 1 = 0$，
合并同类项，一次项合并为：$[-(m+1)-1]x=-(m+2)x$，
因此方程整理为：$8x^2 - (m+2)x + 1 = 0$。
第二步：根据一次项系数为$-3$列方程求解：
由题意得一次项系数$-(m+2) = -3$，
解方程：
两边同时乘$-1$，得$m+2=3$，
移项得$m=3-2=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查对一元二次方程各项系数定义的理解，解题的关键是先将方程化为一般形式，注意移项要变号，合并同类项时计算不要出错。
【难度系数】
0.8
6.若关于$x$的一元二次方程$(a + 2)x^2 + (a^2 - 4)x - a - 8 = 0$不含一次项，则常数项是
-10
。答案
6. -10
解析
【分析】
解决本题需结合一元二次方程的性质逐步推导：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，这是隐含的前提条件；其次，方程不含某一项等价于该项的系数为0。我们可以先根据“不含一次项”列方程求出a的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件筛选出符合要求的a值，最后代入常数项的表达式计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数 $a+2≠0$，即 $a≠-2$
∵ 方程不含一次项
∴ 一次项系数 $a^2 - 4 = 0$
解得 $a=2$ 或 $a=-2$
结合 $a≠-2$ 的限制，得 $a=2$
将 $a=2$ 代入常数项表达式 $-a-8$ 中：
$-2 - 8 = -10$
【答案】
-10
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的项与系数
3. 代数式求值
【点评】
本题是基础概念应用题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接取a=-2计算得到错误结果，解题时要注意先确定参数的取值限制再计算。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合一元二次方程的性质逐步推导：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，这是隐含的前提条件；其次，方程不含某一项等价于该项的系数为0。我们可以先根据“不含一次项”列方程求出a的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件筛选出符合要求的a值，最后代入常数项的表达式计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数 $a+2≠0$，即 $a≠-2$
∵ 方程不含一次项
∴ 一次项系数 $a^2 - 4 = 0$
解得 $a=2$ 或 $a=-2$
结合 $a≠-2$ 的限制，得 $a=2$
将 $a=2$ 代入常数项表达式 $-a-8$ 中：
$-2 - 8 = -10$
【答案】
-10
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的项与系数
3. 代数式求值
【点评】
本题是基础概念应用题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接取a=-2计算得到错误结果，解题时要注意先确定参数的取值限制再计算。
【难度系数】
0.7
