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1. 设直角三角形中一个锐角度数为 x(0 ＜ x ＜ 90),另一个锐角度数为 y(0 ＜ y ＜ 90),则 y 与 x 的关系式为(
A.y = 180 + x
B.y = 180 - x
C.y = 90 + x
D.y = 90 - x
D
)A.y = 180 + x
B.y = 180 - x
C.y = 90 + x
D.y = 90 - x
答案
D
解析
在直角三角形中，三个角的度数之和为$180°$，其中一个角为直角，度数为$90°$，所以两个锐角的度数之和为$90°$，即$x + y = 90°$，因此，$y$与$x$的关系式为$y = 90 - x$。
2. Cobb 角是一个测量脊柱弯曲角度的方法,其测量结果常用来评估脊柱侧弯的严重程度。某人体检时脊柱的检测示意图如图所示,为方便测出 Cobb 角(∠O)的大小,需将∠O 转化为与它相等的角,则图中与∠O 相等的角是(
A.∠BEA
B.∠DEB
C.∠ECA
D.∠ADO
A
)A.∠BEA
B.∠DEB
C.∠ECA
D.∠ADO
答案
A
解析
由题意，∠O为Cobb角，需利用直角三角形性质（锐角互余）转化。观察图形，假设存在直角三角形，如Rt△OBE中∠O+∠OBE=90°，在另一Rt△ABE中∠BEA+∠OBE=90°（∠OBE为公共余角）。根据“同角的余角相等”，可得∠O=∠BEA。
3. 如图,已知∠AOD = 30°,点 C 是射线 OD 上的一个动点,点 C 在运动过程中,当∠A =
60°或90°
时,△AOC 是直角三角形。答案
60°或90°
解析
在△AOC中，∠AOD=30°即∠AOC=30°。要使△AOC是直角三角形，分三种情况：
1. 若∠A=90°，则△AOC是直角三角形；
2. 若∠ACO=90°，则∠A=180°-∠AOC-∠ACO=180°-30°-90°=60°；
3. 若∠AOC=90°，但已知∠AOC=30°，此情况不成立。
综上，∠A=60°或90°。
1. 若∠A=90°，则△AOC是直角三角形；
2. 若∠ACO=90°，则∠A=180°-∠AOC-∠ACO=180°-30°-90°=60°；
3. 若∠AOC=90°，但已知∠AOC=30°，此情况不成立。
综上，∠A=60°或90°。
4. (2024·四川凉山州中考)如图,在△ABC 中,∠BCD = 30°,∠ACB = 80°,CD 是边 AB 上的高,AE 是∠CAB 的平分线,则∠AEB 为
100°
。答案
100°
解析
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠BCD=30°，则∠B=90°-30°=60°；在△ABC中，∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-80°-60°=40°；AE平分∠CAB，故∠EAB=40°÷2=20°；在△AEB中，∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-20°-60°=100°。
5. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E,过点 E 作 EF⊥AC,垂足为 F。若∠DAE = 10°,∠AEF = 50°,求∠B,∠C 的度数。
答案
∵EF⊥AC，∴∠AFE=90°．
在Rt△AEF中，∠AEF=50°，∴∠EAF=90°-∠AEF=40°．
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAF=40°，∠BAC=2∠EAF=80°．
∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，∠DAE=10°，∴∠AED=90°-∠DAE=80°．
∵点B、D、E、C在BC上依次排列，∴∠AED+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-∠AED=100°．
在△AEC中，∠EAC=40°，∠AEC=100°，∴∠C=180°-∠EAC-∠AEC=40°．
在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=40°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°．
∠B=60°，∠C=40°．
在Rt△AEF中，∠AEF=50°，∴∠EAF=90°-∠AEF=40°．
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAF=40°，∠BAC=2∠EAF=80°．
∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，∠DAE=10°，∴∠AED=90°-∠DAE=80°．
∵点B、D、E、C在BC上依次排列，∴∠AED+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-∠AED=100°．
在△AEC中，∠EAC=40°，∠AEC=100°，∴∠C=180°-∠EAC-∠AEC=40°．
在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=40°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°．
∠B=60°，∠C=40°．
6. 在△ABC 中,AD 为边 BC 上的高,∠ABC = 30°,∠CAD = 20°,则∠BAC 为
40°或80°
。答案
40°或80°
解析
分两种情况讨论：
1. 当垂足D在BC边上（B、D、C顺序）时：
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=20°，则∠C=90°-20°=70°。
在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=70°，∴∠BAC=180°-30°-70°=80°。
2. 当垂足D在BC延长线上（B、C、D顺序）时：
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=20°，则∠ACD=70°，∴∠ACB=180°-70°=110°。
在△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°-30°-110°=40°。
综上，∠BAC为40°或80°。
1. 当垂足D在BC边上（B、D、C顺序）时：
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=20°，则∠C=90°-20°=70°。
在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=70°，∴∠BAC=180°-30°-70°=80°。
2. 当垂足D在BC延长线上（B、C、D顺序）时：
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=20°，则∠ACD=70°，∴∠ACB=180°-70°=110°。
在△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°-30°-110°=40°。
综上，∠BAC为40°或80°。
7. 如图,在△ABC 中,∠A = ∠BCD,CD⊥AB 于点 D,BE 平分∠ABC 分别交 CD,CA 于点 F,E。求证：
(1)△ABC 是直角三角形；
(2)∠CEF = ∠CFE。
(1)△ABC 是直角三角形；
(2)∠CEF = ∠CFE。
答案
(1)∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，在Rt△ACD中，∠A+∠ACD=90°．
∵∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
∴△ABC是直角三角形．
(2)∵BE平分∠ABC，设∠ABE=∠CBE=∠1．
在Rt△BCE中，∠ACB=90°，∴∠CEF+∠CBE=90°，则∠CEF=90°-∠1．
∵CD⊥AB，∴∠FDB=90°，在Rt△BDF中，∠BFD+∠FBD=90°．
∵∠FBD=∠CBE=∠1，∴∠BFD=90°-∠1．
∵∠CFE=∠BFD（对顶角相等），∴∠CFE=90°-∠1．
∴∠CEF=∠CFE．
∵∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
∴△ABC是直角三角形．
(2)∵BE平分∠ABC，设∠ABE=∠CBE=∠1．
在Rt△BCE中，∠ACB=90°，∴∠CEF+∠CBE=90°，则∠CEF=90°-∠1．
∵CD⊥AB，∴∠FDB=90°，在Rt△BDF中，∠BFD+∠FBD=90°．
∵∠FBD=∠CBE=∠1，∴∠BFD=90°-∠1．
∵∠CFE=∠BFD（对顶角相等），∴∠CFE=90°-∠1．
∴∠CEF=∠CFE．
